05圆锥曲线（双曲线）-天津市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教版A版）

这是一份05圆锥曲线（双曲线）-天津市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教版A版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·天津河东·高二统考期末）双曲线的实半轴长为（ ）
A．16B．8C．4D．3
2．（2024上·天津和平·高二统考期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·天津北辰·高二校考期末）若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
4．（2023上·天津北辰·高二校考期末）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·天津河西·高二统考期末）设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023上·天津·高二统考期末）若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·天津南开·高二统考期末）双曲线的渐近线方程是（ ）．
A．B．C．D．
8．（2023上·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考期末）设，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点M，是以线段为底边的等腰三角形，且．若椭圆的离心率，则双曲线离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023上·天津河西·高二天津市第四十二中学校考期末）已知，分别是双曲线C：)的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支相交于P、Q两点，且PQ⊥．若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023上·天津河西·高二天津市第四十二中学校考期末）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023上·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
12．（2022上·天津东丽·高二统考期末）已知双曲线的离心率是，则 ，渐近线方程是 .
13．（2023上·天津·高二校联考期末）已知圆与双曲线的渐近线相切，且圆心到双曲线左顶点的距离为，则该双曲线的离心率是 ．
14．（2023上·天津·高二统考期末）过双曲线的右焦点作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，以为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率为 ．
15．（2023上·天津红桥·高二统考期末）双曲线的焦距等于 .
16．（2023上·天津河西·高二天津市第四十二中学校考期末）已知双曲线C：，其右焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为 ．
17．（2022上·天津河西·高二校考期末）双曲线的离心率为 ．
18．（2023上·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）已知互不相同的三点M、N、P均在双曲线H：上，，，垂足为D，点O为坐标原点，若，则的最大值为 .
三、解答题
19．（2022上·天津河东·高二统考期末）已知双曲线的方程为，写出它的顶点坐标､焦点坐标､实半轴长､虚半轴长与渐近线方程．
20．（2020上·天津河东·高二统考期末）求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程.
21．（2020上·天津河西·高二期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.
22．（2020上·天津西青·高二统考期末）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，它与双曲线：交于点，抛物线的准线过双曲线的左焦点.
（1）求抛物线与双曲线的标准方程；
（2）若斜率为的直线过点且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程.
23．（2019上·天津河西·高二统考期末）已知双曲线的标准方程为．
（1）求双曲线的实轴长和离心率．
（2）求双曲线的焦点到渐近线的距离．
参考答案：
1．C
【分析】根据题意，化简双曲线的方程为标准方程，结合双曲线的几何性质，即可求解.
【详解】由双曲线，可化为，可得，即，
所以双曲线的实半轴长为.
故选：C.
2．D
【分析】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案.
【详解】设，，则直线l的斜率为
代入，得，两式相减得：.
又线段AB的中点为点，则.
则.经检验满足题意.
故选：D
3．A
【分析】利用点到直线距离公式求得焦点到渐近线的距离为，由计算可得离心率为.
【详解】根据题意不妨取焦点，渐近线方程为，如下图所示：

可得焦点到渐近线的距离为，即；
则离心率.
故选：A
4．B
【分析】利用勾股定理求出圆心到双曲线的渐近线的距离，再利用点到直线的距离公式求出的值，由此可求得双曲线的离心率的值.
【详解】双曲线的渐近线方程为，直线被圆所得截得的弦长为，

则圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，解得，则，
因此，双曲线的离心率为.
故选：B.
5．A
【分析】根据题意列式求解，即可得结果.
【详解】∵双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，且，
由题意可得，解得，
∴双曲线的方程为.
故选：A.
6．D
【分析】根据椭圆确定双曲线焦点，再由离心率求出，即可求出双曲线渐近线方程.
【详解】由椭圆知，其焦点坐标为，
所以双曲线的焦点坐标为，即，
又，所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：D
7．C
【分析】根据双曲线的标准方程可直接得出该双曲线的渐近线方程.
【详解】在双曲线中，，，因此，该双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
8．D
【分析】根据条件得到，结合椭圆的定义和离心率公式得到，求得的取值范围，再由双曲线的定义和离心率公式得到双曲线的离心率，即可求解.
【详解】因为，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，
是以线段为底边的等腰三角形，且，
所以设（），
因为椭圆的离心率，
即，解得：，
由于点在第一象限，
所以双曲线的离心率，
因为，则，即，
所以双曲线的离心率取值范围是.
故选：D.
9．B
【分析】由双曲线的定义可得：，，于是可得，，在中，由余弦定理可得，即可求得离心率的值.
【详解】因为，，
由双曲线的定义可得：，
，则，
由，
在中，由余弦定理可得，
化简得，
所以双曲线的离心率.
故选：B.
10．C
【分析】根据双曲线的定义求得正确答案.
【详解】椭圆的焦点在轴上，长半轴为，
由于椭圆的离心率为，所以椭圆的半焦距为，焦距为，
由于曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，，
所以曲线的轨迹是双曲线，且实轴长为，半实轴长为，
所以虚半轴长为，
所以曲线的标准方程为.
故选：C
11．D
【分析】根据给定的双曲线方程，直接求出离心率作答.
【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，因此半焦距，
所以双曲线的离心率.
故选：D
12． /0.5
【分析】由双曲线的离心率公式可求得a的值，进而求得渐近线方程.
【详解】由题意知，，
所以，
又因为，
所以，
所以双曲线方程为，
所以渐近线方程为.
故答案为：，.
13．2
【分析】由圆的标准方程确定圆心坐标和半径，根据点到直线的距离公式与直线与圆的位置关系可知圆心即双曲线的右焦点，得.由题意得，结合计算求出a，即可求解.
【详解】由，得圆心为，半径为，
设双曲线的一条渐近线方程为，
则双曲线的右焦点到渐近线的距离为，
又圆与该双曲线的渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离为半径，
所以圆心即双曲线的右焦点，即.
双曲线左顶点为，由题意得，
由，得，解得，
所以该双曲线的离心率是.
故答案为：2.
14．/
【分析】设双曲线的左右焦点分别为，根据题意可得，从而建立方程，即可求得双曲线的离心率.
【详解】设双曲线的左右焦点分别为，
过双曲线的右焦点做x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，
则，又因为以为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，
所以，即，所以，
则，解得：或（舍去），
故答案为：.
15．
【分析】根据双曲线方程可得，由双曲线关系可求得焦距.
【详解】由双曲线方程知：，，，则双曲线焦距为.
故答案为：.
16．2
【分析】根据点到直线的距离公式求出，并根据离心率公式求解即可.
【详解】由于对称性，右焦点到两条渐近线的距离都为，
由题可知，过一三象限的渐近线为，即，
所以右焦点到渐近线的距离为，
又，∴，
∴．
故答案为: .
17．
【分析】先求出双曲线的标准方程，确定，即可得离心率.
【详解】由已知得双曲线的标准方程为：，
则
所以离心率
故答案为：.
18．
【分析】先利用和双曲线方程求出的坐标，由于双曲线的对称线，取，接着讨论直线斜率不存在和存在时，利用韦达定理，结合向量的数量积，推出、的关系，说明直线过点，即可得到点的轨迹方程为，故设，利用数量积，辅助角公式和三角函数性质即可得到答案
【详解】设，因为，故，所以①，
因为在双曲线上，所以②，
由①②可得，由于双曲线的对称性，不妨设，
①直线斜率不存在时，
可设，，
，
，，
又，，
，解得，，
，为垂足，，
②直线斜率存在时，设直线，
整理得，
设，，，，则，，
因为，所以，
得，
所以，
得，即，
当即时，直线过定点，不符合题意；
当即时，直线过定点，
综上，点在以为直径的圆上，，线段的中点为，
所以点的轨迹方程为，
故可设的坐标为，
所以（其中）
所以当时，取得最大值
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19．顶点坐标和，焦点坐标和，实半轴长为1，虚半轴长为2，渐近线方程为
【分析】先将双曲线的方程化为标准方程，再研究其性质.
【详解】双曲线的方程为化为标准方程
则，，
所以双曲线的顶点坐标为和，焦点坐标为和，
实半轴长为1，虚半轴长为2，渐近线方程为
20．
【解析】根据题意双曲线方程可设为，可得关于a，b的方程组，进而求出a，b的数值即可求出双曲线的方程.
【详解】依题意，双曲线的焦点坐标是，，
故双曲线方程可设为，
又双曲线的离心率，
∴
解之得，
故双曲线的方程为.
【点睛】思路点睛：该题考查圆锥曲线的综合，解题方法如下：
（1）根据椭圆方程，求得椭圆的焦点；
（2）设出双曲线的方程，根据双曲线的离心率，以及椭圆中的关系，列出方程组，求出a，b的值；
（3）最后写出双曲线的方程.
21．（1）；（2）实轴长2，离心率为，距离为
【解析】（1）先求出双曲线的渐近线方程，从而由题意可得，所以双曲线的方程可化为，再把坐标代入方程中求出的值，从而可得双曲线的方程；
（2）由双曲线方程可得，，，从而可得实轴长，离心率，焦点，再利用点到直线的距离公式可求出焦点到渐近线的距离
【详解】（1）解：在双曲线中，，，
则渐近线方程为，
∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，
∴方程可化为，
又双曲线经过点，代入方程，
，解得，，
∴双曲线的方程为.
（2）解；由（1）知双曲线中，
，，，
∴实轴长，离心率为，
设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
，
即焦点到渐近线的距离为.
【点睛】此题考查双曲线简单的几何性质的应用，考查计算能力，属于基础题
22．（1）抛物线方程为;双曲线的方程为.（2）直线的方程为或
【解析】（1）根据抛物线的准线过双曲线的左焦点,可知抛物线开口向右,则设抛物线方程为,代入即可求得抛物线方程;由抛物线方程可得抛物线的准线方程,进而得双曲线的,由双曲线中的关系及代入,解方程可求得,即可得双曲线的标准方程.
（2）讨论直线的斜率和两种情况:当时一定成立,由所过定点坐标可得直线方程;当时,联立直线与抛物线方程,由判别式即可求得斜率,再由点斜式可得直线方程.
【详解】（1）因为抛物线的准线过双曲线的左焦点,
设抛物线方程为
由抛物线过,代入可得
解得,所以抛物线方程为
抛物线的准线方程为,所以双曲线的
同时将代入双曲线方程,即 解方程组可得
所以双曲线的标准方程为
（2）斜率为的直线过点且与抛物线只有一个公共点
当时,直线方程为,满足题意
当时,直线可设为
则,化简可得
由与直线抛物线只有一个公共点
可得
解得,所以直线的方程为
综上可得直线的方程为或
【点睛】本题考查了抛物线标准方程与双曲线标准方程的应用,直线与抛物线位置关系的应用,属于基础题.
23．（1）；（2）3
【分析】（1）利用双曲线的标准方程，实轴长的离心率的定义，直接进行运算求解；
（2）通过双曲线方程，即可求双曲线的焦点到渐近线的距离．
【详解】（1）双曲线的标准方程为，双曲线的实轴长，，则，
所以双曲线的离心率．
（2）双曲线的一个焦点到渐近线的距离：．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本运算求解能力，属于基础题．