专题6.4 二项分布与超几何分布（3类必考点）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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\l "_Tc27051" 【考点1：二项分布的概率、均值与方差】 PAGEREF _Tc27051 \h 1
\l "_Tc8071" 【考点2：服从二项分布的随机变量概率最大问题】 PAGEREF _Tc8071 \h 9
\l "_Tc21028" 【考点3：超几何分布的概率、均值与方差】 PAGEREF _Tc21028 \h 14
【考点1：二项分布的概率、均值与方差】
【知识点：二项分布的概率、均值与方差】
1．独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
2．二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
[方法技巧]
求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
1．（2023·全国·高二专题练习）已知X∼Bn,p，且E3X−9=D3X−9=27，则（ ）
A．n=18B．n=16C．p=14D．p=34
2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知随机变量从二项分布B1001,12，则（ ）
A．P(X=k)=C1001k121001B．P(X≤301)=P(X≥701)
C．P(X>E(X))>12D．PX=k最大时k=500或501
3．（2023·全国·高二专题练习）某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为110，111，112．
(1)求该产品的次品率；
(2)从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为X，求随机变量X的分布列与期望EX．
4．（2023·四川·校联考模拟预测）为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共有500名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将其整理后分成4组，各组区间为60，70，70，80，80，90，90，100，并画出如图所示的频率分布直方图.
(1)估计所有参赛学生的平均成绩(各组的数据以该组区间的中间值作代表)；
(2)若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前50名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线.
(3)以这100名学生成绩不低于80分的频率为概率，从参赛的500名学生中随机选20名，其中参赛学生成绩不低于80分的人数记为X，求X的方差.
5．（2022春·重庆荣昌·高二重庆市荣昌永荣中学校校考期末）某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30,40),[40,50),⋯[90,100]，整理得到如下频率分布直方图：
(1)若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；
(2)若规定分数在[80,90)为“良好”，90,100为“优秀”.用频率估计概率，从该校高三年级随机抽取三人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望.
6．（2023春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题．
(1)求m，n，x，y的值；
(2)若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”，将频率视为概率，用样本估计总体，从该地区中随机抽取3人，记其中“美食客”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
7．（2023·河南郑州·统考一模）世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比2:0，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为12，乙队每名球员射进的概率为23．每轮点球结果互不影响．
(1)设甲队踢了5球，X为射进点球的个数，求X的分布列与期望；
(2)若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率．
8．（2023·全国·高二专题练习）近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展．某城市推出了两套方案，并分别在A，B两个大型居民小区内试行．方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作．建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类．经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下频率分布直方图：
(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；
(2)估计A小区满意度得分的第80百分位数；
(3)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案．现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数学期望．
【考点2：服从二项分布的随机变量概率最大问题】
【知识点：服从二项分布的随机变量概率最大问题】
1．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知随机变量从二项分布B1001,12，则（ ）
A．P(X=k)=C1001k121001B．P(X≤301)=P(X≥701)
C．P(X>E(X))>12D．PX=k最大时k=500或501
2．（2023·高二课时练习）某家畜研究机构发现每头成年牛感染H型疾病的概率p=0.3，且每头成年牛是否感染H型疾病相互独立．设10头成年牛中恰有k头感染H型疾病的概率是gk，当k为何值时，gk有最大值？
3．（2023春·广东·高三统考开学考试）2022年“五一”期间，为推动消费市场复苏，补贴市民，深圳市各区政府发放各类消费券，其中某区政府发放了市内旅游消费券，该消费券包含A，B，C，D，E，F六个旅游项目，甲、乙、丙、丁四人每人计划从中任选两个不同的项目参加，且他们的选择互不影响．
(1)求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目A的概率；
(2)记X为这四个人中选择项目A的人数，求X的分布列及数学期望；
(3)如果将甲、乙、丙、丁四个人改为n个人(n>4)，其他要求相同，问：这n个人中选择项目A的人数最有可能是多少人？
4．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）某工厂生产一批零件，其直径X满足正态分布X∼N10,0.25（单位：mm）.
(1)现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在8.5,11.5之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题.求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性.（已知：P(μ−3σ(2)若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？
5．（2023秋·广东·高三校联考期末）某次射击比赛过关规定：每位参赛者最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，比赛过关，得4分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射击，比赛过关，得3分；若未击中靶标，比赛未能过关，得2分．现有12人参加该射击比赛，假设每人两次射击击中靶标的概率分别为m，0.5，每人过关的概率为p．
(1)求p（用m表示）；
(2)设这12人中恰有9人通过射击比赛过关的概率为fp，求fp取最大时p和m的值；
(3)在（2）的结果下，求这12人通过射击比赛过关所得总分的平均数．
【考点3：超几何分布的概率、均值与方差】
【知识点：超几何分布的概率、均值与方差】
一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则
即
其中，且。
如果随机变量的分布列具有上表形式，则称随机变量服从超几何分布。在超几何分布模型中，“任取件”是指“每次取一件不放回，共取件”，如果有放回的取则为次独立重复试验，随机变量服从二项分布。
[方法技巧] 求超几何分布的分布列的步骤
1．（2022春·河南三门峡·高二校考阶段练习）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（ ）
A．15B．25C．35D．45
2．（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为ξ，Pξ=1=1645，Pξ=2=145，则下列说法正确的是（ ）
A．这10件产品的次品率为20%B．次品数为8件
C．Eξ=0.4D．Dξ=64225
3．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期中）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中黑球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，5，6B．随机变量X服从超几何分布
C．P(X＝0)＝P(X＝4) D．D(X)=1625
4．（2023·全国·高二专题练习）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为110，若记取出3个球中黑球的个数为X，则D[X]=__．
5．（2023·全国·高三专题练习）某品牌手机厂为了更好地提升品牌的性能，进行了问卷调查，问卷满分为100分，现从中选出具有代表性的50份调查问卷加以研究．现将这50份问卷按成绩分成如下五组：第一组[0,20)，3份；第二组[20,40)，8份；第三组[40,60)；第四组[60,80)；第五组[80,100)，4份；已知其中得分高于60分的问卷份数为20．
(1)在第二组与第四组问卷中任取两份，这两份问卷成绩得分差不低于20分的概率；
(2)如果在这50份调查问卷中随机取4份，其中及格份数记为随机变量X，写出X的分布列（结果只要求用组合数表示），并求出期望E(X)．
6．（2023·江西上饶·统考一模）为了解某高校学生每天的运动时间，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于40分钟的学生称为“运动族”．
(1)用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于20分钟，求该学生是“运动族”的概率；
(2)从样本里的“运动族”学生中随机选取两位同学，用随机变量X表示每天平均运动时间在40-50分钟之间的学生数，求X的分布列及期望．
7．（2022春·吉林松原·高二校考期末）冬奥会志愿者有6名男同学，4名女同学.在这10名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余7名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的7所大学.现从这10名志愿者中随机选取3名同学，到机场参加活动.(每位同学被选中的可能性相等).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同的大学的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的期望和方差.
8．（2022秋·北京·高三北京八中校考阶段练习）某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
(2)在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示其成绩在[90,100]中的人数，求X的分布列及数学期望；
(3)在（2）抽取的3人中，用Y表示其成绩在[80,90)的人数，试判断方差D(X)与D(Y)的大小.（直接写结果）组别
分组
频数
频率
第1组
50,60
14
0.14
第2组
60,70
m
第3组
70,80
36
0.36
第4组
80,90
0.16
第5组
90,100
4
n
合计
0
1
...
…