2023-2024学年广东省数学九年级第一学期期末质量检测试题

这是一份2023-2024学年广东省数学九年级第一学期期末质量检测试题，共17页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，下列不是中心对称图形的是等内容，欢迎下载使用。

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．在ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以A为圆心，以3为半径画圆，则点C与⊙A的位置关系是（ ）
A．在⊙A外B．在⊙A上C．在⊙A内D．不能确定
2．如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、.对于下列结论：
①；②；③.其中正确的是（ ）
A．①②③B．①C．①②D．②③
3．若点，在反比例函数上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．关于抛物线y＝－3（x＋1）2﹣2，下列说法正确的是（ ）
A．开口方向向上B．顶点坐标是(1，2)
C．当x＜－1时，y随x的增大而增大D．对称轴是直线x＝1
5．主视图、左视图、俯视图分别为下列三个图形的物体是（ ）
A．B．C．D．
6．若点A（1，y1）、B（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1、y2的大小关系为
A．y1＜y2B．y1≤y2C．y1＞y2D．y1≥y2
7．抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（ ）
A．B．
C．D．
8．下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为、；过点分别作轴、轴的垂线，垂足为、．交于点，随着的增大，四边形的面积（ ）
A．增大B．减小C．先减小后增大D．先增大后减小
10．下列不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
11．若反比例函数的图象在每一条曲线上都随的增大而增大，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
12．分别写有数字﹣4，0，﹣1，6，9，2的六张卡片，除数字外其它均相同，从中任抽一张，则抽到偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n=_____．
14．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这是个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被 4 整除的概率是__________．
15．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，O是BC上一点，经过C、D两点的⊙O分别交AC、BC于点E、F，AD＝，∠ADC＝60°，则劣弧的长为_____．
16．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为______.
17．国家对药品实施价格调整，某药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是________________．
18．若弧长为4π的扇形的圆心角为直角，则该扇形的半径为 ．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，，且∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：△AEF∽△BFC．
20．（8分）已知二次函数y＝x2－2x＋m（m为常数）的图像与x轴相交于A、B两点．
（1）求m的取值范围；
（2）若点A、B位于原点的两侧，求m的取值范围．
21．（8分）根据广州市垃圾分类标准，将垃圾分为“厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾”四类．小明将分好类的两袋垃圾准确地投递到小区的分类垃圾桶里．请用列举法求小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的概率．
22．（10分）如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D．
（1）求BC的长；
（2）连接AD和BD，判断△ABD的形状，说明理由．
（3）求CD的长．
23．（10分）某公司2016年10月份营业额为64万元，12月份营业额达到100万元，
（1）求该公司11、12两个月营业额的月平均增长率；
（2）如果月平均增长率保持不变，据此估计明年1月份月营业额．
24．（10分） (1)问题提出：苏科版《数学》九年级(上册)习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”，在连接MD、ME的基础上，只需证明 ．
(2)初步思考：如图②，BD、CE是锐角△ABC的高，连接DE．求证：∠ADE＝∠ABC，小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．(请你根据小敏的思路完成证明过程．)
(3)推广运用：如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，三条高的交点G叫做△ABC的垂心，连接DE、EF、FD，求证：点G是△DEF的内心．
25．（12分）某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元，求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率．
26．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？这个最大利润是多少？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据勾股定理求出AC的值，根据点与圆的位关系特点，判断即可．
【详解】解：由勾股定理得：
∵AC=半径=3，
∴点C与⊙A的位置关系是：点C在⊙A上，
故选：B．
本题考查了点与圆的位置关系定理和勾股定理等知识点的应用，点与圆（圆的半径是r，点到圆心的距离是d）的位置关系有3种：d=r时，点在圆上；d＜r点在圆内；d＞r点在圆外．掌握以上知识是解题的关键．
2、A
【解析】分析：（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；
（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；
（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．
详解：由已知：AC=AB，AD=AE
∴
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD
所以①正确
∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA=∠CDA
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴
∴MP•MD=MA•ME
所以②正确
∵∠BEA=∠CDA
∠PME=∠AMD
∴P、E、D、A四点共圆
∴∠APD=∠EAD=90°
∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°
∴△CAP∽△CMA
∴AC2=CP•CM
∵AC=AB
∴2CB2=CP•CM
所以③正确
故选A．
点睛：本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．
3、A
【分析】由k＜0可得反比例函数的图象在二、四象限，y随x的增大而增大，可知y3＜0，y1＞0，y2＞0，根据反比例函数的增减性即可得答案．
【详解】∵k＜0，
∴反比例函数的图象在二、四象限，y随x的增大而增大，
∴y3＜0，y1＞0，y2＞0，
∵-3＜-1，
∴y1＜y2，
∴，
故选：A．
本题考查反比例函数的性质，对于反比例函数y=（k≠0），当k＞0时，图象在一、三象限，在各象限，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象在二、四象限，在各象限内，y随x的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
4、C
【分析】根据抛物线的解析式得出抛物线的性质，从而判断各选项．
【详解】解：∵抛物线y＝－3（x＋1）2﹣2，
∴顶点坐标是（-1，-2），对称轴是直线x=-1，根据a=-3＜0，得出开口向下，当x＜-1时，y随x的增大而增大，
∴A、B、D说法错误；
C说法正确．
故选：C．
本题主要考查对二次函数的性质的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行判断是解此题的关键．
5、A
【解析】分析：本题时给出三视图，利用空间想象力得出立体图形，可以先从主视图进行排除.
解析：通过给出的主视图，只有A选项符合条件.
故选A.
6、C
【解析】根据反比例函数图象的增减性进行判断：
根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，图象分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
∵反比例函数的解析式中的，∴点A（1，y1）、B（1，y1）都位于第四象限．
又∵1＜1，∴y1＞y1．故选C．
7、B
【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可.
【详解】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，
把抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位，
则平移后的抛物线的表达式为y＝.
故选B.
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象与几何变换是解题的关键.
8、A
【解析】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．
考点：（1）中心对称图形；（2）轴对称图形
9、A
【分析】首先利用a和b表示出AC和CQ的长，则四边形ACQE的面积即可利用a、b表示，然后根据函数的性质判断．
【详解】解：AC＝a−2，CQ＝b，
则S四边形ACQE＝AC•CQ＝（a−2）b＝ab−2b．
∵、在函数的图象上，
∴ab＝k＝10（常数）．
∴S四边形ACQE＝AC•CQ＝10−2b，
∵当a＞2时，b随a的增大而减小，
∴S四边形ACQE＝10−2b随a的增大而增大．
故选：A．
本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用b表示出四边形ACQE的面积是关键.
10、A
【分析】根据中心对称图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】∵A是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴A符合题意，
∵B是中心对称图形，
∴B不符合题意，
∵C是中心对称图形，
∴C不符合题意，
∵D是中心对称图形，
∴D不符合题意，
故选A．
本题主要考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
11、B
【分析】根据反比例函数的性质，可求k的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，
∴k−2<0，
∴k<2
故选B．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
12、D
【分析】根据概率公式直接计算即可．
【详解】解：在这6张卡片中，偶数有4张，
所以抽到偶数的概率是＝，
故选：D．
本题主要考查了随机事件的概率，随机事件A的概率P（A）事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数，灵活利用概率公式是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、-1
【分析】根据根与系数的关系得出-2+4=-m，-2×4=n，再求出m+n的值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2，x2=4，
∴-2+4=-m，-2×4=n，
解得：m=-2，n=-8，
∴m+n=-1，
故答案为：-1．
本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出-2+4=-m，-2×4=n是解此题的关键．
14、
【分析】由小明制作了十张卡片，上面分别标有这是个数字．其中能被4整除的有4，8，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：小明制作了十张卡片，上面分别标有这是个数字．其中能被4整除的有4，8；
从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是：．
故答案为：．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15、
【分析】连接DF，OD，根据圆周角定理得到∠CDF＝90°，根据三角形的内角和得到∠COD＝120°，根据三角函数的定义得到CF＝＝4，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：如图，连接DF，OD，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CDF＝90°，
∵∠ADC＝60°，∠A＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCF＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝30°，
∴∠COD＝120°，
在Rt△CAD中，CD＝2AD＝2，
在Rt△FCD中，CF＝＝＝4，
∴⊙O的半径＝2，
∴劣弧的长＝＝π，
故答案为π．
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．
16、
【分析】先把代入求出n的值，然后根据图像解答即可.
【详解】把代入，得
-n-2=-4，
∴n=2，
∴当x<2时，.
故答案为：x<2.
本题主要考查一次函数图像上点的坐标特征，以及一次函数和一元一次不等式的关系、数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
17、10%
【分析】设平均每次降价的百分率为x，某种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，可列方程：60（1-x）2=48.6，由此求解即可.
【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，
根据题意得：60（1-x）2=48.6，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
答：平均每次降价的百分率是10%．
故答案为：10%．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18、1．
【分析】根据扇形的弧长公式计算即可，
【详解】∵扇形的圆心角为90°，弧长为4π，
∴，
即4π=，
则扇形的半径r=1．
故答案为1
考点：弧长的计算．
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由已知先证明∠BAC=∠DAE，继而根据两边对应成比例且夹角相等即可得结论；
（2）根据相似三角形的性质定理得到∠C=∠E，结合图形，证明即可．
【详解】证明：如图，
（1）∵∠BAD＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD
即∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADE中
，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴∠C＝∠E，
在△AEF和△BFC中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，
∴△AEF∽△BFC．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20、（1）m＜1；（2）m＜0
【分析】（1）根据题意可知一元二次方程有两个不相等的实数根，即b2-4ac＞0然后利用根的判别式确定取值范围；（2）由题意得：x1x2＜0，即m＜0，即可求解；
【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴相交于A、B两点
则方程x2－2x＋m=0有两个不相等的实数根
∴b2-4ac＞0，
∴4-4m＞0，
解得：m＜1；
（2）∵点A、B位于原点的两侧
则方程x2－2x＋m=0的两根异号，即x1x2＜0
∵
∴m＜0
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生对函数基本性质、函数与坐标轴的交点等的求解熟悉，这是一个综合性很好的题目．
21、见解析，
【分析】首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【详解】解：分别记厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾为A、B、C、D，
画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的结果有2种，
所以小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的概率为＝．
本题主要考查的是利用树状图求解概率，解此题需要正确的运用树状图，所以掌握树状图是解此题的关键.
22、（1）；（2）△ABD是等腰直角三角形，见解析；（3）
【解析】（1）由题意根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用勾股定理可计算出BC的长；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据角平分线定义AD=BD，进而即可判断△ABD为等腰直角三角形；
（3）由题意过点A作AE⊥CD，垂足为E，可知，分别求出CE和DE的长即可求出CD的长．
【详解】解：（1）∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90
在Rt△ABC中，.
（2）连接AD和BD，
∵CD平分∠ACB，∠ACD=∠BCD，
∴即有AD=BD
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形 .
（3）过点A作AE⊥CD，垂足为E，
在Rt△ACE中，
∵CD平分∠ACB，且∠ACB=90
∴CE=AE=AC=
在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2 ，得出
在Rt△ADE中，
∴.
本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆周角定理即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．以及其推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径进行分析．
23、（1）该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为25%；（2）1明年1月份月营业额为125万元．
【分析】（1）设该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为x，根据该公司10月份及12月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据明年1月份月营业额＝今年12月份营业额×（1+增长率），即可求出结论．
【详解】解：（1）设该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为x，
依题意，得：64（1+x）2＝100，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为25%．
（2）100×（1+25%）＝125（万元）．
答：明年1月份月营业额为125万元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24、 (1)ME＝MD＝MB＝MC；(2)证明见解析；(3)证明见解析．
【分析】(1)要证四个点在同一圆上，即证明四个点到定点距离相等．
(2)由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即能证ME＝MD＝MB＝MC，得到四边形BCDE为圆内接四边形，故有对角互补．
(3)根据内心定义，需证明DG、EG、FG分别平分∠EDF、∠DEF、∠DFE．由点B、C、D、E四点共圆，可得同弧所对的圆周角∠CBD＝∠CED．又因为∠BEG＝∠BFG＝90°，根据(2)易证点B、F、G、E也四点共圆，有同弧所对的圆周角∠FBG＝∠FEG，等量代换有∠CED＝∠FEG，同理可证其余两个内角的平分线．
【详解】解：(1)根据圆的定义可知，当点B、C、D、E到点M距离相等时，即他们在圆M上
故答案为：ME＝MD＝MB＝MC
(2)证明：连接MD、ME
∵BD、CE是△ABC的高
∴BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠BDC＝∠CEB＝90°
∵M为BC的中点
∴ME＝MD＝BC＝MB＝MC
∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上
∴∠ABC+CDE＝180°
∵∠ADE+∠CDE＝180°
∴∠ADE＝∠ABC
(3)证明：取BG中点N，连接EN、FN
∵CE、AF是△ABC的高
∴∠BEG＝∠BFG＝90°
∴EN＝FN＝BG＝BN＝NG
∴点B、F、G、E在以点N为圆心的同一个圆上
∴∠FBG＝∠FEG
∵由(2)证得点B、C、D、E在同一个圆上
∴∠FBG＝∠CED
∴∠FEG＝∠CED
同理可证：∠EFG＝∠AFD，∠EDG＝∠FDG
∴点G是△DEF的内心
本题考查了直角三角形斜边中线定理、中点的性质、三角形内心的判定、圆周角定理、角平分线的定义，综合性较强，解决本题的关键是熟练掌握三角形斜边中线定理、圆周角定理，能够根据题意熟练掌握各个角之间的内在联系.
25、该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为20%
【解析】设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x，根据该企业2015年及2017年的年利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）．
答：该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为20%．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26、定价为57.5元时，所获利润最大，最大利润为6125元.
【分析】设所获利润为元，每件降价元，先求出降价后的每件利润和销量，再根据“利润=每件利润销量”列出等式，然后根据二次函数的性质求解即可.
【详解】设所获利润为元，每件降价元
则降价后的每件利润为元，每星期销量为件
由利润公式得：
整理得：
由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
故当时，y取得最大值，最大值为6125元
即定价为：元时，所获利润最大，最大利润为6125元.
本题考查了二次函数的应用，依据题意正确得出函数的关系式是解题关键.