第07讲 导数的概念及其意义-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（新人教A专用）

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【考点目录】
【知识梳理】
知识点1 瞬时速度
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(st0＋Δt－st0,Δt).
知识点2 函数的平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1).
(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比．
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)表示割线P1P2的斜率．
知识点3 函数在某点处的导数
如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
知识点4 割线斜率与切线斜率
设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
知识点5 导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
知识点6 导函数的定义
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
规律总结：
1. (1)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
②求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；
③求极限eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx).
(2)瞬时变化率的变形形式
eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0－Δx－fx0,－Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋nΔx－fx0,nΔx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)
＝f′(x0)．
2.
【考点剖析】
考点一 函数的平均变化率
1．（2023春·陕西延安·高二校考阶段练习）已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平均变化率的定义直接求解.
【详解】因为函数，
所以该函数在区间上的平均变化率为
，
故选：A
2．（2023秋·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期末）设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是___________.
【答案】
【分析】根据平均变化率的定义直接求解即可.
【详解】函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率为
，
故答案为：.
3．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）若函数在区间上的平均变化率为5，则______．
【答案】3
【分析】利用函数平均变化率的计算公式计算.
【详解】解：函数在区间上的平均变化率为，
解得.
故答案为：3.
4．（2023·高二课时练习）某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c（单位：元）与产量x（单位：台）之间的关系式为，则产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均变化率为______元/台．
【答案】2000
【分析】根据平均变化率的公式结合题意直接求解即可.
【详解】当产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均变化率为（元/台）．
故答案为：2000
5．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；
【详解】解：如图分别令、、、、所对应的点为、、、、，
由图可知，
所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；
故选：C
6．（2023·高二课时练习）如图所示为物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是______．
①在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度；
③在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度．
【答案】③④
【分析】根据平均速度的公式判断①③④，从而①错误，③④正确；
根据瞬时速度与切线斜率的关系作出判断②错误；
【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故①错误．
瞬时速度为切线斜率，故②错误．
在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为，，所以，故③正确．同理④正确．
故答案为：③④．
7．（2023·全国·高二假期作业）吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为，为的导函数．已知在上的图像如图所示，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．存在，使得
【答案】D
【分析】A：设，由图得，所以该选项错误；
B:根据图像和导数的几何意义得，所以该选项错误；
C:设 ，所以该选项错误；
D:结合图像和导数的几何意义可以判断该选项正确.
【详解】解：A：设，由图得，
所以所以，所以该选项错误；
B:由图得图像上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得，所以该选项错误；
C:设，因为
所以，所以该选项错误；
D:表示两点之间的斜率，表示处切线的斜率，由于，
所以可以平移直线使之和曲线相切，切点就是点,所以该选项正确.
故选：D
考点二 瞬时变化率理解
8．（2023·高二课时练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（ ）
A．0m/sB．1m/sC．2m/sD．3m/s
【答案】D
【分析】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解.
【详解】该物体在时间段上的平均速度为，当无限趋近于0时，无限趋近于3，即该物体在s时的瞬时速度为3m/s．
故选：D
9．（2023秋·广东广州·高二统考期末）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A．10.9B．-10.9C．5D．-5
【答案】D
【分析】先对函数求导，然后把代入即可求解．
【详解】解：因为，
所以，
令，得瞬时速度为．
故选：D.
10．（2023秋·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（ ）
A．6.75米/秒B．6.55米/秒C．5.75米/秒D．5.55米/秒
【答案】D
【分析】依据瞬时速度定义利用极限去求他在0.25秒时的瞬时速度即可
【详解】
则他在0.25秒时的瞬时速度为5.55米/秒
故选：D
11．（2023秋·北京·高二北京市第一六一中学校考期中）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合图象以及导数的知识求得正确答案.
【详解】由图象可知，
即.
故选：D
12．（2023秋·北京大兴·高二统考期末）为响应国家节能减排号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量W与时间t的关系图如图所示（为月末时间）.则该月内：①甲厂污水排放量逐渐减少；②乙厂的污水排放量比甲厂减少得更多；③乙厂总比甲厂的污水排放量减少得更快.其中正确说法的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】根据图形逐一分析各个命题即可得出答案.
【详解】解：由图可知，甲厂污水排放量逐渐减少，故①正确；
乙厂的污水排放量比甲厂减少得更多，故②正确，
在接近时，甲工厂污水排放量减少得比乙的更加快，故③错误.
故选：A.
13．（2023秋·海南·高二海南华侨中学校考期末）李华在参加一次同学聚会时，用如图所示的圆口杯喝饮料，他想：如果向杯子中倒饮料的速度一定（即单位时间内倒入的饮料量相同），那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据杯子的形状特点和函数图象的增长速度即可判断.
【详解】由于杯子的形状是下面稍窄上面稍宽,所以刚开始饮料的高度增长相对较快,后面饮料的高度增加就越来越慢,所以B的图象的增长趋势与饮料高度增长的情形较一致，
故选：B
考点三 导数（导函数）的理解
14．（2023·高二课时练习）设函数在点处附近有定义，且为常数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由导函数的定义可得选项.
【详解】解：因为为常数，所以，
故选：C.
15．（2023·高二课时练习）若函数在处可导，则的结果（ ）．
A．与，h均无关B．仅与有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与无关D．与，h均有关
【答案】B
【分析】根据导数的定义即可求解.
【详解】解：因为，
所以结果仅与有关，而与h无关，
故选：B.
16．（2023秋·广西河池·高二校联考阶段练习）函数在处的导数可表示为，即（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合导数定义直接选择即可.
【详解】是的另一种记法，根据导数的定义可知C正确．
故选：C
考点四 导数定义中的极限的简单计算
17．（2023·高二课时练习）设函数，若，则______．
【答案】1
【分析】根据导数的定义求出，再将代入计算即可.
【详解】解:因为 =，
∴，
∴．
故答案为：1
18．（2023秋·广东深圳·高二深圳市宝安第一外国语学校校考期中）已知函数，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】根据瞬时变化率的定义计算可得；
【详解】解：因为，
所以
故选：D
19．（2023春·陕西渭南·高二统考期末）设函数在处的导数为2，则（ ）
A．2B．1C．D．6
【答案】A
【分析】根据导数的定义即得.
【详解】因为函数在处的导数为2，
所以.
故选：A.
20．（2023·高二课时练习）已知，则在处的导数（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】C
【分析】根据条件可得出，即可得出的值.
【详解】，．
故选：C
考点五 利用导数几何意义求切线方程
求曲线切线的斜率或倾斜角
21．（2023春·湖南株洲·高二校考期中）若，则在处的切线的斜率为______．
【答案】2
【分析】根据导数的几何意义即可直接求解.
【详解】由题意知，，得，
所以曲线在处的切线斜率为2.
故答案为：2.
22．（2023秋·四川资阳·高二校考期中）如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ．
【答案】
【分析】由函数的图像可得，以及直线过点和，由直线的斜率公式可得直线的斜率，进而由导数的几何意义可得的值，将求得的与的值相加即可.
【详解】由函数的图像可得，直线过点和，则直线的斜率，
又由直线是曲线在点处的切线，则，
所以．
故答案为：
23．（2023春·云南昆明·高二石林彝族自治县第一中学校考阶段练习）曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义得到点处切线的斜率，再根据斜率求倾斜角即可.
【详解】，所以在点处的切线的斜率为-1，倾斜角为.
故选：A.
24．（2023·高二课时练习）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，求的取值范围．
【答案】
【分析】由题，，求出，结合均值不等式讨论的值域，即可求得的范围，即可进一步求得的取值范围
【详解】函数的导数为．
因为，所以，
所以，即；因为，所以，即．
求在曲线上一点处的切线方程
25．（2023春·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考阶段练习），在处切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，求出再结合直线的点斜式公式，即可求解．
【详解】由已知，，令，
∴＝，解，
∴在处切线方程为，即．
故选：B．
26．（2023·全国·高二假期作业）已知曲线：
(1)求的值；
(2)求曲线在点处的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用导数公式求解；(2)根据切点处函数的导数等于切线的斜率以及切点在曲线上也在切线上的原理求解..
【详解】（1）由题得，所以.
（2）因为，
所以，切线方程为，
即.
27．（2023春·江苏苏州·高二校考阶段练习）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据切点和斜率求得切线方程.
【详解】，故切点为，
，即切线的斜率为，
所以切线方程为，即.
故选：A
28．（2023·全国·高二假期作业）函数的图象在处的切线方程为______.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可.
【详解】∵，∴，，∴函数在处的切线方程为.
故答案为：.
求过一点的切线方程
29．【多选】（2023秋·广东江门·高二新会陈经纶中学校考期中）已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】设切点为，写出切线方程，切线过点（1，3），求得即可.
【详解】解：设切点为，
则，
所以，
所以切线方程为，
因为切线过点（1，3），
所以，即，
即，
解得或，
所以切线方程为或，
故选：AB
30．（2023·高二课时练习）过点且与曲线相切的直线方程为______．
【答案】或
【分析】设切点坐标为，求得，列出方程，求得的值，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】由题意，设切点坐标为，则，
又由函数，可得，可得，所以，
根据斜率公式和导数的几何意义，可得，即，
解得或，所以切线的斜率为或，
所以切线方程为或，即或.
故答案为：或.
31．（2023秋·广东茂名·高二统考期中）已知直线l为函数的切线，且经过原点，则直线l的方程为__________.
【答案】
【分析】设切点坐标为，求导，写出直线l的方程，再根据直线l过点求解.
【详解】解：设切点坐标为，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为
又直线l过点，
所以，
整理得，解得，
所以，
直线l的斜率，
所以直线l的方程为，
故答案为：.
32．（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）过点作曲线的切线有且只有两条，则b的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设切点，进而求得切线方程，进而得到，构造函数分析的单调性与取值范围即可判断有且仅有两根时b的取值范围即可
【详解】设切点为，，故过的切线方程为，即.故有且仅有两根.设，则，令则，令则，且，又当时，，.故有且仅有两根则b的取值范围为
故选：A
考点六 已知切线（斜率）求参数
33．（2023春·陕西咸阳·高二校考期中）已知函数在点处的切线斜率为7，则实数a的值为___________.
【答案】1
【分析】求导数，代入切点可得答案.
【详解】因为，所以由题意得，解得.
故答案为：1
34．（2023秋·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）若函数在处的切线方程为，则_________．
【答案】
【分析】利用导数求函数图象切线的斜率，再根据点斜式写出切线方程，转化为斜截式即可求解.
【详解】，所以，所以切线的斜率为3，
又因为，所以切点的坐标为，
所以切线方程为即，
所以，所以.
故答案为:.
35．（2023·全国·高二假期作业）曲线在点处的切线方程为，则a，b的值分别为（ ）
A．-1，1B．-1，-1C．1，1D．1，-1
【答案】C
【分析】根据切点和斜率求得切线方程.
【详解】依题意，切点为，斜率为，
，
所以，解得.
故选：C
36．（2023秋·云南大理·高二校考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则_________.
【答案】2
【分析】利用导数的几何意义求解即可.
【详解】依题意，切线的斜率为2，，.
故答案为：
考点七 求切点坐标
37．【多选】（2023·全国·高二假期作业）在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由导数的几何意义，即可得到所求切点
【详解】切线的斜率，
设切点为，则，
又，
所以，
所以或，
所以切点坐标为或．
故选：AB．
38．【多选】（2023·高二课时练习）曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】设切点.利用导数表示切线的斜率，列方程即可求解.
【详解】设切点.
因为曲线在点P处的切线的斜率，所以，所以点P的坐标为或.
故选：AD.
39．（2023秋·四川雅安·高二统考期末）曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的横坐标为（ ）
A．B．1C．3D．
【答案】C
【分析】设切点，求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得，即为点的横坐标.
【详解】设切点，的导数为，
可得切线的斜率为，
由切线与直线垂直，
可得，解得或（舍），
所以P的横坐标为，
故选：C
40．（2023秋·广东珠海·高二统考期末）已知点在曲线：的图像上，在点处的曲线的切线与直线：垂直，则点横坐标为（ ）
A．或1B．1或3C．或D．或3
【答案】A
【分析】求出导函数，由切线斜率与已知直线斜率乘积为可得．
【详解】，，
因为切线与直线：垂直，所以，解得或．
故选：A．
考点八 两条曲线的公切线问题
41．【多选】（2023秋·河北石家庄·高二统考期末）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（ ）
A．1.2B．4C．5.6D．
【答案】ABD
【分析】分别设切点分别为，，由导数的几何意义分别写出切线方程，由题意切线方程相同，从而可得出，设由导数求出其值域即可.
【详解】由，则，由，则
设切线与曲线相切于点，则斜率为，
所以切线方程为，即 ①
设切线与曲线相切于点，则斜率为：，
则切线方程为，即，②
根据题意方程①，②表示同一条直线，则
所以，令（），
则，所以在上单调递增，在上单调递减，，由题意.
故答案为：ABD
42．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数的导函数，即可求出在点处的切线方程，再设与的切点为，即可得到方程，解得、，再代入计算可得；
【详解】解：因为，所以，，所以，
所以切线的方程为，
又，所以，
设切线与的切点为，
可得切线的斜率为，即，
，可得切点为，
所以，解得．
故选：D．
43．（2023秋·陕西安康·高二统考期中）已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（ ）
A．-1B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】先求得 在 处的切线方程，然后与联立，由 求解
【详解】解析：∵，∴，∴，∴，∴曲线在处的切线方程为，由得，由，解得．
故选：B
【过关检测】
1．（2023秋·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）已知是定义在R上的可导函数，若，则=（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据极限与导数的定义计算．
【详解】
故选：A．
2．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）如图是一个装满水的圆台形容器，若在底部开一个孔，并且任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为，定义域为D，设分别表示在区间上的平均变化率，则（ ）
A．B．C．D．无法确定的大小关系
【答案】A
【分析】根据容器形状，任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，水面高度减小越来越快，还要注意变化量和变化率是负数，可判断出结果.
【详解】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的减小量越来越大，且高度h的变化率小于0，所以在区间上的平均变化率由大变小，即．
故选：A．
3．（2023秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）设在处可导，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】变形，结合导数的定义，计算出结果.
【详解】因为在处可导,
所以，由导数的定义可得：.
故选：A
4．（2023春·江苏·高三江苏省新海高级中学校联考阶段练习）若直线与曲线和曲线都相切，则直线的条数有（ ）
A．1B．2C．3D．无数条
【答案】B
【分析】根据两函数解析式，在同一坐标系下画出函数图象，对两曲线进行求导，利用导函数的几何意义求出斜率的表达式，再根据三角函数和指数函数的值域，即可求出公切线与两曲线的切点位置，进而确定公切线的条数.
【详解】如图所示
设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，直线的斜率；
所以，，即在点处的斜率为，
，即在点处的斜率为，
得；
又因为，所以斜率
由得，或；
由得，；
因此，存在，和，使得，
即此时直线即为两条曲线的公切线；
同时，存在，和，使得，且；
所以，直线即为异于直线的第二条曲线的公切线；
综上可知，直线的条数有2条.
故选：B.
5．（2023春·河北唐山·高三校联考阶段练习）若直线是曲线的一条切线，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数，根据斜率求得切点坐标，进而求得.
【详解】因为，所以，令，即，
得或（舍去），所以切点是，代入，
得，.
故选：D
6．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）函数在点处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】由导数的几何意义即可求出切线斜率，即可求解切线方程.
【详解】因为，所以，所以
所以在点处的切线斜率为，又，
则在点处的切线方程为
，即.
故答案为：.
7．（2023·高二课时练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则物体在t=0 s时的瞬时速度为______m/s；瞬时速度为9 m/s的时刻是在t=______s时．
【答案】 1 4
【分析】由瞬时速度的定义可求解.
【详解】
，
即物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s．
设物体在时刻的瞬时速度为9 m/s，
又，
所以，物体在t=4 s时的瞬时速度为9 m/s．
故答案为：1；4
8．（2023春·山东济宁·高三统考期中）已知函数在点处切线的斜率是3，则实数__________.
【答案】
【分析】函数在1处的导数即斜率，可得a的值.
【详解】，因为在点处切线的斜率为3，
所以，得.
故答案为：.
9．（2023·上海虹口·统考一模）设曲线的斜率为3的切线为，则的方程为______．
【答案】
【分析】根据导数几何意义求解.
【详解】设切线与函数的切点为
又因为，所以在处的导数值为
所以，又因为切点在函数上，即
所以切点为，所以切线方程，即
故答案为：
10．（2023·上海金山·统考一模）已知，则曲线在处的切线方程是___________.
【答案】
【分析】首先求出原函数的导函数，然后将切点处的横坐标代入导函数中求出直线的斜率，再将切点的横坐标代入，求出切点的纵坐标，最后用点斜式求出切线方程.
【详解】因为，，所以，
即切点为，斜率为，代入点斜式直线方程中
则曲线在处的切线方程是.
故答案为：.
11．（2023春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知函数．则曲线的斜率等于的切线方程为_________．
【答案】
【分析】求导，利用切点处的导数值为切线的斜率，即可求解切点，进而由点斜式即可求解直线方程.
【详解】由题意得，令，则，所以切点为，因此切线方程为：，即，
故答案为：
12．（2023·高二单元测试）小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的个数为______．
（1）；
（2）；
（3）对于，存在，使得；
（4）整个过程小明行走的速度一直在加快．
【答案】3
【分析】对于（1）（2），根据平均速度的定义结合图判断即可，对于（3），由图象可知，从而可得结论，对于（4），根据曲线在各点处的切线方程的斜率的大小判断即可.
【详解】解：由题意，可知，，．
由题中图像可知，且，因此，
而，所以，
因此，此时，所以（1）正确；
因为，
，故成立，（2）正确；
由题中图像可知，直线与曲线的交点为，故存在，使得，即当时，，故（3）正确；
t时刻的瞬时速度为，判断瞬时速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，由题中图像可知，当时，切线方程的斜率最大，
故而在此时，瞬时速度最快，因此，（4）不正确．
故答案为：3．
区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x)
f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数