北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆1 直线与直线的方程1.4 两条直线的平行与垂直习题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆1 直线与直线的方程1.4 两条直线的平行与垂直习题，共6页。

1．已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cs〈m，n〉＝－eq \f(1,2)，，则l与α所成的角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(10),10) B.eq \f(1,5) C.eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(3,5)
3．已知在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3)
4．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(\r(5),3)
C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(3,5)
5．在正四棱锥S­ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC夹角的正弦值为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(\r(6),6) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(6),3)
6．如图，正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，D是BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值等于( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(6),4)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(10),4)
7．若平面α的一个法向量为n＝(－eq \r(3)，1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(eq \r(3)，1,1)，则l与α所成角的正弦值为________．
8．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP夹角的大小为________．
9．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则直线BM与直线AN夹角的余弦值为________．
10．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为eq \r(2)a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．
[提能力]
11．[多选题]如图，ABCD­A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
12．如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ满足( )
A．θ＝eq \f(π,4) B．cs θ＝eq \f(2\r(34),17)
C．tan θ＝eq \f(2\r(2),3) D．sin θ＝eq \f(\r(3),3)
13．已知在正四面体A­BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为________．
14．正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1D与BC1夹角的大小是________，若E，F分别为AB，CC1的中点，则异面直线EF与A1C1夹角的大小是________．
15．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．
(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值；
(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值．
[培优生]
16．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝2，AA1＝2eq \r(2)，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1.
(1)证明：BC⊥AB1；
(2)若OC＝OA，求直线CD与平面ABC夹角的正弦值．
课时作业(三十二)
1．解析：设l与α所成的角为θ且θ∈[0°，90°]，则sinθ＝|cs〈m，n〉|＝eq \f(1,2).∴θ＝30°.故选A.
答案：A
2．解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，E(1，0，1)，D1(0，0，2).所以eq \(BE,\s\up6(→))＝(0，－1，1)，CD1＝(0，－1，2)，所以cs〈eq \(BE,\s\up6(→))，CD1〉＝eq \f(\(BE,\s\up6(→))·CD1,|\(BE,\s\up6(→))|·|CD1|)＝eq \f(3,\r(2)×\r(5))＝eq \f(3\r(10),10).故选C.
答案：C
3．答案：A
4．解析：不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，则AB1＝(－2，2，1)，C1B＝(0，－2，1)，所以cs〈AB1，C1B〉＝eq \f(AB1·C1B,|AB1||C1B|)＝
eq \f(（－2）×0＋2×（－2）＋1×1,\r(9)×\r(5))＝－eq \f(\r(5),5).
所以所求角的余弦值为eq \f(\r(5),5).故选A.
答案：A
5．答案：C
6．解析：以C为原点，在平面ABC中，过C作CB的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB＝1，AA1＝2，则A(eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2)，0)，C(0，0，0)，C1(0，0，2)，D(0，1，1)，
eq \(CA,\s\up6(→))＝(eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2)，0)，CC1＝(0，0，2)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(－eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2)，1)，
设平面AA1C1C的法向量n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(CA,\s\up6(→))＝\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y＝0,n·CC1＝2z＝0))，取x＝1，得n＝(1，－eq \r(3)，0)，
设AD与平面AA1C1C所成角为θ，
则sinθ＝eq \f(|\(AD,\s\up6(→))·n|,|\(AD,\s\up6(→))|·|n|)＝eq \f(\r(3),\r(2)·\r(4))＝eq \f(\r(6),4).
答案：B
7．解析：由题，设l与α所成角为θ，可得sinθ＝eq \f(|n·a|,|n||a|)＝eq \f(|－3＋1＋1|,\r(（－\r(3)）2＋1＋1)·\r(（\r(3)）2＋1＋1))＝eq \f(1,5).
答案：eq \f(1,5)
8．答案：eq \f(π,2)
9．答案：eq \f(\r(30),10)
10．略
11．解析：以D为坐标原点，分别以eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，DD1所在方向为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，则可以证明AC1⊥平面CB1D1，
∴AC1可以作为平面CB1D1的法向量，∴C正确．
∵eq \(BD,\s\up6(→))＝(－1，－1，0)，AC1＝(－1，1，1)，∴eq \(BD,\s\up6(→))·AC1＝1－1＝0，
∴BD∥平面CB1D1即AB正确．又∵eq \(AD,\s\up6(→))＝(－1，0，0)，
CB1＝(1，0，1)，
∴cs〈eq \(AD,\s\up6(→))，CB1〉＝eq \f(\(AD,\s\up6(→))·CB1,|\(AD,\s\up6(→))||CB1|)＝－eq \f(\r(2),2)，
∴AD与CB1所成的角为45°，
∴D错，故选ABC.
答案：ABC
12．略
答案：B
13．答案：eq \f(\r(2),3)
14．答案：90° 30°.
15．略
16．解析： (1)证明 由题意，∵四边形ABB1A1是矩形，D为AA1的中点，AB＝2，AA1＝2eq \r(2)，AD＝eq \r(2)，
∴在Rt△ABB1中，tan∠AB1B＝eq \f(AB,BB1)＝eq \f(\r(2),2).
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠AB1B＝∠ABD.
又∵∠BAB1＋∠AB1B＝90°，∴∠BAB1＋∠ABD＝90°，
即BD⊥AB1.
又∵CO⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，
∴CO⊥AB1，又∵CO∩BD＝O，CO，BD⊂平面BCD，
∴AB1⊥平面BCD.
∵BC⊂平面BCD，∴BC⊥AB1.
(2)如图，以O为坐标原点，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则
Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(2\r(3),3)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(6),3)，0，0))，
Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(2\r(3),3)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，0，0)).
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(3),3)，0))，
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，0，－\f(2\r(3),3))).
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z).
根据eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(6),3)x＋\f(2\r(3),3)y＝0，,\f(2\r(3),3)y＋\f(2\r(3),3)z＝0.))可得n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1，－1))是平面ABC的一个法向量．
设直线CD与平面ABC的夹角为α，则sinα＝eq \f(\r(15),5)，
∴直线CD与平面ABC夹角的正弦值为eq \f(\r(15),5).