专题26.7 反比例函数与面积问题（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题26.7 反比例函数与面积问题（知识讲解）

【学习目标】

1. 能根据反比例函数图象求出其面积，或据面积求出解析式；．

2. 掌握并运用K值的几何意义解决问题；．

3. 充分利用数形结合思想解决问题。

【要点梳理】

反比例函数()中的比例系数的几何意义

过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.

过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.

特别说明：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.

【典型例题】

类型一、已知比例系数求特殊四边形面积

1． 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点B在函数y1＝（x＞0）的图象上，边AB与函数y2＝（x＞0）的图象交于点D．求四边形ODBC的面积．

【答案】3

【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积．

解：∵点D是函数y2＝（x＞0）图象上的一点，

∴△AOD的面积为，

∵点B在函数y1＝（x＞0）的图象上，四边形ABCO为矩形，

∴矩形ABCO的面积为4，

∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积-△AOD的面积＝4-1＝3，

故选：B．

【点拨】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义．

举一反三：

【变式1】如图，正比例函数y＝kx(k>0)与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则的面积等于多少？

【答案】4

【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则S△OBA=S△OBC，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可．

解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，

即S=|k|．

所以△ABC的面积等于2×|k|=|k|=4．

【点拨】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．

【变式2】已知，反比例函数和的部分图象如图所示，点P在上，PC垂直x轴于点C，交于点A（2，1），PD垂直y轴于点D，交于点B，连接OA，OB．

（1）求B点和P点的坐标；

（2）求四边形AOBP的面积．

【答案】（1）B点的坐标为（，3），P点的坐标为（2，3）；（3）4

【分析】（1）由题意可知，P点的横坐标与A（2，1）相同，纵坐标与B相同，分别代入反比例解析式，得到点P和点B的坐标；

（2）由题意，利用矩形的面积减去两个三角形的面积，即可得到答案．

解：（1）由题意知，P点的横坐标与A（2，1）相同，纵坐标与B相同，

∵P点在上，把代入得，

∴P点的坐标为（2，3），B点的纵坐标为3．

又∵B点在上，把代入得，

∴B点的坐标为（，3），P点的坐标为（2，3）．

（2）如图，由（1）知OC=2，OD=3，AC=1，BD=，

用S表示图形的面积，由题意得：

，

，

，

=4．

【点拨】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，以及利用间接法求四边形的面积，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题．

类型二、已知面积求比例系数或解析式

2． 如图所示，已知双曲线，经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于点C，DE⊥OA，，求反比例函数的解析式．

【答案】

【分析】过点D作DM⊥AB于点M，利用三角形中位线定理可得 ， ，然后证明△BDM≌△DOE，从而得到，，最后设D()，则B()，利用反比例函数的几何意义可得，从而得到，即可求解．

解：过点D作DM⊥AB于点M，

∵AB⊥OA，

∴ DM∥OA，

∴ ∠BDM＝∠BOA， ，

∵D是斜边OB的中点，DE⊥OA，

∴OD=DB， ，

在△BDM和△EOD中

∴△BDM≌△DOE(AAS)，

∴，．

设D()，则B()．

∵，

∴．

即，解得：．

∴反比例函数的解析式为．

【点拨】本题主要考查了反比例函数的几何意义，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握反比例函数的几何意义，三角形的中位线定理是解题的关键．

举一反三：

【变式1】如图，点A，B关于y轴对称，S△AOB＝8，点A在双曲线y＝，求k的值．

【答案】k＝﹣4．

【分析】记AB与y轴的交点为C，先据轴对称求得S△AOC的面积，由反比例函数系数的几何意义，即可求出2k的绝对值，再根据反比例函数在第二象限有图象即可确定2k符号．求得2k的值，再除以2可得k值．

解：如下图，记AB与y轴的交点为C，

∵点A，B关于y轴对称，

∴AB垂直于y轴，且AC＝BC，

∴S△AOC＝S△AOB＝，

∵S△AOC＝|2k|，

∴|2k|＝4，

∴

∵在第二象限，

∴2k＝﹣8

∴k＝﹣4．

【点拨】本题考查了反比例函数系数的几何意义，求得S△AOC=4和利用反比例函数系数的几何意义求出k值是解题的关键．

【变式2】如图，直线x=t(t>0)与双曲线y=(k1>0)交于点A，与双曲线y=(k2<0)交于点B，连接OA，OB．

(1)当k1、k2分别为某一确定值时，随t值的增大，△AOB的面积_______(填增大、不变、或减小)

(2)当k1+k2=0，S△AOB=8时，求k1、k2的值.

【答案】（1）不变；（2）k1＝8，k2＝﹣8．

【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可得出答案；

（2）由题意可知S△AOB＝k1﹣k2，然后与k1+k2＝0构成方程组，解之即可．

解：（1）不变.

∵S△AOC＝|k1|，S△BOC＝|k2|，

∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝（|k1|+|k2|），

∵k1，k2分别为某一确定值，∴△AOB的面积不变.

故答案为：不变；

（2）由题意知：k1＞0，k2＜0，∴S△AOB＝k1﹣k2＝8，

∵k1+k2＝0，∴k1＝8，k2＝﹣8．

【点拨】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，属于常考题型，熟知反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．

类型三、反比例函数和面积问题常考题

3．如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．

（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；

（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．你选择的条件是 　 　（只填序号）．

【答案】（1），见解析；（2）见解析，①（也可以选择②）

【分析】（1）观察函数的图象即可作出判断，再根据A、B两点在反比例函数图象上，把两点的坐标代入后作差比较即可；

（2）若选择条件①，由面积的值及OC的长度，可得OD的长度，从而可得点B的坐标，把此点坐标代入函数解析式中，即可求得k；若选择条件②，由DB=6及OC=2，可得BE的长度，从而可得AE长度，此长度即为A、B两点纵坐标的差，（1）所求得的差即可求得k．

解：（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故；

当x=-6时，；当x=-2时，

∵，k＜0

∴

即

（2）选择条件①

∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD

∴四边形OCED是矩形

∴OD∙OC=2

∵OC=2

∴OD=1

即

∴点B的坐标为(-6,1)

把点B的坐标代入y＝中，得k=-6

若选择条件②，即BE=2AE

∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD

∴四边形OCED是矩形

∴DE=OC，CE=OD

∵OC=2，DB=6

∴BE=DB-DE=DB-OC=4

∴

∵AE=AC-CE=AC-OD=

即

由（1）知：

∴k=-6

【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质、矩形的判定与性质、大小比较，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．

举一反三：

【变式1】如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y1＝﹣的图象上，点B在第一象限y2＝的图象上，AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD＝，S矩形OCBE＝S矩形ODAE．

（1）求点B的坐标．

（2）若点P在x轴上，S△BPE＝3，求直线BP的解析式．

【答案】（1）B（，2）；（2）直线BP的解析式是y＝x+1或y＝﹣x+3．

【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义求得k＝3，得出，由题意可知B的横坐标为，代入即可求得B的坐标；

（2）设P（a，0），根据三角形面积求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线BP的解析式．

解：（1）∵S矩形OCBE＝S矩形ODAE，点B在第一象限y2＝的图象上，

∵点A在第四象限y1＝﹣的图象上，

∴S矩形ODEA＝2

∴S矩形OCBE＝×2＝3，

∴k＝3，

∴y2＝，

∵OE＝AD＝，

∴B的横坐标为，

代入y2＝得，y＝＝2，

∴B（，2）；

（2）设P（a，0），

∵S△BPE＝PE•BE＝，

解得a＝﹣或，

∴点P（﹣，0）或（，0），

设直线BP的解析式为y＝mx+n（m≠0），

①若直线过（，2），（﹣，0），

则 ，

解得，

∴直线BP的解析式为y＝x+1；

②若直线过（，2），（，0），

则 ，解得，

∴直线BP的解析式为y＝﹣x+3；

综上，直线BP的解析式是y＝x+1或y＝﹣x+3．

【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得B点的坐标是解题的关键．

【变式2】反比例函数与一次函数交于点A（1，2k－1）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若一次函数与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的解析式．

【答案】（1）y=；（2）y=－或y=.

【分析】首先根据反函数经过点A列出一元一次方程求出k的值；根据点A的坐标和三角形的面积得出点B的坐标，然后利用待定系数法分别求出一次函数解析式.

解：（1）由已知可得：=2k－1，k=2k－1

解得：k=1

∴反比例函数的解析式为：y=

（2）点A（1,1），点A到x轴的距离为1，

由已知可得：×1=3

∴=6 ∴点B的坐标为（6,0）或（－6,0）

①当一次函数过A（1,1）和B（6,0）时，

得：

解得：

∴一次函数的解析式为y=－

②当一次函数过A（1,1）和B（－6,0）时，

得：

解得：

∴一次函数的解析式为y=

综上所述，符合条件的一次函数解析式为y=－或y=.

考点：一次函数与反比例函数.