四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期期末复习数学试题（四）（Word版附解析）

这是一份四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期期末复习数学试题（四）（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于yOz平面的对称点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】关于yOz平面的对称点纵坐标和竖坐标均不变可得答案.
【详解】点关于yOz平面的对称点是.
故选：A.
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线的斜率，进而可得出该直线的倾斜角.
【详解】因为直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为.
故选：A.
3. 已知直线，且，则实数a的值为（ ）
A. 5B. 1C. 5或D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，列出方程求解，再验证判断作答.
【详解】直线，，由解得或，
当时，直线与重合，不符合题意，
当时，直线与平行，
所以实数a的值为.
故选：D
4. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A. 新农村建设后，种植收入减少
B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A
【解析】
【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；
新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；
故选A.
点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.
5. 已知，分别是平面的法向量，若，则（ ）
A B. C. 1D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解
【详解】因为，分别是平面的法向量，且，
所以，即，解得
故选：B
6. 在平行六面体中，点E满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的线性运算全部转化为用作为起点的向量来表示，然后整理即可.
【详解】由得，
整理得.
故选：A.
7. 图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由已知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求的最小值.
【详解】设抛物线的方程为，因为，，所以点在抛物线上，所以，故，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，在方程中取可得，所以点在抛物线内，过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为3，
故选：B.
8. 已知圆与圆有且仅有一条公切线，若，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】先通过条件得两圆内切，利用圆与圆的位置关系得关系，再利用关系及基本不等式求的最小值.
【详解】圆的圆心为，半径
圆的圆心为，半径，
两圆有且仅有一条公切线，
两圆内切，
，即，
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线，则（ ）
A. 恒过定点B. 当时，不经过第二象限
C. 与直线垂直D. 当时，点到的距离最大
【答案】BC
【解析】
【分析】根据点斜式方程判断A；结合当时，直线与轴的交点横坐标为判断B；根据直线一般式的垂直判断公式判断C；根据直线与过点和的直线垂直时，点到的距离最大求解判断D.
【详解】解：将直线整理变形得，
对于A选项，由点斜式方程得直线过定点，故A错误；
对于B选项，当时，直线与轴的交点横坐标为，又直线过定点，所以直线不经过第二象限，故B选项正确；
对于C选项，由于恒成立，所以与直线垂直，故C选项正确；
对于D选项，当直线与过点和的直线垂直时，点到的距离最大，此时，又因为直线的斜率为，故当时，点到的距离最大，故错误；.
故选：BC
10. 已知曲线，下列说法正确的有（ ）
A. 若曲线表示椭圆，则或
B. 若曲线表示椭圆，则椭圆的焦距为定值
C. 若曲线表示双曲线，则
D. 若曲线表示双曲线，则双曲线的焦距为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据椭圆、双曲线的方程求出的取值范围，可判断AC选项；利用椭圆、双曲线的几何性质可判断BD选项.
【详解】对于A选项， 若曲线表示椭圆，则，解得，A错；
对于B选项，若曲线表示椭圆，则，椭圆的标准方程为，
椭圆的焦距为，B对；
对于C选项，若曲线表示双曲线，则，解得，C对；
对于D选项，若曲线表示双曲线，则双曲线的标准方程为，
双曲线的焦距为，D对.
故选：BCD.
11. 已知双曲线的左焦点，过且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，的面积为，则下列结论正确的有（ ）
A. 双曲线方程为
B. 双曲线的两条渐近线所成的锐角为
C. 到双曲线渐近线的距离为
D. 双曲线的离心率为
【答案】AB
【解析】
【分析】由左焦点，得，再根据的面积为，由，求得双曲线的方程，再逐项判断.
【详解】因为双曲线的左焦点为，
所以，
将代入双曲线得，
所以过与轴垂直的直线与双曲线交于，
所以的面积为，即，
又，
所以，
所以双曲线的方程为，故正确;
则双曲线的渐近线方程为，所以两渐近线的倾斜角为，
则两渐近线所成的锐角为，故B正确;
不妨取渐近线，即，
到双曲线渐近线的距离为,故C错误﹔
双曲线的离心率为.故D错误;
故选：AB
12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A. 直径为的球体
B. 所有棱长均为的四面体
C. 底面直径为，高为的圆柱体
D. 底面直径为，高为的圆柱体
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，故A正确；
对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，
所以能够被整体放入正方体内，故B正确；
对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，
所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；
对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过的中点作，设，
可知，则，
即，解得，
且，即，
故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，
若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，
可知：，则，
即，解得，
根据对称性可知圆柱的高为，
所以能够被整体放入正方体内，故D正确；
故选：ABD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知△的三个顶点分别是点A（4，0），，，则△的外接圆的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】令外接圆圆心，而中点为、中点为，由求x、y，进而求半径，即可写出△的外接圆的方程.
【详解】令△的外接圆圆心，又A（4，0），，
∴中点为，则，则，
中点为，则，则，
∴圆心，又外接圆的半径，
∴△的外接圆的方程为.
故答案为：.
14. 如图，长方体中，若，则到平面的距离为______．
【答案】##
【解析】
【分析】求出面的法向量，利用向量法得出到平面的距离.
【详解】因为，所以，
，设平面的法向量为，由，可得
，取，则，
即到平面的距离为.
故答案为：
15. 设是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为，，过作直线的垂线，分别交，于、两点．若，，成等差数列，且向量与同向，则双曲线离心率的大小为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线的性质，等差数列的定义，二倍角的正切公式求解
【详解】不妨设的倾斜角为锐角向量与同向，
渐近线的倾斜角为，渐近线斜率为：，，，
，，
，
，，成等差数列，，，
在直角中，，由对称性可知：斜率为，
，，（舍去）；
，，，
故答案为：
16. 如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为______，直线与“果圆”交于，两点，且中点为，点的轨迹方程为______．
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】根据各半椭圆方程可得，，的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长；分别表示点，的坐标，利用中点公式表示，消参即可得到点，得轨迹方程.
【详解】由，，是相应半椭圆的焦点，
可得，，，
所以，，，
故所求周长为；
设，
联立直线与，得，
即点，
联立直线与，得，
即点，且不重合，即，
又为中点，
所以，
即，，整理可得，，
故答案为：，.
四、解答题：本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点．
（1）求C的方程；
（2）求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程即可求解作答.
（2）根据给定条件，求出线段AB的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径作答.
【小问1详解】
依题意，抛物线C的焦点在直线上，则，解得，
所以C的方程为．
【小问2详解】
由（1）知，抛物线C的准线方程为，设，，AB的中点为，
由消去y得，则，有，，即，
因此线段AB的中垂线方程为，即，
令，得，设所求圆的圆心为E，则，
又AB过C的焦点F，则有，
设所求圆的半径为r，则，
故所求圆的方程为．
18. 近年来，中学生的体质健康情况成了网络上的一个热门话题，各地教育部门也采取了相关的措施，旨在提升中学生的体质健康，其中一项便是增加中学生一天中的体育活动时间．某地区中学生的日均体育活动时间均落在区间内，为了了解该地区中学生的日均体育活动时间，研究人员随机抽取了若干名中学生进行调查，所得数据统计如下图所示．
（1）求的值以及该地区中学生日均体育活动时间的平均数；
（2）现按比例进行分层抽样，从日均体育活动时间在和的中学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求至多有1人体育活动时间超过80min的概率．
【答案】（1），平均数为；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积和为1得到方程，解出值，再利用平均数计算公式即可；
（2）利用列举法即可得到概率.
【小问1详解】
依题意，，解得，
所求平均数为.
【小问2详解】
因为日均体育活动时间在和的中学生频率之比为，
所以，，则日均体育活动时间在和的中学生分别抽取4人和2人，
假设体育活动时间在日均范围的4人分别为，
体育活动时间在日均范围的2人分别为，
则一共有
；
一共20种情况，其中两人体育活动时间80min的共有4种，
则符合至多有1人体育活动时间超过80min的共有16种，
设至多有1人体育活动时间超过80min为事件，则.
故至多有1人体育活动时间超过80min的概率为.
19. 如图，在正四棱锥P－ABCD中，，点M，N分别在PA，BD上，且．
（1）求证：；
（2）求证：平面PBC，并求直线MN到平面PBC的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接AN并延长交BC于E，连接PE，先通过比例得到，再通过证明可得；
（2）通过可得平面PBC，将求直线MN到平面PBC的距离转化为点N到平面PBC的距离，利用等体积法可得距离.
【小问1详解】
连接AN并延长交BC于E，连接PE，
，即
，
，即，
，
，
又，故E为BC中点，
又在正四棱锥中PA=AB，则，
，即PE⊥AD，
；
【小问2详解】
由（1）得，且面PBC，面PBC，
平面PBC，
故直线MN到平面PBC的距离即为点N到平面PBC的距离，设为
，
，
点P到面ABCD的距离，
由，得，
，
得.
20. 歇山顶，即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称歇山顶，又名九脊顶，其屋顶（上半部分）类似于五面体形状．如图所示的五面体的底面ABCD为一个矩形，，，，棱，M，N分别是AD，BC的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明以及，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面与平面法向量，根据向量的夹角公式即可求解.
【小问1详解】
因为，为的中点，所以．
在矩形中，，分别是，的中点，所以．
又，，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
【小问2详解】
在平面中，过作，为垂足．
因为平面平面ABCD，平面平面，
平面，所以平面．
过作的平行线，交于点，则，，，
以为坐标原点，以，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，．
设平面EFCD的一个法向量为，则，所以，
取，解得，所以，
同理可得平面的一个法向量为．
设平面与平面夹角为．则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
21. 已知椭圆上的点到右焦点的最大距离是，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段的中垂线交x轴于点，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆上的点到右焦点的最大距离是，得到，再结合求解.
（2）由（1）得，设直线的方程为与椭圆方程联立,结合韦达定理得到线段的中点为，当时，直线为y轴，此时，当时，直线的方程为，将点坐标代入得到求解.
【详解】（1）由已知可得，
解得
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）得，设直线的方程为.
与椭圆方程联立得消去y，可得.
，设，
则.
所以线段的中点为.
①当时，直线为y轴，此时.
②当时，直线的方程为，
化简得.
将点坐标代入，得.
所以.
综上所述，实数m的取值范围为.
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
22. 已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意得到关于的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.
（2）方法一：设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置.
【详解】（1）由题意可得：，解得：，
故椭圆方程为：.
(2)［方法一］：通性通法
设点，
若直线斜率存在时，设直线的方程为：，
代入椭圆方程消去并整理得：，
可得，，
因为，所以，即，
根据,代入整理可得：
，
所以，
整理化简得，
因为不在直线上，所以，
故，于是的方程为，
所以直线过定点直线过定点.
当直线的斜率不存在时，可得，
由得：，
得，结合可得：，
解得：或（舍）.
此时直线过点
令为的中点，即，
若与不重合，则由题设知是的斜边，故，
若与重合，则，故存在点，使得为定值.
［方法二］【最优解】：平移坐标系
将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即．
设，因为则，即．
代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点．
又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．
故存在，使得．
［方法三］：建立曲线系
A点处的切线方程为，即．设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．由题意得．
则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）．
用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）．
即．
对比项、x项及y项系数得
将①代入②③，消去并化简得，即．
故直线的方程为，直线过定点．又，D在以为直径的圆上．中点即为圆心Q．
经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得．
［方法四］：
设．
若直线的斜率不存在，则．
因为，则，即．
由，解得或（舍）．
所以直线的方程为．
若直线的斜率存在，设直线的方程为，则．
令，则．
又，令，则．
因为，所以，
即或．
当时，直线的方程为．所以直线恒过，不合题意；
当时，直线的方程为，所以直线恒过．
综上，直线恒过，所以．
又因为，即，所以点D在以线段为直径的圆上运动．
取线段的中点为，则．
所以存在定点Q，使得为定值．
【整体点评】（2）方法一：设出直线方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点，再根据平面几何知识可知定点即为的中点，该法也是本题的通性通法；
方法二：通过坐标系平移，将原来的O点平移至点A处，设直线的方程为，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出的关系，从而可知直线过定点，从而可知定点即为的中点，该法是本题的最优解；
方法三：设直线，再利用过点的曲线系，根据比较对应项系数可求出的关系，从而求出直线过定点，故可知定点即为的中点；
方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解以及的计算．