2024届新疆阿克苏市实验中学高三上学期11月第三次月考数学含答案

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考试时间：120分钟满分：150分
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合，则集合的子集个数为（）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先化简集合A，再求得其子集即可
【详解】由已知可得，其子集为，子集个数为4个
故选：C.
2. “”是“”的（）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分性和必要性概念直接求解即可.
【详解】因为，，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
3. 不等式的解集为（）
A. B.
C. ，或D. ，或
【答案】B
【解析】
【分析】对于二次项系数是负数的一元二次不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.
【详解】不等式可化为，解得.
故选：B.
4. 若，，，则有（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由指数和对数函数的性质，利用中间值确定a，b，c的范围，即可求解．
【详解】指数函数在R上为减函数，则，即，
对数函数在上为增函数，则，
对数函数在上为增函数，则．因此.
故选：B．
5. 已知正数满足，则最小值是（）
A. 17B. 16C. 15D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】先配凑，然后运用基本不等式求出最小值
【详解】，
当且仅当，即，时，取得最小值.
故选：.
6. 函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的单调性、值域排除选项可得到结果．
【详解】由函数，
可得函数在上单调递增，且此时函数值大于1；
在上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零，
结合所给的选项，只有B项满足条件，
故选：B．
7. 草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式，若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为20元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近（参考数据：，）（）
A. 30.24元/千克B. 31.75元/千克
C. 38.16元/千克D. 42.64元/千克
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由指数的运算性质，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，，解得，由，
可得，
故选：B．
8. 已知，若，则所在区间为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用零点存在性定理求解即可.
【详解】由已知得函数连续且单调递增，
因为，，
所以，
由零点存在性定理可知存在使得，
故选：.
二、选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 已知集合，则下列式子表示正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先求得集合，然后根据元素与集合的关系，集合与集合的关系求得正确答案.
【详解】由题意可知，，所以，，.，ACD选项正确.
B选项，集合，不是元素，所以不能用“”，B选项错误.
故选：ACD
10. 若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（）
A. 函数为奇函数B. 函数为偶函数
C. 函数在为减函数D. 函数在为增函数
【答案】AC
【解析】
【分析】先根据幂函数图像经过点，求出函数解析式，然后利用幂函数的基本性质即可求解.
【详解】因为是幂函数，所以设，
又的图像经过点，所以，所以，即，
所以函数为奇函数，且在为减函数，故AC正确，BD错误；
故选：AC.
11. 已知函数，则下列结论中正确的是（）
A. 函数有且仅有一个零点0B.
C. 在上单调递增D. 在上单调递减
【答案】BC
【解析】
【分析】根据分段函数解析式，结合对数函数性质判断单调性和零点．
【详解】由函数，可得有两个零点0、1，故A错误；
由于，故B正确；
当时，所以在上单调递增，故C正确；
当时，所以在上单调递减，上单调递增，故D错误．
故选：BC．
12. 函数的定义域为，其图象如图所示.函数是定义域为的偶函数，满足，且当时，.则下列结论正确的是（）
A. ；
B. 不等式的解集为；
C. 函数的单调递增区间为，；
D. 对于.
【答案】AC
【解析】
【分析】由可知是周期为2的周期函数，又当时，，由此作出函数大致图象，利用数形结合依次判断可得答案.
【详解】满足，可知函数是周期为2的周期函数，
又函数是R上的偶函数，所以，
且当时，，作出大致图象如图所示，
由图可知，故A正确；
不等式的解集为，故B错误；
函数的单调递增区间为，，故C正确；
若对于，则是的对称轴，由图象可知不是的对称轴，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：在做题时，利用函数的性质作出函数的图象是解题的关键.
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13. 函数，则定义域是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据解析式列出不等式组求解即可.
【详解】由可得，
，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14. 函数的零点个数为_________.
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为函数与的交点个数，作出函数图象即可得到结果.
【详解】函数的零点个数等价于方程的解得个数，
即函数与的交点个数，
作出函数与的图象如下图所示，
由图象可知：函数与有且仅有两个不同交点，
函数的零点个数为.
故答案为：.
15. 已知函数，若，则________.
【答案】2
【解析】
【分析】得出即可
【详解】因为
所以
即，因为，所以
故答案为：2
【点睛】若是奇函数，则的图象关于对称，满足.
16. 已知函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据解析式可推导得到，进而求得结果.
【详解】，.
故答案为：.
四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. 已知函数,且.
（1）求的值;
（2）判定奇偶性.
【答案】（1）1 （2）奇函数
【解析】
【分析】(1)根据,待定系数即可求得参数值;
(2)根据函数奇偶性的定义,结合函数定义域,即可容易判断.
【小问1详解】
,
.
【小问2详解】
由(1)得:,
则定义域为,
,
为定义在上的奇函数.
18. 已知奇函数
（1）求的值；
（2）若函数在区间上单调递增，试确定a的取值范围.
【答案】（1）0； （2）.
【解析】
【分析】（1）先根据函数的奇偶性确定的值，再求函数值即可；
（2）先画出函数的图像，结合图像找到函数的单调递增区间，依题意得到的范围，解不等式即得.
【小问1详解】
当时，，因为是奇函数，
所以，
所以.故.
【小问2详解】
依题意作出函数图像如图，
因函数在区间上单调递增，故，
则有，解得或.
即实数a的取值范围为.
19. 已知函数且，且的图象过点.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由，求得，从而可得答案；
（2）根据在R上单调递增，可得，进而可得答案.
【小问1详解】
的图象过点，
，
又
【小问2详解】
在R上单调递增
.
20. 已知函数.
（1）求函数恒过哪一个定点，写出该点坐标；
（2）令函数，当时，证明：函数在区间上有零点.
【答案】（1）恒过定点，坐标
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，可得函数的解析式，再由对数函数过定点，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得函数的解析式，再由零点存在定理判断即可.
【小问1详解】
由题意知函数，故，
令，
即函数恒过定点，该点坐标为；
【小问2详解】
证明：由题意，
当时，，
即，
则，又，
故函数在区间上有零点.
21. 定义在上的偶函数，当时，.
（1）求函数在上的表达式，并在图中的直角坐标系中画出函数的大致图象；
（2）若有四个零点，求实数m的取值范围.
【答案】（1），图象见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）令，则，代入已知函数解析式，结合函数的奇偶性即可得解，再根据二次函数的图象作出图象即可；
（2）即函数两个函数的图象有四个交点，根据函数图象即可得解.
【小问1详解】
因为定义在上的偶函数，当时，，
则，
令，则，
则，
所以，
作出函数图象，如图所示：
【小问2详解】
令，则，
若有四个零点，
则函数两个函数的图象有四个交点，
由图可知.
22. 已知二次函数，且不等式的解集为.
（1）求解析式；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求得，即得答案.
（2）不等式在上有解，即在上的最大值，采用换元法结合基本不等式求得的最大值，即得答案.
【小问1详解】
由题意知的解集为，
故方程的两个根是1和3，
故，即，
故.
【小问2详解】
由题意在上有解，即在上有解，
∵，∴在上的最大值，
设，则，则
又，当且仅当即时，等号成立，
∴，即实数的取值范围为.