考点巩固卷20 椭圆方程及其性质(十大考点)-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）

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考点01椭圆的定义
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知点满足方程，点．若斜率为斜率为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
4．椭圆上的一点到左焦点的距离为是的中点，则等于_____.
5．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为_____.
6．椭圆，是左、右焦点，点，点为椭圆上一动点，则的最大值为_____，最小值为_____．
考点02椭圆的标准方程
7．（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（ ）
A．B．C．D．
8．已知m、n均为实数，方程表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是_____.
9．已知椭圆的两焦点为，点在椭圆上．若的面积最大为12，则椭圆的标准方程为_____．
10．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在原点，一个焦点坐标为，短轴长为4；
(2)中心在原点，焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1.
11．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在轴上，焦距为，且经过点；
(2)焦距为4，且经过点．
12．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍；
(2)经过点，离心率为，焦点在x轴上；
(3)经过两点，.
考点03椭圆的焦点三角形问题
13．已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（ ）
A．的周长为6B．的面积为
C．的内切圆的半径为D．的外接圆的直径为
14．（多选）若是椭圆上一点，，为其左右焦点，且不可能为钝角，则实数的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
15．已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为_____．
16．已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点．
(1)若，求；
(2)若的面积为9，求的大小．
17．已知点在焦点为的椭圆上，若，求的值．
考点04椭圆的简单几何性质
18．曲线与曲线的（ ）.
A．长轴长相等B．焦距相等C．离心率相等D．短轴长相等
19．若某卫星运行的轨道是以地心为一个焦点的椭圆，该卫星近地点离地面的距离为 km，远地点离地面的距离为km，地球的半径为km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于（ ）
A．B．
C．D．
20．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第二象限．若为等腰三角形，则点的坐标为_____．
21．若一椭圆以原点为中心，一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍，求该椭圆的标准方程．
22．已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点且与椭圆有公共的焦点，求椭圆的标准方程．
考点05求椭圆离心率
23． （2024届湖南省永州市高三一模数学试题）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
24．如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（ ）

A．B．C．D．
25．已知是椭圆的左焦点，若过的直线与圆相切，且的倾斜角为，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
26．已知椭圆为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
27．已知椭圆的上、下焦点分别为、，焦距为，与坐标轴不垂直的直线过且与椭圆交于、两点，点为线段的中点，若，则椭圆的离心率为_____．
28． （2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知椭圆的左､右焦点为，点在椭圆上，分别延长，交椭圆于点，且，则线段的长为_____，椭圆的离心率为_____.
考点06求椭圆离心率的取值范围
29．已知圆与椭圆 ，若在椭圆上存在一点，使得由点所作的圆的两条切线的夹角为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
30．椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
31．若椭圆上存在一点M，使得（，分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为_____.
32． （2021·陕西西安·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，半焦距为，是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，若存在以为半径的圆内切于（的面积满足），则椭圆的离心率的取值范围是_____．
33．已知椭圆的一个焦点为，椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围是_____．
34．已知点是椭圆：的右焦点，点关于直线的对称点在上，其中，则的离心率的取值范围为_____.
考点07直线与椭圆的位置关系
35．在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
36．已知直线与椭圆，分别求直线l与椭圆C有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时m的取值范围．
37．如图，已知直线和椭圆．m为何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？
38．已知直线与椭圆相交于不同两点，求实数的取值范围．
考点08椭圆的弦长问题
39．（多选）已知过点的直线与椭圆交于、两点，则弦长可能是（ ）
A．1B．C．D．3
40．过椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且，则直线方程为_____．
41．已知椭圆的左焦点为，直线l：与椭圆C交于A、B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)求的面积．
42．已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的最大值.
43．已知椭圆的下焦点、上焦点为，离心率为.过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于，两点.
(1)求的值；
(2)求（为坐标原点）面积的最大值.
44．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上一动点，，椭圆的离心率为，直线过点交椭圆于不同的两点，.
(1)求椭圆的方程：
(2)若三角形的面积为，求直线的方程.
考点09椭圆的中点弦问题
45．已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
46．若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
47．已知椭圆，直线依次交轴、椭圆轴于点四点．若，且直线斜率．则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
48．已知椭圆的长轴长为，且与轴的一个交点是，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
49．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线
(1)求的方程；
(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．
50．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
考点10直线与椭圆的综合问题
51．已知椭圆：的离心率为，且经过点．
(1)求的方程；
(2)过椭圆外一动点作椭圆的两条切线，，斜率分别为，，若恒成立，证明：存在两个定点，使得点到这两定点的距离之和为定值．
52．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆上顶点，点是椭圆上异于顶点的任意一点，直线交轴于点，点与点关于轴对称，直线交轴于点.问：在轴的正半轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
53．已知椭圆：的焦点为，，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为，过点作直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
54．已知圆上有一动点，点的坐标为，四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，点的坐标为，直线与轴分别交于两点，求证：线段的中点为定点，并求出面积的最大值.
55．已知椭圆：，为椭圆的右焦点，三点，，中恰有两点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点为椭圆的左右端点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于），求证：直线与直线的交点在定直线上运动，并求出该直线的方程.
56．已知和是椭圆的左、右顶点，直线与椭圆相交于M，N两点，直线不经过坐标原点，且不与坐标轴平行，直线与直线的斜率之积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线OM与椭圆的另外一个交点为，直线与直线相交于点，直线PO与直线相交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程．