北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题6.15 反比例函数与几何综合（巩固篇）（专项练习）

这是一份北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题6.15 反比例函数与几何综合（巩固篇）（专项练习），共37页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，矩形的中心为直角坐标系的原点O，各边分别与坐标轴平行，其中一边交x轴于点C，交反比例函数图象于点P．当点P是的中点时，求得图中阴影部分的面积为8，则该反比例函数的表达式是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A点的横坐标为1，∠BAD＝45°，反比例函数y的图像经过A，B两点，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．B．C．2D．4
3．如图，在平面直角坐标系中，O是斜边AB的中点，点A、E均在反比例函数上，AE延长线交x轴于点D，，．则的面积为（ ）
A．18B．12C．9D．24
4．如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中C，D在x轴上，则为（ ）
A．6B．5C．4D．3
5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、．，，将沿直线翻折，点的对应点恰好落双曲线（是常数，）的图像上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是射线上一点，过作轴于点，以为边在其右侧作正方形，过的双曲线交边于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点为反比例函数上的一点，点为轴负半轴上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转；点的对应点为点．若点恰好也在反比例函数的图像上，且点的横坐标是A点横坐标的两倍，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线交于原点O，交于点G，反比例函数的图象经过线段的中点E，若，则的长为( )
A．B．C．D．
9．如图，点为坐标原点，菱形的边在轴的正半轴上，对角线、交于点，反比例函数的图象经过点和点，若菱形的面积为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，中，点在第一象限，且，，反比例函数图像经过点，反比例函数图像经过点，且点的纵坐标为2，则的值为（ ）
A．1B．C．D．2
二、填空题
11．如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数的图像交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，则点C的坐标是______．
12．如图．在平面直角坐标系中，的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线相交于点C，且．则k的值为_________．
13．如图，平行四边形ABCD的BC边过原点O，顶点D在x轴上，反比例函数的图象过AD边上的A，E两点，已知平行四边形ABCD的面积为8，，则k的值为______．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图象经过上的点、，且，的面积为12，则的值为_________．
15．如图，直线与双曲线的图象交于点，点是该双曲线第一象限上的一点，且∠AOP=∠1+∠2，则点的坐标为______．
16．平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点.若，则k的值为___________．
17．如图，点是内一点，轴，轴，，，，若反比例函数的图像经过、两点，则的值是______．
18．如图，已知，，，…，是x轴正半轴上的点，且，分别过点，，，…，作x轴的垂线交反比例函数的图像于点，，，…，，作于点，作于点，…，依次连接，，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为．
（1）______；
（2）______．
三、解答题
19．如图，矩形的边、分别在轴、轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，且．将矩形以点为旋转中心，顺时针旋转后得到矩形，函数的图象刚好经过的中点，交于点．
(1) 求该反比例函数关系式；
(2) 求的面积．
20．如图1，在平面直角坐标系中，，是反比例函数图象上的两点，连接，线段分别与坐标轴交于点、点．
(1) 求证：；
(2) 请仅用无刻度的直尺在图2中画出一条与相等的线段（保留作图痕迹）．
21．如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，△ABC的面积为2．OB=BA，点P（m，1）在反比例函数的图象上，点Q是x轴上一动点，若QA+QP最小，求点Q的坐标．
22．如图，菱形ABCD的顶点A、B分别在y轴与x轴正半轴上，C、D在第一象限，轴，反比例函数的图象经过顶点D．
(1) 若，
① 求反比例函数的解析式；
② 证明：点C落在反比例函数的图象上；
(2) 若，，求菱形ABCD的边长．
23．对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“直图形”．例如，图中点为点关于点的“直V图形”．
(1)的图像关于原点的“直图形”的表达式为__________；
(2)为的图像上一点，其横坐标为，点的坐标为．点关于点的“直图形”为点．
①若，试说明：不论为何值，点始终在直线上；
②若，试判断点能否在直线上？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
24．如图1，反比例函数的图象过点．
(1)求反比例函数的表达式，判断点在不在该函数图象上，并说明理由；
(2)反比例函数的图象向左平移2个单位长度，平移过程中图象所扫过的面积是______；
(3)如图2，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是直线l下方反比例函数图象上一个动点，过点P分别作轴交直线l于点C，作轴交直线l于点D，请判断的值是否发生变化，并说明理由，如果不变化，求出这个值．
参考答案
B
【分析】根据反比例函数的对称性以及已知条件，可得矩形的面积是8，设，则，根据，可得，再根据反比例函数系数的几何意义即可求出该反比例函数的表达式．
解：如下图所示，设矩形与y轴交于点D，
∵矩形的中心为直角坐标系的原点O，反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形，且图中阴影部分的面积为8，
∴矩形的面积是8，
设，则，
∵点P是AC的中点，
∴，
设反比例函数的解析式为，
∵反比例函数图象于点P，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
故选：B．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数的几何意义，得出矩形的面积是8是解题的关键．
A
【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H，先根据反比例函数解析式求出A的坐标，设菱形的边长为a，易证∠BAD＝∠ABH＝45°，即AH＝BHa，则点B（1a，2a），再求出AH，最后根据菱形的面积公式计算即可．
解：作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵反比例函数y的图像经过A，B两点，A点的横坐标为1，
∴A（1，2），
设菱形的边长为a，
∵ADBC，
∴∠BAD＝∠ABH＝45°，
∴AH＝BHa，
∴B（1a，2a），
∴（1a）•（2a）＝2，
∴a1，a2＝0（舍去），
∴AH1，
∴菱形ABCD的面积＝BC×AH．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，掌握反比例函数的性质和菱形的性质是解答本题的关键．
A
【分析】连接OE、OC，过点E作EF⊥OD于点F，过点A作AG⊥OD于点G，根据．可得，，再根据反比函数比例系数的几何意义可得，从而得到OF=2OG，进而得到，可得到，再证明OC∥AD，即可求解．
解：如图，连接OE、OC，过点E作EF⊥OD于点F，过点A作AG⊥OD于点G，
∵．
∴点E的横纵坐标等于点A、D的横纵坐标之和的一半，
∴，，
∵点A、E均在反比例函数上，
∴，即，
∴OF=2OG，
∴OD=3OG，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵O是斜边AB的中点，
∴OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
∴∠AOC=2∠ABC，
∵∠BAD=2∠ABC，
∴∠AOC=∠BAD，
∴OC∥AD，
∴．
故选：A
【点拨】本题考查反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，平行线的判断和性质，直角三角形斜边中线的性质，等高模型等知识，解题的关键是证明OC∥AD，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
B
【分析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，则AB的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
解：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．
把y=b代入y=得，b=，则x=，即A的横坐标是；
把y=b代入y=-得，b=-，则x=，B的横坐标是：-．
则AB=-（-）=．
则S▱ABCD=×b=5．
故选：B．
【点拨】本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解A、B的纵坐标是同一个值，表示出AB的长度是关键．
B
【分析】过点C作CD⊥x轴，根据折叠的性质可得∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=4，∠ACB=AOB=90°，用含30°直角三角形的性质和勾股定理求出AD和CD的长，进而得到OD的长，即可得到点C的坐标，即可得出k的值．
解：如图，过点C作CD⊥x轴，
∵将△ABO沿直线AB翻折，
∴∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=4，∠ACB=AOB=90°，
∴∠CAD＝60°，
∴AD＝，
∴CD＝，OD＝2，
∴C（－2，），
∵点C恰好落在双曲线(k≠0)上，
∴．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了翻折的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，反比例函数的解析式的求法，理解翻折的性质，求出点C的坐标是解答本题的关键．
A
【分析】设点B的坐标为（m，0），则点A的坐标为（m，），把点A的坐标代入反比例函数，得到反比例函数的解析式为y＝，结合正方形的性质，得到点C，点D和点E的横坐标，把点E的横坐标代入反比例函数的解析式，得到点E的纵坐标，求出线段DE和线段EC的长度，即可得到答案．
解：设点B的坐标为（m，0），则点A的坐标为（m，），
∴线段AB的长度为，点D的纵坐标为，
∵点A在反比例函数上，
∴k＝，即反比例函数的解析式为：y＝，
∵四边形ABCD为正方形，
∴正方形ABCD的边长为，
点C，点D和点E的横坐标为m＋，
把x＝代入y＝得：y＝，即点E的纵坐标为，
∴EC＝，DE＝，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质，正确掌握待定系数法和正方形的性质是解题的关键．
D
【分析】首先可证得△ABF≌△CAE(AAS)，得出AF=CE，BF=AE，再得出点C的横坐标，进而得出点C的纵坐标，再利用BF=AE，求出点B的纵坐标，进而得出点B的横坐标，最后根据AF=CE，建立方程求解即可得出结论．
解：如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
∴∠AEC=∠BFA=90°，
∴∠BAF+∠ABF=90°，
由旋转知，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠CAE+∠BAF=90°，
∴∠ABF=∠CAE，
∴△ABF≌△CAE(AAS)，
∴AF=CE，BF=AE，
∵C点的横坐标是A点横坐标的两倍，且点A(2k,0)，
∴点E(4k,0)，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵A(2k,0)，E(4k,0)，
∴AE=|2k−4k|=−2k，
∴BF=−2k，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∵AF=CE，
∴，
∴，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，构造出△ABF≌△CAE是解本题的关键．
B
【分析】过E作y轴和x的垂线EM，EN，证明四边形MENO是矩形，设E（b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得，进而可计算出CO长，利用等边三角形的性质可得，然后利用勾股定理计算出DG长，进而可得AG长．
解：过E作y轴和x的垂线EM，EN，垂足分别为M，N， 设E（b，a），
∵反比例函数（x＞0）经过点E，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO=BD=4，
∵EN⊥x，EM⊥y，
∴四边形MENO是矩形，
∴，，
∵E为CD的中点， 轴， 连接OE，


∴，
∴，

∵四边形ABCD是菱形，

为等边三角形，而
∴
∴DG=AG， 设DG=r，则AG=r，
在Rt△DOG中，DG2=GO2+DO2，
∴，
解得：，
∴AG= ．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了反比例函数和菱形的综合运用，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，二次根式的运算，关键是掌握菱形的性质：菱形对角线互相垂直平分，且平分每一组对角，反比例函数图象上的点横纵坐标之积=k．
A
【分析】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点A（m，n），根据题意将点D的坐标表示出来，即可求出AD所在直线的函数表达式，再求出点C的坐标；根据菱形的性质可得AO=CO，结合勾股定理即可表示出AE，最后根据菱形的面积求出m即可．
解：
过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，
设点A（m，n），
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴，
∵四边形OABC为菱形，则点D为AC中点，
∴DF=，即点D的纵坐标为，
∵反比例函数的图象经过点和点，
∴D（2m，），
设AD所在的直线函数表达式为：y=kx+b，
将A（m，n），D（2m，）代入得：，
解得：，
∴AD所在的直线函数表达式为：，
当y=0时，解得x=3m，
∴C（3m，0），
∴OA=OC=3m，
在Rt△OAE中，AE=，
∵菱形的面积为，
∴OC×AE=，解得：m=，
∴AE=，
∴A（，2），
故选：A
【点拨】本题主要考查了菱形的性质以及反比例函数的图象和性质，熟练地掌握相关性质内容，结合图形表示出点C的坐标是解题的关键．
A
【分析】如图:作轴于，轴于，则直线与直线交于点,在确定点B的坐标，进而确定BE、OE的长，再证明得到、，则可确定A点坐标，然后将A点坐标代入求出k，最后再根据函数图像所在的象限解答即可．
解：如图，作轴于，轴于，则直线与直线交于点，
反比例函数图像经过点，点的纵坐标为2，
点，
，，
，
，
，
，
在和中
，
，，
，
，
反比例函数图像经过点，
，
解得，
反比例函数图像在第一象限，
，
．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，掌握反比例函数图像的性质是解答本题的关键．
(6，2)
【分析】首先根据点、对应直尺上的刻度分别为5、2，．，即可求得的坐标，，的坐标，，关键是根据面积列出关于的方程，求出，即可求得的坐标．
解：直尺平行于轴，、对应直尺的刻度为5、2，且，
则的坐标为，，则的坐标为，
，，
，
又，
，
，
，
的坐标为
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，解题的关键是掌握反比例函数图像上点的坐标特征、比例系数的几何意义；熟练运用几何图形的面积的和差计算不规则的图形的面积．
-3
【分析】设，根据，可得，利用的面积为，列出方程即可求解．
解：与双曲线相交于点C，设，
，
，即，
的面积为，
，
解得，
故答案为：-3．
【点拨】本题考查求反比例函数表达式，对于反比例函数问题，抓住反比例函数图象上的点的坐标是解决问题的关键．
13．2
【分析】根据反比例函数图象上点的特征，利用平行线分线段成比例，及三角形的面积列出方程求解．
解：过点A作AF⊥x轴于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，
则AFEH，
则：，△DEH∽△DAF，
∴，
设A（x，y），则E（3x，y），
则AF＝y，OF＝x，OH＝3x，EH＝y，
∴FH＝2x，DH＝x，OD＝4x，
∵平行四边形ABCD的面积为8m，则△AOD的面积是4，
则△ODE的面积是，
∴×y×4x＝，
∴xy＝2，
∴k＝xy＝2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查看反比例函数的k的意义，结合平行线分线段成比例列方程是解题的关键．
-8
【分析】连接BD，先由AD平分∠EAO得∠DAE=∠OAD，由矩形ABCD的性质得到∠OAD=∠ODA，从而得到∠EAD=∠ADO，故而AE∥BD，再由平行线的性质得到△ABE和△AOE的面积相等，然后设点A的坐标，结合AF=EF得到点F和点E的坐标，最后结合△AOE的面积求出k的取值．
解：连接BD，则OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠EAO，
∴∠EAD=∠OAD，
∴∠EAD=∠ADO，
∴AE∥BD，
∴S△AEB=S△AEO=12，
设A（a，），
∵AF=EF，
∴F（2a，），E（3a，0），
∴S△AEO=×（-3a）×=12，
∴k=-8，
故答案为：-8．
【点拨】本题考查了矩形的性质、平行线的性质和判定、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是通过平行线的判定和性质得到△ABE和△AEO的面积相等．
(，)
【分析】将点A绕原点O顺时针旋转90°到B，作AE⊥y轴与E，BF⊥x轴于F，通过证得△AOE≌△BOF（SAS），求得B的坐标，利用待定系数法求得直线AB的斜率k=-5，即可得出直线OP为y=x，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得P点的坐标．
解：将点A绕原点O顺时针旋转90°到B，作AE⊥y轴与E，BF⊥x轴于F，
∵∠AOP=∠1+∠2，
∴∠AOP=∠+∠2=45°，
∴∠BOP=45°，
∴∠2+∠BOF=45°，
∴∠1=∠BOF，
∵∠AEO=∠BFO=90°，OA=OB，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴OE=OF，AE=BF，
解得：或，
∴点A的坐标为（2，3）．
∴BF=AE=2，OF=OE=3，
∴B（3，-2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，则，
解得k=-5，
∵OA=OB，∠AOP=∠BOP=45°，
∴OP⊥AB，
∴直线OP为y=x，
由得：，，
∴(，)，
故答案为：(，)．
【点拨】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，方程组的解法，构造出全等三角形是解本题的关键．
##0.75
【分析】由点A、B、C的坐标可知，m＝n，点B、C关于原点对称，求出直线BC的解析式，不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，根据列式求出，进而可得k的值．
解：∵点是函数图象上的三点，
∴，，
∴m＝n，
∴，，
∴点B、C关于原点对称，
∴设直线BC的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，
把x＝m代入得：，
∴D（m，），
∴AD＝，
∴，
∴，
∴，
而当m＜0时，同样可得，
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合，中心对称的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握反比例函数的图象和性质，学会利用数形结合的数学思想解答是解题的关键．
【分析】根据三角形面积公式求得，易证得≌，得出，根据题意得出是等腰直角三角形，得出，设，则有D根据反比例函数的定义得出关于的方程，解方程求得，即可求得．
解：作轴于，延长，交于，设与轴的交点为，
四边形是平行四边形，
，，
，
轴，
，
，
与轴平行，与轴平行，
，，
，
≌（AAS），
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的纵坐标为，
设，则，
反比例函数的图像经过、两点，
，
解得：，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出、的坐标是解题的关键．
##0.25
【分析】由已知可知，设由于点都在反比例函数的图像上，可以得到即可得出得到和即可求出．
解：∵
设
又∵点都在反比例函数的图像上，
∴
∴
∴
，
故答案为: ；.
【点拨】本题主要考查的知识点是反比例函数的综合应用，同时也考查了学生对数字规律问题的分析归纳的能力．解答此题的关键是先确定点的坐标，计算出三角形的面积，根据计算的面积找到数字之间的规律．
19．(1)(2)
【分析】（1）根据题意得出点B的坐标为（2，），进一步求得N（2+，2），代入曲线方程中即可得出k的值，便可得出反比例函数的解析式；
（2）根据k的值可得出点M、点B的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△OBM=S△AOB+S梯形ABMD-S△DOM=S梯形ABMD，故可得出△OBM的面积．
解：（1）矩形的边、分别在轴、轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，且，
点的坐标为，
，
将矩形以点为旋转中心，顺时针旋转后得到矩形，
，，
，
函数的图象刚好经过的中点，
，，
，
解得，
反比例函数的解析式为；
（2），
，，
把代入得，，
，
，
．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，坐标与图形的变化-旋转，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，求得B、M的坐标是解题的关键．
20．(1)见分析(2)见分析
【分析】（1）过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而可得点C，D的坐标，即可得AM＝DN＝2，CM＝BN＝1，则Rt△ACM≌Rt△DBN，从而可得AC＝BD．
（2）作直线AO交双曲线于点E，作直线OB交双曲线于点F，连接EF，则线段EF即为所求．
（1）证明：过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则∠AMC＝∠DNB＝90°，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将点A（2，3），B（﹣6，﹣1）代入，
得，
解得，
∴直线AB的解析式为yx+2，
当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，x+2，解得x＝﹣4，
∴点C坐标为（0，2），点D坐标为（﹣4，0），
∴OC＝2，OD＝4，
∵点A（2，3），B（﹣6，﹣1），
∴AM＝2，DN＝ON－OD＝6－4＝2，CM＝OM－OC＝3－2＝1，BN＝1，,
∴AM＝DN，CM＝BN，
∴Rt△ACM≌Rt△DBN（SAS），
∴AC＝BD．
（2）解：如图2，EF即为所求．
理由如下：连接BE、AF，
∵反比例函数的图象双曲线关于原点成中心对称，
∴由作图过程可知，OB＝OF，OE＝OA，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴EF＝AB．
∴EF即为所求．
【点拨】本题考查作图、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、中心对称的性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键．
点Q的坐标为
【分析】由于同底等高的两个三角形面积相等，所以△AOB的面积＝△ABC的面积＝2，然后根据反比例函数中k的几何意义，知△AOB的面积＝|k|，从而确定k的值，求出反比例函数的解析式，作点P关于x轴的对称点P′，连接AP′与x轴交于点Q，此时QA＋QP最小，由点A、P′的坐标，利用待定系数法可求出直线AP′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点Q的坐标．
解：连接OA，
∵△AOB的面积＝△ABC的面积＝3，△AOB的面积＝|k|，
∴|k|＝2，
∴k＝±4；
又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，
∴k＞0．
∴k＝4．
∴这个反比例函数的解析式为，
∵OB＝BA，
∴设A（a，a），
∵反比例函数经过点A，
∴a2＝4，
∴a＝2，
∴A（2，2），
把y＝1代入得，x＝4，
∴P（4，1）．
作点P关于x轴的对称点P′（4，−1），连接AP′与x轴交于点Q，此时QA＋QP最小，
设过A，P′的直线表达式为y＝mx＋n，
∴，解得，
∴过A，P′的直线表达式为．
由，得．
∴点Q的坐标为．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，注意利用两点之间线段最短，确定点Q的位置．
22．(1)①；②见分析(2)
【分析】（1）①过点D做y轴垂线交于点F，由为菱形得，，进而求得，从而求得即可求出反比例函数的解析式；②过点C做x轴垂线交于点G，先求得，即可判断C落在反比例函数的图象上；
（2）设，则，，从而求得BD=2BE=2，得进而有，解得，即可求解．
（1）①解：过点D做y轴垂线交于点F，
∵为菱形，
∴，，
易证四边形AOBE、AEDF为矩形
∴，
∴，
∴
②证明：过点C做x轴垂线交于点G，
易证四边形AEBO、ACGO为矩形
∴，
∴，
∴C落在反比例函数的图象上；
（2）解：∵，，DB=2BE，AC=2AE，
∴设，则，，
∴BD=2BE=2，
∴
∵D在反比例函数上，
∴，
∴，
∴，
∴菱形ABCD的边长为6．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，求反比例函数的解析式以及反比例函数的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
23．(1)(2)①见分析；②不能，见分析
【分析】（1）如图所示，点A是函数上的一点，点B是的图像关于原点的“直图形”上与点A对应的点，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，设点A的坐标为（a，b）则AC=b，OC=-a，证明△CAO≌△DOB得到OD=AC=b，BD=OC=-a，则点B的坐标为（b，-a），由此即可得到答案；
（2）①分别过点作轴的垂线，垂足为， 由题意得点M的坐标为（-1，3），同理可证，求出N即可得到答案；②同①求解即可．
（1）解：如图所示，点A是函数上的一点，点B是的图像关于原点的“直图形”上与点A对应的点，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，设点A的坐标为（a，b）则AC=b，OC=-a
∴∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠CAO+∠COA=90°，
由旋转的性质可得，AO=OB，∠AOB=90°，
∴∠COA+∠DOB=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△CAO≌△DOB（AAS），
∴OD=AC=b，BD=OC=-a，
∴点B的坐标为（b，-a），
∵点A在函数上，
∴，
∴，即，
∴点B在反比例函数上，
故答案为：；
（2）解：①分别过点作轴的垂线，垂足为， 由题意得点M的坐标为（-1，3），
同理可证，
∴PE=NP，ME=PF，
∵点P的坐标为（a，0），
∴N，
∵把代入，得，
∴ 点始终在直线上；
②不能，
理由：分别过点作轴的垂线，垂足为，
同理可得，得点 ，
将点代入，解得 ，
因为，故两解都不符合，所以点不在直线
【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，求一次函数的函数值，旋转的性质等等，熟知正确作出辅助线是解题的关键．
24．(1)不在，理由见分析(2)20(3)不变化，24
【分析】对于（1），利用待定系数法求出函数关系式，再代入判断即可；
对于（2），设点E的横坐标和点F的横坐标，再分别表示出点E，F，G，H的坐标，进而得出线段的长度，再根据平行四边形面积公式得出答案；
对于（3），设点P的横坐标为t，分别表示点C，点D的坐标，再根据两点之间的距离公式得出AC和BD的长，进而得出答案．
解：（1）将点代入，
得，，
∴；
当时，，
∵，
∴点不在函数图象上；
（2）设点E的横坐标是1，点F的横坐标是6，点G，H分别对应点E，F，如图所示.图形扫过的面积即为平行四边形EFHG的面积．
令中，，则，
所以，．
令中，，则，
所以，．
因为，且，
所以四边形EGHF为平行四边形，
所以．
故答案为：20；
（3）不变化，理由如下：
因为直线l：与x轴，y轴分别交于点A，点B，
所以点A（8，0），B（0，8）．
设点P的横坐标是t，
所以．
因为轴交直线l于点C，轴交直线l于点D，
所以，，
所以，，
即，
所以为定值，为24.．
【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数关系式，求平行四边形面积等，掌握数形结合思想是解题的关键．