精品解析：上海市浦东新区2023-2024学年高一上学期期末学业质量调研数学试卷

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1. 已知集合，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据集合的交运算即可求解.
【详解】,
故答案为：
2. 不等式解集是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的意义直接求解即可.
【详解】,
,
解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
3. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据奇函数的性质即可求解.
【详解】由题意可得，由于是定义在上的奇函数，
所以，
故答案为：0
4. 已知，，且，则的最小值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据基本不等式即可求解最值.
【详解】由得，
又，，所以，当且仅当即时等号成立，
故答案：2
5. 若，则__________．（用a表示）
【答案】##
【解析】
【分析】由对数运算性质有，即可得结果.
【详解】由，则.
故答案为：
6. 函数定义域是______．
【答案】
【解析】
【详解】要使函数有意义，则 ，解得 ，所以函数的定义域是，故答案为.
7. 若函数的零点个数为1，则__________．
【答案】4
【解析】
【分析】由二次函数零点个数有，即可求参数.
【详解】由二次函数性质及零点个数知：，则.
故答案为：4
8. 若函数的定义域是，值域是，则__________．
【答案】或
【解析】
【分析】由题意在定义域上单调，结合一次函数性质列方程求参数，即可得结果.
【详解】由题设，则在定义域上单调，
所以或，可得或，
所以或.
故答案为：或
9. 已知幂函数在区间上是严格减函数，则实数__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的性质即可求解.
【详解】由题意可得，解得，
故答案为：
10. 方程的解集为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据绝对值三角不等式等号成立的条件即可求解.
【详解】由于，等号成立的条件为，所以或
故解集为或，
故答案为：或
11. 不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，根据函数的单调性即可求出解集.
【详解】令，显然为严格增函数，
又，
故解集为．
故答案为：
12. 已知函数，若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得函数在上单调递增，利用单调性可得恒成立当且仅当恒成立，故只需，进一步利用二次函数最值即可得解.
【详解】由题意当时，单调递增，且时，，当时，单调递增，
所以函数在上单调递增，
由题意在上恒成立，
所以当且仅当，即恒成立，故只需，
而的最小值为，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：关键是利用单调性、分离参数法将原问题等价转换为，由此即可顺利得解.
二、选择题（本大题共有3小题，满分12分）每小题都给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得0分．
13. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇偶性的定义判断.
【详解】A. 定义域为R，且，则为偶函数，故错误；
B. 则为奇函数，故错误；
C. 定义域为R，且，则为偶函数，故错误；
D. 定义域为R，且，则既不是奇函数，也不是偶函数，故正确；
故选：D
14. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式性质及充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】由，则有或，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A
15. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C. 甲车以80千米/小时速度行驶1小时，消耗10升汽油
D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
【解析】
【详解】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，
∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；
对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，
∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；
对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，
即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；
对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，
∴用丙车比用乙车更省油，故D正确
故选D．
考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.
16. 已知定义在上的偶函数在上严格增，记函数．对于如下两个命题：①存在函数，函数在上严格增；②存在函数，函数在上严格减．则（ ）
A. ①②都是真命题B. ①②都是假命题
C. ①是真命题，②是假命题D. ①是假命题，②是真命题
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数单调性和奇偶性，结合常见函数的单调性即可求解.
【详解】若，则为偶函数且在上严格增，此时，则在上严格增，故①是真命题，
若，则为偶函数且在上严格增,
则，则为上的奇函数，
先考虑时，，
由于函数为上的单调递减函数，
所以函数在单调递减，进而可得在上严格减，故②都是真命题，
故选：A
三、解答题（本大题共有5道题，满分52分）解答下列各题，必须写出必要的步骤。
17. 已知一元二次方程的两个实根为．
（1）求，；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接由题意结合一元二次方程的公式法结论验算即可求解.
（2）由题意结合一元二次方程的公式法结论即可得证.
【小问1详解】
由题意一元二次方程的两个实根为，
不失一般性不妨设，
则，
【小问2详解】
由（1）不妨设，
则.
18. 已知函数．
（1）证明函数在区间上是严格减函数；
（2）求函数在区间上的最值．
【答案】（1）证明见解析
（2）最大值为8，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义即可求证，
（2）根据二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
任取，，
由，可得，，所以，又，
所以，即，
所以函数在区间上是严格减函数．
【小问2详解】
由于函数在单调递减，在单调递增，
又，
所以的最大值为8，最小值为
19. 已知函数，.
（1）当时，求函数的零点：
（2）若函数为偶函数，求实数的值.
【答案】（1）和
（2）
【解析】
【分析】（1）分与去绝对值讨论即可;
（2）取特殊值，结合偶函数的定义，求出，验证即可.
【小问1详解】
.当时，，无解:
当时，，解得，
故函数的零点为和.
【小问2详解】
若函数为偶函数，，
即，可得，解得.
当时，，定义域关于原点对称，
，故.
20. 诺贝尔奖的发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增，资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元，假设基金平均年利率为．
（1）请计算：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元？当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）？
（2）设表示为第x（x是正整数）年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1998年记为），试求函数的表达式．并据此判断新民网一则新闻“2012年度诺贝尔文学奖获得者莫言奖金高达150万美元”是否与计算结果相符，并说明理由．
【答案】（1）1999年发奖后基金总额为万美元，当年每项奖金发放万美元；
（2）与计算结果相符，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）由题设知1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为，再平均分6份，即可求结果；
（2）根据题设有且，再求出2011年发奖后基金总额，进而求出2012年度各项奖金额，即可判断.
【小问1详解】
由题设，1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为万美元；
当年每项奖金发放万美元.
【小问2详解】
由且，则2011年，即，
所以2011年发奖后基金总额为，
则2012年度各项奖金为万美元，
所以“2012年度诺贝尔文学奖获得者莫言奖金高达150万美元”与计算结果相符.
21. 定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，则称函数是“型函数”．
（1）已知奇函数是“型函数”，求函数的解析式；
（2）已知函数是“型函数”，求p和b的值；
（3）已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、a和b的值，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函数定义以及函数新定义联立函数方程组即可得解.
（2）由函数型定义结合对数指数运算法则建立函数方程，由函数方程恒成立的条件即可得解.
（3）由函数型定义建立函数方程，由函数方程恒成立的条件结合根式和分数指数幂的运算即可得解.
【小问1详解】
由题意奇函数是“型函数”，所以，且，
联立解得函数的解析式.
【小问2详解】
由题意函数是“型函数”，
所以，
而，
所以恒成立，当且仅当，解得，
即满足题意的p和b的值分别为.
【小问3详解】
由题意函数是“型函数”，
所以，
而
，
所以恒成立，
当且仅当恒成立，
当且仅当恒成立或恒成立（舍去），
所以，解得，
即满足条件的k、a和b的一组值分别为.
【点睛】关键点睛：第（3）问的关键是得到恒成立之后，由可得恒成立或恒成立（舍去），由此即可顺利得解.