2021年天津高考数学真题及答案

这是一份2021年天津高考数学真题及答案，共12页。试卷主要包含了本卷共11小题，共105分，是公比大于0的等比数列，等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，
2，本卷共9小题，每小题5分，共45分
参考公式：
•如果事件A、B互斥，那么．
•如果事件A、B相互独立，那么．
•球的体积公式，其中R表示球的半径．
•圆锥的体积公式，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高．
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【参考答案】C
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不允分也不必要条件
【参考答案】A
3. 函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【参考答案】B
4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（ ）
A. B. C. D.
【参考答案】D
5. 设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【参考答案】D
6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A. B. C. D.
【参考答案】B
7. 若，则（ ）
A. B. C. 1D.
【参考答案】C
8. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 3
9. 设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【参考答案】A
第II卷
注意事项
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10. 是虚数单位，复数_____________．
【参考答案】
【解】.
11. 在的展开式中，的系数是__________．
【参考答案】160
【解】的展开式的通项为，
令，解得，
所以的系数是.
12. 若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【参考答案】
【解】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
13. 若，则的最小值为____________．
【参考答案】
【解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
【参考答案】 ①. ②.
【解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为.
15. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
【参考答案】 ①. 1 ②.
【解】设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．
16. 在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
【参考答案】（I）；（II）（III）
【解】（I）因为，由正弦定理可得，
，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
17. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
【参考答案】（I）证明见解析；（II）；（III）
【解】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则,,,,,,，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，
所以,,,
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，
因为平面，所以平面；
（II）由（1）得，，
设直线与平面所成角为，
则；
（III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，
则，
所以二面角的正弦值为.
18. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
【参考答案】（1）；（2）.
【解】（1）易知点、，故，
因为椭圆的离心率为，故，，
因此，椭圆的方程为；
（2）设点为椭圆上一点，
先证明直线的方程为，
联立，消去并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为.
在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
在直线方程中，令，可得，即点，
因为，则，即，整理可得，
所以，，因为，，故，，
所以，直线的方程为，即.
19. 已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
【参考答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，
所以；
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以；
（II）（i）由题意，，
所以，
所以，且，
所以数列是等比数列；
（ii）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
20. 已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【参考答案】（I）；（II）证明见解析；（III）
【解】（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.