2024年北师大实验中学初三上期末数学试题及答案

这是一份2024年北师大实验中学初三上期末数学试题及答案，共28页。试卷主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A.B.C.D.
抛物线 y＝2（x﹣1）2+5 的顶点坐标是（）
A. （1，5）B. （2，1）C. （2，5）D. （﹣1，5）
已知关于 x 的方程k  3 x k 1  2k  3 x  4  0 是一元二次方程，则 k 的值应为（ ）
3
3C. 3
D. 不能确定
O 的半径为 3，点 P 在 O 外，点 P 到圆心的距离为d ，则d 需要满足的条件（ ）
d  3
d  3
0  d  3
无法确定
小明将图 案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度 ，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则 可以为（ ）
30°B. 60°
C. 90°D. 120°
若扇形的圆心角为 90°，半径为 6，则该扇形的弧长为（）
3
A.B. 2C. 3D. 6
2
如图，抛物线 y＝a x2 ＋bx＋c 与直线 y＝kx 交于 M，N 两点，则二次函数 y＝a x2 ＋（b﹣k）x＋c 的图象
可能是（）
A.B.C.D.
做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下所示：
抛掷次数 m5001000150020002500300040005000
“正面向上”的次数 n26551279310341306155820832598
n
“正面向上”的频率
m
下面有 3 个推断：
0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.5210.520
①当抛掷次数是 1000 时， “正面向上”的频率是 0.512，所以“正面向上”的概率是 0.512；
②随着试验次数的增加， “正面向上”的频率总在 0.520 附近摆动， 显示出一定的稳定性， 可以估计“正面向上”的概率是 0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为 3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是 1558 次．
其中所有合理推断的序号是（ ）
A. ②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题（共 8 小题，每题 2 分，共 16 分）
若正六边形的边长是 1，则它的半径是．
写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与 y 轴交于点0, 1 ，这个二次函数的解析式可以是．
草坪上的自动喷水装置的旋转角为200 ，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为
5 平方米，则这个扇形的半径是 米．
如图，抛物线 y  ax2  bx  c 的对称轴为 x  1 ，点 P，点 Q 是抛物线与 x 轴的两个交点，若点 P 的坐标为（4，0），则点 Q 的坐标为．
如图，PA，PB 是 O 的切线，A，B 为切点，AC 是 O 的直径，∠BAC  20 ，则 P 的度数为
．
已知 a 是 x2  x  2  0 的根，则代数式a2  a a  2  3 的值为．
a

如图， DEC 与 ABC 关于点C 成中心对称， AB  3, AC  2, CAB  90 ，则 AE 的长是
．
抛物线 y  x2  2x  m 交 x 轴于点 A（a，0）和 B（b，0）（点 A 在点 B 左侧），抛物线的顶点为 D，下列四个结论：①抛物线过点（2，m）；②当 m＝0 时，△ABD 是等腰直角三角形；③a＋b＝4；④抛物线上有两点 P（ x1 ， y1 ）和 Q（ x 2 ， y2 ），若x1 ＜ x 2 ，且x1 ＋ x 2 ＞2，则 y1 ＞ y2 ．其中结论正确的序号是．
三、解答题（共 68 分，第 17-21 题，每题 5 分，第 22 题 6 分，第 23 题 5 分，第 24-26 题，
每题 6 分，第 27-28 题，每题 7 分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
解方程： x2  2x  5  0 ．
下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O 及⊙O 上一点 P．
求作：过点 P 的⊙O 的切线．作法：如图，作射线 OP；
① 在直线 OP 外任取一点 A，以 A 为圆心，AP 为半径作⊙A，与射线 OP 交于另一点 B；
②连接并延长 BA 与⊙A 交于点 C；
③作直线 PC；
则直线 PC 即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
完成下面的证明：
证明：∵ BC 是⊙A 的直径，
∴ ∠BPC=90°（填推理依据）．
∴ OP⊥PC．
又∵ OP 是⊙O 的半径，
∴ PC 是⊙O 的切线（填推理依据）．
如图，在Rt△ABC 中， ACB  90 ，点 D，F 分别在 AB，AC 上， CF  CB ，连接CD ，将线段
CD 绕点 C 按顺时针方向旋转90 后得CE ，连接 EF ．
求证： BCD ≌ FCE ；
若直线 EF 交 AB 于点 G，直接写出AGE 的度数．
如图，已知抛物线 y   x2  mx  3 经过点 M 2, 3 ．
求 m 的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
当3  x  0 时，直接写出 y 的取值范围．
邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京 2022 年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：
某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
在抢答环节中，若答对一题，可从 4 枚邮票中任意抽取 1 枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是．
在抢答环节中，若答对两题，可从 4 枚邮票中任意抽取 2 枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．
关于 x 的一元二次方程 x2  k  4 x  2k  4  0 ．
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个根小于 1，求k 的取值范围．
如图，在平面直角坐标系 xOy 中， ABC 的三个顶点的坐标分别为 A0, 3 ， B 1, 3 ， C 2,.1 ，点 D 的坐标为1,1 ．
ABC 与 ABC 关于点 D 中心对称，其中点 A 与点 A 对应，点 B 与点 B对应，请在坐标系中画
出 ABC ，并写出点 B的坐标；
若点 P a,b 是 ABC 内部任意一点，请直接写出这个点关于点 D 中心对称的对应点 P 的坐标．
如图， AB 为 O 的直径， OC  AB 交 O 于点 C，D 为OB 上一点，延长CD 交 O 于点 E，延长
OB 至 F，使 DF  FE ，连接 EF ．
求证： EF 为 O 的切线；
若OD  1 且 BD  BF ，求 O 的半径．
如图 1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口 H 离地竖直高度为h  1.2 米．建立如图 2 所示的平面直角 坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形 DEFG ，其水平宽度 DE  2 米，竖直高度 EF  0.7 米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A 离喷水口的水平距离为 2 米，高出喷水口0．4 米，灌溉车到绿化带的距离OD 为d 米．
求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC ；
求下边缘抛物线与 x 轴交点 B 的坐标；
若d  3.2 米，灌溉车行驶时喷出的水（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线的表达式为 y  x2  2mx  m2  3m ，线段 AB 的两个端点分别为
A1, 3 ， B 7, 3 ．
求抛物线顶点 C 的坐标（用含有 m 的代数式表示）；
若m  4 ，且对于该抛物线上的两点 P  x1, y1  ， Q  x2 , y2  ，当t  x1  t 1， x2  6 时，均满足
y1  y2 ，求 t 的取值范围；
若抛物线与线段 AB 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出 m 的取值范围．
在 ABC 中， AB＝AC ，  BAC＝90 ，点 D 为直线 AC 上一个动点（点 D 不与点 A，C 重合），连接 BD ，将线段 BD 绕 D 点逆时针旋转90 得线段 DE ，连接CE ．
如图 1，若点 D 在线段 AC 上，
①依题意补全图 1；
②用等式表示线段CB ， CD ， CE 之间的数量关系，并证明．
若 BC＝m，直接写出当 AE 取得最小值时 CD 的长（用含 m 的式子表示）．
在平面直角坐标系 xOy 中， O 的半径为 1，P 是 O 外一点，给出如下的定义：若在 O 上存在一点 T，使得点 P 关于某条过点 T 的直线对称后的点 Q 在 O 上，则称 Q 为点 P 关于 O 的关联点．
当点 P 在直线 y  2x 上时．
①若点 P 1，2 ，在点Q   2 , 2  ， Q 0，1 ， Q
1，0 中，点 P 关于 O 的关联点是；
1 22 23

②若 P 关于 O 的关联点 Q 存在，求点 P 的横坐标 p 的取值范围．
已知点 A 2, 3  ，动点 M 满足 AM  1 ，若 M 关于 O 的关联点 N 存在，直接写出 MN 的取值范
2 

围．
参考答案
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分)
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误；故选：A．
【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，理解基本定义是解题关键．
【答案】A
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：抛物线 y＝2（x﹣1）2+5 的顶点坐标是（1，5）．故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，记住顶点式 y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线 x
＝h．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含有一个未知数．
【详解】解：由关于 x 的方程(k  3)x|k|1  (2k  3)x  4  0 是一元二次方程，得
| k | 1  2 且 k  3  0 ．解得 k  3 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2．
【答案】A
【分析】根据点与圆的关系解答.
【详解】∵点 P 在 O 外， O 的半径为 3，
∴点 P 到圆心的距离为d >3，故选：A.
【点睛】此题考查点与圆的位置关系：点与圆心的距离为 d，圆的半径为 r，当 d>r 时，点在圆外；当 d=r
时，点在圆上；当 d