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第6练 函数及其表示-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）
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这是一份第6练 函数及其表示-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用），文件包含第6练函数及其表示原卷版-高三数学一轮复习五层训练新高考地区docx、第6练函数及其表示解析版-高三数学一轮复习五层训练新高考地区docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
1.（人A必修一P72习题3.1T1（4）变式）已知集合,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为,,所以.故选B.
2. （人A必修一P72习题3.1T2变式）（多选）下列四组函数中为同一函数的组是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】AC
【解析】对于A,函数定义域为R,函数定义域为R,定义域与对应关系相同,所以为同一函数,故A正确；对于B,函数定义域为R,函数定义域为,定义域不同,所以不为同一函数,故B错误；对于C,函数定义域为R,函数定义域为R,定义域与对应关系相同,所以为同一函数,故C正确；对于D,函数定义域为,函数定义域为,定义域不同,所以不为同一函数,故D错误；故选AC
3.（人A必修一P72习题3.1T13变式）（多选）设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数,也叫取整函数.令,以下结论正确的是（ ）
A．B．为偶函数
C．最小正周期为D．的值域为
【答案】AC
【解析】对于A,,故A正确.
对于B,取,则,而,
故,所以函数不为偶函数,故B错误.
对于C,则,故C正确.
对于D,由C的判断可知,为周期函数,且周期为,
要求的值域,只需求时的值域即可.
当时,则,
当时,,
故当时,则有,故函数的值域为,故D错误.
故选AC．
4. （人A必修一P72习题3.1T1（3）变式）函数的定义域为R,则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数的定义域为R,则,.
二、考点分类练
(一)函数的概念及函数求值
5．（2022届新疆乌鲁木齐高三第二次质量监测）已知函数 ,若,则（ ）
A．B．2或C．或2D．或
【答案】C
【解析】当时,此时,即令,得 ,满足；当时,此时,即令,得 ,因为,所以.综上所述,或.故选C.
6．下列四个图形中,不是以x为自变量的函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由函数定义：定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应,
A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言,有两个不同的函数值与之对应,不符合函数定义.故选C
(二)函数的定义域
7．已知集合,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】,,所以,所以.故选B.
8.（2022届河南省南阳市高三上学期期末）已知函数,则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】要使有意义,则即,解得,所以函数的定义域为.要使有意义,则,解得且,
所以函数的定义域为.故选B.
9．若函数的定义域为,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为,的定义域为,所以首先满足恒成立,,
再者满足,变形得到
,最终得到.故选B.
(三)函数的解析式
10．（2022届河南省焦作市高三上学期期中）已知函数在上满足,则曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵函数在上满足,用替换得：
,
∴
∴
令,则,∴,即
∴,∴,
∴曲线处的切线方程是：,即.
故选D.
11.上世纪50年代小学冬天普遍采用三足铸铁火炉,炉子上是铁皮卷成的烟囱,拐弯处的烟囱叫拐脖,如图1所示.其中一部分是底面半径为1的铁皮圆柱筒被一个与底面成45°的平面截成,截成的最短和最长母线长分别为,,如图2所示,现沿将其展开,放置坐标系中,则展开图上缘对应的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】是图象上任意一点对应烟囱上的点,是底面圆周上一点,是母线,
设底面圆心为,,则,设于,平面交于,
易得,作于,则.
故选D.
12. 已知在上是减函数,且对任意的都成立,写出一个满足以上特征的函数___________.
【答案】答案不唯一
【解析】由题意可知,可变化为的形式,由此可想到对数函数,又因为在上是减函数且,所以满足条件的一个函数可取,故答案为：(答案不唯一).
(四)分段函数
13.（2022届四川省成都市高三第二次诊断）已知函数,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】.故选A.
14.（2022届广西（燕博园）高三3月综合能力测试）已知函数,若存在最小值,则实数的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由已知,当时,,此时函数不存在最小值,
当时,,此时当时函数取得最小值,
因此要使得存在最小值,即满足,
设函数,此函数在上单调递增,
,
,
,
所以当时,成立,
故实数的范围是.故选A.
15. （2022届山西省临汾市高三二模）已知函数,若恒成立．则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意,当时,,当时,,
解得,当时,在上单调递减,成立,则有,
当时,,令,,
,当时,,当时,,
则在上单调递减,在上单调递增,,于是得,
综上得,,所以a的取值范围为.
三、最新模拟练
16. （2022届河南省信阳市高三上学期质量检测）若函数的定义域为,则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因函数的定义域为,则在函数中,必有,解得,
所以的定义域为.故选A
17.（2022届江西省高三上学期质检）已知函数的定义域与值域均为,则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】∵的解集为,∴方程的解为或4,
则,,,∴,又因函数的值域为,
∴,∴.故选A.
18.（2022届安徽省安庆市重点高中高三上学期月考）已知是定义域为的单调函数,且对任意实数,都有,则的值为（）
A．0B．C．D．1
【答案】B
【解析】根据题意,令,为常数,可得,且,所以时有,将代入,等式成立,所以是的一个解,因为随的增大而增大,所以可以判断为增函数,所以可知函数有唯一解,又因为,所以,即,所以.故选B.
19.( 2022届河北武强高三上学期月考)（多选）函数是定义在R上的奇函数,下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值,则在上有最大值1
C．若在上为增函数,则在上为减函数
D．若时,,则时,
【答案】ABD
【解析】由得,故正确；当时,,且存在使得,
则时,,,且当有,∴在上有最大值为1,故正确；若在上为增函数,而奇函数在对称区间上具有相同的单调性,则在上为增函数,故错误；若时,,则时,,,故正确．故选．
20.（2022届四川省内江市高三上学期月考）若函数满足,则__．
【答案】
【解析】令,可得,所以,所以
21.（2022届四川省南充市高三下学期诊断）具有性质：的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数．给出下列函数：①；②；③其中满足“倒负”变换的函数是_______________________．
【答案】②③
【解析】①,所以不符合题意；
②,所以符合题意；
③,当时,故,当时显然满足题意,当时,,故符合题意,故答案为②③
22.（2022届重庆市涪陵高三上学期月考）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费(单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km)成反比,每月库存物费(单位：万元）与x成正比：若在距离车站2km处建仓库,则和分别为10万元和1.6万元.
(1)分别求出和的解析式；
(2)当两项费用满足（1）的条件时 问这家公司应该把仓库建在距离车站多少km处,才能使两项费用之和(单位：万元）最小？并求出这个最小值.
【解析】 (1)设仓库建在距离车站处时,两项费用之和为万元.
根据题意可设,.
由题可知,当时,,,则,.
所以,.
(2)由（1）可知.
根据均值不等式可得,
当且仅当,即时,上式取等号.
故这家公司应该把仓库建在距离车站处,才能使两项费用之和最小,且最小值为8万元.
四、高考真题练
23．(2021全国卷甲)设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,
．若,则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为是奇函数,所以①；
因为是偶函数,所以②．
令,由①得：,由②得：,
因为,所以,
令,由①得：,所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知,函数的周期．所以．
故选D．
24．(2020全国卷丙)Lgistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城．有学者根
据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：,
其中K为最大确诊病例数．当I()=0．95K时,标志着已初步遏制疫情,则约为( )(ln19≈3)
A．60B．63C．66D．69
【答案】C
【解析】,所以,则,
所以,,解得．故选C．
25．(2019全国卷甲)设函数的定义域为,满足,且当
时,．若对任意,都有,则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵时,,,∴,即右移个单位,图像变为原来的倍．
如图所示：当时,,令,整理得：,∴（舍）,∴,,∴时,成立,即,∴,故选B ．
26.(2017全国卷丙)设函数,则满足的的取值范围是 ．
【答案】
【解析】法一：因为
当时,；
当时,；
当时,由,可解得
综上可知满足的的取值范围是．
五、综合提升练
27．（2022届上海市普陀区高三上学期调研）关于函数,有下列叙述：
①存在函数满足,对任意都有；
②存在函数满足,对任意都有；
③存在函数满足,对任意都有；
④存在函数满足,对任意都有；
其中,叙述正确的是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解析】①令,则,所以,令,则,所以,矛盾,故不存在；
②令,则,所以,令,则,所以,矛盾,故不存在；
③令,则化为,令,则,所以,正确；④令,得,令,得,矛盾,故不存在；所以正确的个数是1个,
故选A．
28．（2022届山西省高三第二次模拟）已知,若对任意,关于x的方程无实根,则实数a的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时；
当时.
若对任意,方程无实根,则,解得：.
故选A．
29．（2022届天津市耀华中学高三下学期统练）已知函数（,且）在区间上为单调函数,若函数有三个不同的零点,则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题,因为在上为单调函数,且时,单调递减,
所以,解得,
在同一坐标系中画出和的图象,如图所示：
由图象可知当时,和的图象有两个交点,
故只需当时,和的图象有且只有一个交点,
当,即,即时,满足题意；
当,即时,只需与相切,
联立可得,则,解得,
综上,的取值范围是
故选D
30．（2022届北京市通州区高三一模）已知函数,其中,且．给出下列三个结论：
①函数是单调函数；
②当时,函数的图象关于直线对称；
③当时,方程根的个数可能是1或2．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【解析】当时, 在单调递减,且,
在单调递减,且,
故在上单调递减；
当时, 在单调递增,且,
在单调递增,且,
故在上单调递增；则①正确；
设为图象上的任一点,不妨设,因为则
点关于直线对称的对称点为
由得,所以点符合
所以当时,函数的图象关于直线对称；故②正确；
当时,令
若,则；若,则化为．
设,则,所以在点处的切线的斜率为
当时,直线与相切,方程根的个数是1,
当且时,直线与相交,方程根的个数是2,
则③正确．故选D
1.（人A必修一P72习题3.1T1（4）变式）已知集合,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为,,所以.故选B.
2. （人A必修一P72习题3.1T2变式）（多选）下列四组函数中为同一函数的组是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】AC
【解析】对于A,函数定义域为R,函数定义域为R,定义域与对应关系相同,所以为同一函数,故A正确；对于B,函数定义域为R,函数定义域为,定义域不同,所以不为同一函数,故B错误；对于C,函数定义域为R,函数定义域为R,定义域与对应关系相同,所以为同一函数,故C正确；对于D,函数定义域为,函数定义域为,定义域不同,所以不为同一函数,故D错误；故选AC
3.（人A必修一P72习题3.1T13变式）（多选）设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数,也叫取整函数.令,以下结论正确的是（ ）
A．B．为偶函数
C．最小正周期为D．的值域为
【答案】AC
【解析】对于A,,故A正确.
对于B,取,则,而,
故,所以函数不为偶函数,故B错误.
对于C,则,故C正确.
对于D,由C的判断可知,为周期函数,且周期为,
要求的值域,只需求时的值域即可.
当时,则,
当时,,
故当时,则有,故函数的值域为,故D错误.
故选AC．
4. （人A必修一P72习题3.1T1（3）变式）函数的定义域为R,则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数的定义域为R,则,.
二、考点分类练
(一)函数的概念及函数求值
5．（2022届新疆乌鲁木齐高三第二次质量监测）已知函数 ,若,则（ ）
A．B．2或C．或2D．或
【答案】C
【解析】当时,此时,即令,得 ,满足；当时,此时,即令,得 ,因为,所以.综上所述,或.故选C.
6．下列四个图形中,不是以x为自变量的函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由函数定义：定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应,
A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言,有两个不同的函数值与之对应,不符合函数定义.故选C
(二)函数的定义域
7．已知集合,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】,,所以,所以.故选B.
8.（2022届河南省南阳市高三上学期期末）已知函数,则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】要使有意义,则即,解得,所以函数的定义域为.要使有意义,则,解得且,
所以函数的定义域为.故选B.
9．若函数的定义域为,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为,的定义域为,所以首先满足恒成立,,
再者满足,变形得到
,最终得到.故选B.
(三)函数的解析式
10．（2022届河南省焦作市高三上学期期中）已知函数在上满足,则曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵函数在上满足,用替换得：
,
∴
∴
令,则,∴,即
∴,∴,
∴曲线处的切线方程是：,即.
故选D.
11.上世纪50年代小学冬天普遍采用三足铸铁火炉,炉子上是铁皮卷成的烟囱,拐弯处的烟囱叫拐脖,如图1所示.其中一部分是底面半径为1的铁皮圆柱筒被一个与底面成45°的平面截成,截成的最短和最长母线长分别为,,如图2所示,现沿将其展开,放置坐标系中,则展开图上缘对应的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】是图象上任意一点对应烟囱上的点,是底面圆周上一点,是母线,
设底面圆心为,,则,设于,平面交于,
易得,作于,则.
故选D.
12. 已知在上是减函数,且对任意的都成立,写出一个满足以上特征的函数___________.
【答案】答案不唯一
【解析】由题意可知,可变化为的形式,由此可想到对数函数,又因为在上是减函数且,所以满足条件的一个函数可取,故答案为：(答案不唯一).
(四)分段函数
13.（2022届四川省成都市高三第二次诊断）已知函数,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】.故选A.
14.（2022届广西（燕博园）高三3月综合能力测试）已知函数,若存在最小值,则实数的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由已知,当时,,此时函数不存在最小值,
当时,,此时当时函数取得最小值,
因此要使得存在最小值,即满足,
设函数,此函数在上单调递增,
,
,
,
所以当时,成立,
故实数的范围是.故选A.
15. （2022届山西省临汾市高三二模）已知函数,若恒成立．则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意,当时,,当时,,
解得,当时,在上单调递减,成立,则有,
当时,,令,,
,当时,,当时,,
则在上单调递减,在上单调递增,,于是得,
综上得,,所以a的取值范围为.
三、最新模拟练
16. （2022届河南省信阳市高三上学期质量检测）若函数的定义域为,则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因函数的定义域为,则在函数中,必有,解得,
所以的定义域为.故选A
17.（2022届江西省高三上学期质检）已知函数的定义域与值域均为,则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】∵的解集为,∴方程的解为或4,
则,,,∴,又因函数的值域为,
∴,∴.故选A.
18.（2022届安徽省安庆市重点高中高三上学期月考）已知是定义域为的单调函数,且对任意实数,都有,则的值为（）
A．0B．C．D．1
【答案】B
【解析】根据题意,令,为常数,可得,且,所以时有,将代入,等式成立,所以是的一个解,因为随的增大而增大,所以可以判断为增函数,所以可知函数有唯一解,又因为,所以,即,所以.故选B.
19.( 2022届河北武强高三上学期月考)（多选）函数是定义在R上的奇函数,下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值,则在上有最大值1
C．若在上为增函数,则在上为减函数
D．若时,,则时,
【答案】ABD
【解析】由得,故正确；当时,,且存在使得,
则时,,,且当有,∴在上有最大值为1,故正确；若在上为增函数,而奇函数在对称区间上具有相同的单调性,则在上为增函数,故错误；若时,,则时,,,故正确．故选．
20.（2022届四川省内江市高三上学期月考）若函数满足,则__．
【答案】
【解析】令,可得,所以,所以
21.（2022届四川省南充市高三下学期诊断）具有性质：的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数．给出下列函数：①；②；③其中满足“倒负”变换的函数是_______________________．
【答案】②③
【解析】①,所以不符合题意；
②,所以符合题意；
③,当时,故,当时显然满足题意,当时,,故符合题意,故答案为②③
22.（2022届重庆市涪陵高三上学期月考）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费(单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km)成反比,每月库存物费(单位：万元）与x成正比：若在距离车站2km处建仓库,则和分别为10万元和1.6万元.
(1)分别求出和的解析式；
(2)当两项费用满足（1）的条件时 问这家公司应该把仓库建在距离车站多少km处,才能使两项费用之和(单位：万元）最小？并求出这个最小值.
【解析】 (1)设仓库建在距离车站处时,两项费用之和为万元.
根据题意可设,.
由题可知,当时,,,则,.
所以,.
(2)由（1）可知.
根据均值不等式可得,
当且仅当,即时,上式取等号.
故这家公司应该把仓库建在距离车站处,才能使两项费用之和最小,且最小值为8万元.
四、高考真题练
23．(2021全国卷甲)设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,
．若,则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为是奇函数,所以①；
因为是偶函数,所以②．
令,由①得：,由②得：,
因为,所以,
令,由①得：,所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知,函数的周期．所以．
故选D．
24．(2020全国卷丙)Lgistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城．有学者根
据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：,
其中K为最大确诊病例数．当I()=0．95K时,标志着已初步遏制疫情,则约为( )(ln19≈3)
A．60B．63C．66D．69
【答案】C
【解析】,所以,则,
所以,,解得．故选C．
25．(2019全国卷甲)设函数的定义域为,满足,且当
时,．若对任意,都有,则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵时,,,∴,即右移个单位,图像变为原来的倍．
如图所示：当时,,令,整理得：,∴（舍）,∴,,∴时,成立,即,∴,故选B ．
26.(2017全国卷丙)设函数,则满足的的取值范围是 ．
【答案】
【解析】法一：因为
当时,；
当时,；
当时,由,可解得
综上可知满足的的取值范围是．
五、综合提升练
27．（2022届上海市普陀区高三上学期调研）关于函数,有下列叙述：
①存在函数满足,对任意都有；
②存在函数满足,对任意都有；
③存在函数满足,对任意都有；
④存在函数满足,对任意都有；
其中,叙述正确的是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解析】①令,则,所以,令,则,所以,矛盾,故不存在；
②令,则,所以,令,则,所以,矛盾,故不存在；
③令,则化为,令,则,所以,正确；④令,得,令,得,矛盾,故不存在；所以正确的个数是1个,
故选A．
28．（2022届山西省高三第二次模拟）已知,若对任意,关于x的方程无实根,则实数a的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时；
当时.
若对任意,方程无实根,则,解得：.
故选A．
29．（2022届天津市耀华中学高三下学期统练）已知函数（,且）在区间上为单调函数,若函数有三个不同的零点,则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题,因为在上为单调函数,且时,单调递减,
所以,解得,
在同一坐标系中画出和的图象,如图所示：
由图象可知当时,和的图象有两个交点,
故只需当时,和的图象有且只有一个交点,
当,即,即时,满足题意；
当,即时,只需与相切,
联立可得,则,解得,
综上,的取值范围是
故选D
30．（2022届北京市通州区高三一模）已知函数,其中,且．给出下列三个结论：
①函数是单调函数；
②当时,函数的图象关于直线对称；
③当时,方程根的个数可能是1或2．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【解析】当时, 在单调递减,且,
在单调递减,且,
故在上单调递减；
当时, 在单调递增,且,
在单调递增,且,
故在上单调递增；则①正确；
设为图象上的任一点,不妨设,因为则
点关于直线对称的对称点为
由得,所以点符合
所以当时,函数的图象关于直线对称；故②正确；
当时,令
若,则；若,则化为．
设,则,所以在点处的切线的斜率为
当时,直线与相切,方程根的个数是1,
当且时,直线与相交,方程根的个数是2,
则③正确．故选D
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