第6章 平面图形的认识（一）（中考常考题）-江苏省2023-2024学年上学期七年级数学单元培优专题练习（苏科版）

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A．25°B．30°C．40°D．50°
2．（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
3．（2021•泰州）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（ ）
A．点A在B、C两点之间B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间D．无法确定
4．（2019•常州）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ）
A．线段PAB．线段PBC．线段PCD．线段PD
5．（2016•常州）已知△ABC中，BC＝6，AC＝3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长可能是（ ）
A．2B．4C．5D．7
6．（2014•徐州）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC＝2，则AC等于（ ）
A．3B．2C．3或5D．2或6
7．（2014•苏州）已知∠α和∠β是对顶角，若∠α＝30°，则∠β的度数为（ ）
A．30°B．60°C．70°D．150°
8．（2012•南通）已知∠a＝32°，则∠a的补角为（ ）
A．58°B．68°C．148°D．168°
二．填空题（共9小题）
9．（2022•连云港）已知∠A的补角为60°，则∠A＝ °．
10．（2019•常州）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 °．
11．（2016•南通）已知：如图直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE＝60°，则∠BOD等于 度．
12．（2013•南通）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD＝20°，则∠COE等于 度．
13．（2013•徐州）若∠α＝50°，则它的余角是 °．
14．（2013•淮安）如图，三角板的直角顶点在直线l上，若∠1＝40°，则∠2的度数是 ．
15．（2012•泰州）已知∠α的补角是130°，则∠α＝ 度．
16．（2012•扬州）一个锐角是38度，则它的余角是 度．
17．（2012•徐州）∠α＝80°，则α的补角为 °．
三．解答题（共1小题）
18．（2016•南京）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．
如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
求证∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
证法1：∵ ，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵ ，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
第6章 平面图形的认识（一）（中考常考题）-江苏省2023-2024学年上学期七年级数学单元培优专题练习（苏科版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2022•苏州）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
【答案】D
【解答】解：∵∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝∠BOD＝75°．
∵∠1＝25°，∠1+∠2＝∠BOD，
∴∠2＝∠BOD﹣∠1
＝75°﹣25°
＝50°．
故选：D．
【点评】本题考查了角的和差关系，掌握“对顶角相等”是解决本题的关键．
2．（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】见试题解答内容
【解答】解：小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
【点评】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握数学和生活密不可分的关系是解答本题的关键．
3．（2021•泰州）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（ ）
A．点A在B、C两点之间B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，A、B、C三点互不重合
∴a＞0，
若点A在B、C之间，
则AB+AC＝BC，
即2a+1+3a＝a+4，
解得a＝，
故A情况存在，
若点B在A、C之间，
则BC+AB＝AC，
即a+4+3a＝2a+1，
解得a＝﹣，
故B情况不存在，
若点C在A、B之间，
则BC+AC＝AB，
即a+4+2a+1＝3a，
此时无解，
故C情况不存在，
∵互不重合的A、B、C三点在同一直线上，
故选：A．
【点评】本题主要考查两点间的距离及整式的加减，分类讨论和反证法的应用是解题的关键．
4．（2019•常州）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ）
A．线段PAB．线段PBC．线段PCD．线段PD
【答案】B
【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．
故选：B．
【点评】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．
5．（2016•常州）已知△ABC中，BC＝6，AC＝3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长可能是（ ）
A．2B．4C．5D．7
【答案】A
【解答】解：如图，根据垂线段最短可知：PC≤3，
∴CP的长可能是2，
故选：A．
【点评】本题考查了垂线段最短的性质，正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短；本题是指点C到直线AB连接的所有线段中，CP是垂线段，所以最短；在实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
6．（2014•徐州）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC＝2，则AC等于（ ）
A．3B．2C．3或5D．2或6
【答案】D
【解答】解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．
点A、B表示的数分别为﹣3、1，
AB＝4．
第一种情况：在线段AB外，
AC＝4+2＝6；
第二种情况：在线段AB内，
AC＝4﹣2＝2．
故选：D．
【点评】在未画图类问题中，正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
7．（2014•苏州）已知∠α和∠β是对顶角，若∠α＝30°，则∠β的度数为（ ）
A．30°B．60°C．70°D．150°
【答案】A
【解答】解：∵∠α和∠β是对顶角，∠α＝30°，
∴根据对顶角相等可得∠β＝∠α＝30°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了对顶角相等的性质，比较简单．
8．（2012•南通）已知∠a＝32°，则∠a的补角为（ ）
A．58°B．68°C．148°D．168°
【答案】C
【解答】解：∵∠a＝32°，
∴∠a的补角为180°﹣32°＝148°．
故选：C．
【点评】本题考查了余角与补角的定义，熟记互为补角的和等于180°是解题的关键．
二．填空题（共9小题）
9．（2022•连云港）已知∠A的补角为60°，则∠A＝ 120 °．
【答案】120．
【解答】解：∵∠A的补角为60°，
∴∠A＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查了余角和补角，掌握如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角是解题的关键．
10．（2019•常州）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 55 °．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠α＝35°，
∴∠α的余角等于90°﹣35°＝55°
故答案为：55．
【点评】本题考查的两角互余的基本概念，题目属于基础概念题，比较简单．
11．（2016•南通）已知：如图直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE＝60°，则∠BOD等于 30 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由垂线的定义，得
∠AOE＝90°，
由余角的性质，得
∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝30°，
由对顶角相等，得
∠BOD＝∠AOC＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查了垂线，利用了垂线的定义，余角的性质，对顶角的性质．
12．（2013•南通）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD＝20°，则∠COE等于 70 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠BOD＝20°，
∴∠AOC＝∠BOD＝20°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠COE＝90°﹣20°＝70°，
故答案为：70．
【点评】本题考查了垂直定义，对顶角的应用，关键是求出∠AOE和∠AOC的大小．
13．（2013•徐州）若∠α＝50°，则它的余角是 40 °．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠α＝50°，
∴它的余角是90°﹣50°＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查了余角的定义，是基础题，熟记互为余角的两个角的和等于90°是解题的关键．
14．（2013•淮安）如图，三角板的直角顶点在直线l上，若∠1＝40°，则∠2的度数是 50° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，三角板的直角顶点在直线l上，
则∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，
∵∠1＝40°，
∴∠2＝50°．
故答案为50°．
【点评】本题考查了余角及平角的定义，正确观察图形，得出∠1与∠2互余是解题的关键．
15．（2012•泰州）已知∠α的补角是130°，则∠α＝ 50 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠α的补角是130°，
∴∠α＝180°﹣130°＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查了余角与补角的定义，熟记补角的和等于180°是解题的关键．
16．（2012•扬州）一个锐角是38度，则它的余角是 52 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：这个角的余角为：90°﹣38°＝52°．
故答案为：52．
【点评】此题考查了余角的知识，掌握互为余角的两角之和为90°是解答本题的关键．
17．（2012•徐州）∠α＝80°，则α的补角为 100 °．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠α＝80°，
∴∠α的补角的度数＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100．
【点评】本题考查了补角的定义，互补是反映了两个角之间的关系，即和是180°．
三．解答题（共1小题）
18．（2016•南京）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．
如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．
求证∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
证法1：∵ 平角等于180° ，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵ ∠1+∠2+∠3＝180° ，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：证法1：∵平角等于180°，
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．
证法2：∵∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．
故答案为：平角等于180°，∠1+∠2+∠3＝180°．
【点评】本题考查了多边形的外角和：n边形的外角和为360°．也考查了三角形内角和定理和外角性质，平行线的性质．