四川省宜宾市屏山县2023-2024学年高二（上）期末数学试题（含解析）

这是一份四川省宜宾市屏山县2023-2024学年高二（上）期末数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数 学 试 卷
命题人：黄德才 审题人：周勇、沈祖琼、王玉婷
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．抛掷一个骰子，将得到的点数记为，则，4，5能够构成三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．双曲线的一个顶点为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（ ）
A．7B．12C．15D．31
5．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）．
参考数据：
A．17.9万亿B．19.1万亿C．20.3万亿D．21.6万亿
7．如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
8．已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知曲线，，则（ ）
A．的长轴长为4B．的渐近线方程为
C．与的焦点坐标相同D．与的离心率互为倒数
10．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当取得最大值时，D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，AB的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．点B到直线的距离为
B．直线CF到平面的距离为
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．直线与直线所成角的余弦值为
12．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《解答九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．，D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知数列、是等差数列，其中且，那么 ．
14．已知直线与圆相交于两点，则 .
15．如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为 米．
16．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与C反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点发出，经C两次反射后又回到了点，历时秒．若C与S的离心率之比为，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知的顶点坐标为，，.
(1)求边上的高的长.
(2)求的面积.
18．等差数列的前项和为.已知且.
(1)求的通项公式；
(2)设 ，求数列的前项和.
19．数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中的值和第25百分位数；
(2)在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在和内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在内的概率．
20．已知数列的前n项和．
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．
21．如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.
(1)证明：平面平面；
(2)当时，求二面角的余弦值.
22．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且线段的中点为，该抛物线的焦点到准线的距离不大于3.
(1)求抛物线的方程；
(2)设点为抛物线上的动点，若，当的中点到抛物线的准线距离最短时，求所在直线方程.
参考答案与解析
1．D
【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．
【解答】设直线的倾斜角为，，
直线可化为，
所以直线的斜率，
，
故选：D．
2．A
【分析】求出基本事件总数，然后根据三角形三边之间的关系求出，4，5能够构成三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可
【解答】由题意可知，抛掷一个骰子，得到的点数可能为1，2，3，4，5，6，基本事件的总数为6，
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可知，
故，4，5能够构成三角形的取值可以为2，3，4，5，6共5种可能，
根据古典概型概率公式，所以，4，5能够构成三角形的概率是为.
故选：A
3．C
【分析】根据题意，由顶点坐标得到，由于焦点到渐近线的距离为，列出方程求出，即可得解.
【解答】由双曲线的一个顶点为，可知双曲线的焦点在轴上，
设双曲线标准方程为：，则，
则渐近线方程为，即，由于，
则焦点到渐近线的距离为：，
所以所求双曲线的标准方程为.
故选：C.
4．C
【分析】设出公比，根据，，成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式得到答案.
【解答】设公比为，因为，，成等差数列，所以，
则，解得：或0（舍去）.
因为，所以，故.
故选：C
5．A
【分析】根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果.
【解答】因为直线与直线平行的充要条件是且，解得或．
所以由充分必要条件的概念判断可知：“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件，
故选：A
6．B
【分析】根据给定信息，构建等比数列，再求出其中的项即可.
【解答】依题意，从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列，
其中，公比，
所以2022年进出口累计总额为（万亿）.
故选：B
7．B
【分析】连接，根据空间向量的线性运算计算求解.
【解答】连接，是的中点，，
，.
故选：B
8．B
【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得，，再根据已知列式，结合椭圆的关系，求出离心率即可.
【解答】为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，
由椭圆的性质，可得.
过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，
.
等于的最小值的3倍，
.
椭圆中，
，即，
则.
，
，解得或（舍）.
故选：B.
9．BD
【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可得.
【解答】由，即为：，故焦点在轴上，
长轴长为，故A错误；
焦点坐标为，离心率为，
对，渐近线方程为，故B正确；
焦点坐标为，与的焦点坐标不相同，故C错误；
离心率为，与的离心率互为倒数，故D正确.
故选：BD.
10．ABC
【分析】由等差数列的求和公式结合已知条件可得，，从而得且，进而可得出答案．
【解答】等差数列的前项和为，
，所以，
，所以，所以且，
所以等差数列是递减数列，且当时，取得最大值．
故D正确，ABC错误．
故选：ABC．
11．ABD
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可结合选项逐一求解．
【解答】在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

,2,，,0,，,2,，,2,，,2,，
则点到直线的距离为：
，故A正确；
,0,，,1,，,1,，,2,，
,,，,1,，,2,，,1,，
设平面的法向量,,，
则，取，得,2,，
由于分别为的中点，所以 且，
因此四边形为平行四边形，故,
又平面, 平面,所以平面，
直线到平面的距离为，故B正确；
设直线与平面所成角为，则，故C错误；
,2,，,,，
设直线与直线所成角为，则，故D正确．
故选：ABD．
12．ACD
【分析】根据每层球数变化规律可直接求解得到AB正误；利用累加法可求得C正确；采用裂项相消法可求得D正确.
【解答】对于A，，A正确；
对于B，由每层球数变化规律可知：，B错误；
对于C，当时，；
当时，满足，；
，C正确；
对于D，，
，D正确.
故选：ACD.
13．
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【解答】由数列、是等差数列可得：，.
因为，，
所以，，
所以.
故答案为：
14．4
【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再用直线与圆相交的弦长公式即得.
【解答】设圆心到直线的距离为，因为，所以.
故答案为：4.
15．4.5##
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.
【解答】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，
将代入，得，所以．
设，代入，得．
所以拱桥到水面的距离为．
故答案为：4.5.
16．6
【分析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得和的周长，再根据光速相同，时间比等于路程比，再结合C与S的离心率之比为，即可求解.
【解答】在图①中，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得，两式相减得，
所以的周长为，
在图②中，的周长为，
因为光速相同，
因为C与S的离心率之比为，即，
所以.
故答案为：6.
17．(1)
(2)
【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离即可求解；
（2）求出的长，用面积公式即可求解.
【解答】（1）由题意，直线的方程为：，即.
故点到直线的距离即为边上的高的长，

所以.
（2）因为 ，
所以的面积为：.
18．(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件求出，求出通项公式；
（2）由（1）得，求出
【解答】（1）设等差数列的公差为，
由,则，解得
则；
（2）由（1）得
则
19．(1)，第25百分位数为30
(2)
【分析】（1）根据频率和为1可求的值，判断第25百分位数在第二组，设为，列方程可求解；
（2）用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，年龄在的人数为人，利用列举法，根据古典概型概率公式求解即可.
【解答】（1）,
因为第一组的频率为，，
第二组的频率为，，
所以第25百分位数在第二组，设为，则，
所以第25百分位数为30.
（2）年龄在的市民人数为，年龄在的市民人数为，
用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人，年龄在的人数为人，
设年龄在的4人为，，，，年龄在的2人为，，
从这6为市民中抽取两名的样本事件为，共15种，
其中2名年龄都在内的样本事件有种，
所以两名幸运市民年龄都在内的概率为．
20．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）利用及已知即可得到证明，从而求得通项公式；
（2）先求出通项，再利用错位相减法求和即可.
【解答】（1）因为，
当时，，
所以，当时，，又，解得，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
故
（2）因为，所以，，
，
，
所以
，
所以
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直，面面垂直；
（2）解法一：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；
解法二：取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；
【解答】（1）因为底面，平面，所以.
四边形是直角梯形，，，
因为，所以.
所以，所以.
又因为，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解法一：
以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设点的坐标为，因为，所以，
即，所以.
所以.
设平面的一个法向量为，则，
取，则，得.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以，二面角的余弦值为.
解法二：
取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设点的坐标为，因为，所以，
即，所以.
所以.
设平面的一个法向量为，则.
取，则，则.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以二面角的余弦值为
22．(1)
(2)或
【分析】（1）先根据中点坐标设出点，再代入抛物线，求出的值即可；
（2）先设出直线与两点，联立后得到韦达定理，求出中点坐标，结合韦达定理求出直线中点到准线距离的最值，最后求出直线方程即可.
【解答】（1）依题意得，焦点到准线的距离不大于3，所以，
设，由的中点坐标为，
得，解得，
因为在抛物线，所以
即，解得或（舍），
所以抛物线的方程为.
（2）如图所示，

根据题意直线的斜率存在，设直线的方程为，设中点，
由，
，
，
所以，
则
所以，
又因为的中点到准线的距离等于，
所以当最小时，的中点到准线的距离最短.
因为，
当且仅当时，解得，则.
所以直线的方程为或.
【点拨】关键点拨：本题的关键在于理解中点到准线的距离的最小值本质上是中点纵坐标的最小值，然后应用均值不等式求最值即可.