_2023年天津高考数学真题及答案

2023年天津高考数学真题及答案

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  

C.  D.

2. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

3. 若，则的大小关系为（    ）

A.  B.

C  D.

4. 函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）

A  B.

C.  D.

5. 已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ）

A. 3 B. 18 C. 54 D. 152

7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（    ）

A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性

B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关

C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关

D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是

8. 在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

10. 已知是虚数单位，化简的结果为_________．

11. 在的展开式中，项的系数为_________．

12. 过原点一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为_________．

13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．

14. 在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．

15. 若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_________．

三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. 在中，角所对边分別是．已知．

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求．

17. 三棱台中，若面，分别是中点.

（1）求证：//平面；

（2）求平面与平面所成夹角余弦值；

（3）求点到平面的距离．

18. 设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．

（1）求椭圆方程及其离心率；

（2）已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．

19. 已知是等差数列，．

（1）求的通项公式和．

（2）已知为等比数列，对于任意，若，则，

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．

20. 已知函数．

（1）求曲线在处切线的斜率；

（2）当时，证明：；

（3）证明：．

参考答案

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 【答案】A

2. 【答案】B

3. 【答案】D

4. 【答案】D

5. 【答案】B

6. 【答案】C

7. 【答案】C

8. 【答案】B

9. 【答案】D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

10.【答案】

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】    ①.     ②.

14.【答案】    ①.     ②.

15. 【答案】

三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. 在中，角所对的边分別是．已知．

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【小问1详解】

由正弦定理可得，，即，解得：；

【小问2详解】

由余弦定理可得，，即，

解得：或（舍去）．

【小问3详解】

由正弦定理可得，，即，解得：，而，

所以都为锐角，因此，，

故．

17. 三棱台中，若面，分别是中点.

（1）求证：//平面；

（2）求平面与平面所成夹角的余弦值；

（3）求点到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）

小问1详解】

连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且，

由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//，

又平面，平面，于是//平面.

【小问2详解】

过作，垂足为，过作，垂足为,连接.

由面，面，故，又，，平面，则平面.

由平面，故，又，，平面，于是平面，

由平面，故.于是平面与平面所成角即.

又，，则，故，在中，，则，

于是

【小问3详解】

[方法一：几何法]

过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为.

由题干数据可得，，，根据勾股定理，，

由平面，平面，则，又，，平面，于是平面.

又平面，则，又，，平面，故平面.

在中，，

又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，

即点到平面的距离是.

[方法二：等体积法]

辅助线同方法一.

设点到平面的距离为.

，

.

由，即.

18. 设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．

（1）求椭圆方程及其离心率；

（2）已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．

【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为.   

（2）.

【小问1详解】

如图，

由题意得，解得，所以，

所以椭圆的方程为，离心率为.

【小问2详解】

由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，

设直线的方程为，

联立方程组，消去整理得：，

由韦达定理得，所以，

所以，.

所以,,，

所以，

所以，即，

解得，所以直线的方程为.

19. 已知是等差数列，．

（1）求的通项公式和．

（2）已知为等比数列，对于任意，若，则，

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．

【答案】（1），；   

（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为.

【小问1详解】

由题意可得，解得，

则数列的通项公式为，

注意到，从到共有项，

故.

小问2详解】

(Ⅰ)由题意可知，当时，，

取，则，即，

当时，，

取，此时，

据此可得，

综上可得：.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，

据此猜测，

否则，若数列的公比，则，

注意到，则不恒成立，即不恒成立，

此时无法保证，

若数列的公比，则，

注意到，则不恒成立，即不恒成立，

此时无法保证，

综上，数列的公比为，则数列的通项公式为，

其前项和为：.

20. 已知函数．

（1）求曲线在处切线的斜率；

（2）当时，证明：；

（3）证明：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）证明见解析

【小问1详解】

，则，

所以，故处的切线斜率为；

【小问2详解】

要证时，即证，

令且，则，

所以在上递增，则，即.

所以时.

【小问3详解】

设，，

则，

由（2）知：，则，

所以，故在上递减，故；

下证，

令且，则，

当时，递增，当时，递减，

所以，故在上恒成立，

则，

所以，，…，，

累加得：，而，则，

所以，故；

综上，，即.