北师大版九年级数学上册基础知识专项讲练 专题6.7 反比例函数与面积问题（知识讲解）

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1. 能根据反比例函数图象求出其面积，或据面积求出解析式；．
2. 掌握并运用K值的几何意义解决问题；．
3. 充分利用数形结合思想解决问题。
【要点梳理】
反比例函数()中的比例系数的几何意义
过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
特别说明：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
【典型例题】
类型一、已知比例系数求特殊四边形面积
1． 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点B在函数y1＝（x＞0）的图象上，边AB与函数y2＝（x＞0）的图象交于点D．求四边形ODBC的面积．
【答案】3
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积．
解：∵点D是函数y2＝（x＞0）图象上的一点，
∴△AOD的面积为，
∵点B在函数y1＝（x＞0）的图象上，四边形ABCO为矩形，
∴矩形ABCO的面积为4，
∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积-△AOD的面积＝4-1＝3，
故选：B．
【点拨】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义．
举一反三：
【变式1】如图，正比例函数y＝kx(k>0)与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则的面积等于多少？
【答案】4
【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则S△OBA=S△OBC，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可．
解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，
即S=|k|．
所以△ABC的面积等于2×|k|=|k|=4．
【点拨】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．
【变式2】已知，反比例函数和的部分图象如图所示，点P在上，PC垂直x轴于点C，交于点A（2，1），PD垂直y轴于点D，交于点B，连接OA，OB．
（1）求B点和P点的坐标；
（2）求四边形AOBP的面积．
【答案】（1）B点的坐标为（，3），P点的坐标为（2，3）；（3）4
【分析】（1）由题意可知，P点的横坐标与A（2，1）相同，纵坐标与B相同，分别代入反比例解析式，得到点P和点B的坐标；
（2）由题意，利用矩形的面积减去两个三角形的面积，即可得到答案．
解：（1）由题意知，P点的横坐标与A（2，1）相同，纵坐标与B相同，
∵P点在上，把代入得，
∴P点的坐标为（2，3），B点的纵坐标为3．
又∵B点在上，把代入得，
∴B点的坐标为（，3），P点的坐标为（2，3）．
（2）如图，由（1）知OC=2，OD=3，AC=1，BD=，
用S表示图形的面积，由题意得：
，
，
，
=4．
【点拨】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，以及利用间接法求四边形的面积，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题．
类型二、已知面积求比例系数或解析式
2． 如图所示，已知双曲线，经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于点C，DE⊥OA，，求反比例函数的解析式．
【答案】
【分析】过点D作DM⊥AB于点M，利用三角形中位线定理可得 ， ，然后证明△BDM≌△DOE，从而得到，，最后设D()，则B()，利用反比例函数的几何意义可得，从而得到，即可求解．
解：过点D作DM⊥AB于点M，
∵AB⊥OA，
∴ DM∥OA，
∴ ∠BDM＝∠BOA， ，
∵D是斜边OB的中点，DE⊥OA，
∴OD=DB， ，
在△BDM和△EOD中
∴△BDM≌△DOE(AAS)，
∴，．
设D()，则B()．
∵，
∴．
即，解得：．
∴反比例函数的解析式为．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的几何意义，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握反比例函数的几何意义，三角形的中位线定理是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，点A，B关于y轴对称，S△AOB＝8，点A在双曲线y＝，求k的值．
【答案】k＝﹣4．
【分析】记AB与y轴的交点为C，先据轴对称求得S△AOC的面积，由反比例函数系数的几何意义，即可求出2k的绝对值，再根据反比例函数在第二象限有图象即可确定2k符号．求得2k的值，再除以2可得k值．
解：如下图，记AB与y轴的交点为C，
∵点A，B关于y轴对称，
∴AB垂直于y轴，且AC＝BC，
∴S△AOC＝S△AOB＝，
∵S△AOC＝|2k|，
∴|2k|＝4，
∴
∵在第二象限，
∴2k＝﹣8
∴k＝﹣4．
【点拨】本题考查了反比例函数系数的几何意义，求得S△AOC=4和利用反比例函数系数的几何意义求出k值是解题的关键．
【变式2】如图，直线x=t(t>0)与双曲线y=(k1>0)交于点A，与双曲线y=(k2