2024年高考数学一模模拟卷3

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知为虚数单位，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，是单位向量，若，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．三位同学参加某项体育测试，每人要从跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例关于还款人的年收入（单位：万元）的模型：．已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%．若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入约为（ ）（参考数据：，）
A．万元B．万元C．万元D．万元
7．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点．设线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为2，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量服从正态分布，且，则
B．一组数据的第60百分位数为14
C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是－4
10．已知函数的部分图象如图所示.则（ ）

A．
B．在区间内有两个极值点
C．函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象
D．A，B，C是直线与曲线的从左至右相邻的三个交点，若，则
11．已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得平面
C．若，则P点在正方形底面内的运动轨迹长为
D．若点是的中点，点是的中点，经过三点的正方体的截面周长为
12．已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 的展开式中项的系数为 ．
14．已知，，，则的最小值为 ．
15．对于函数，若关于x的方程恰有3个不同的实根,,，则 .
16．在数列中， 下列说法正确的是 ．
①若，则一定是递增数列;②若则一定是递增数列；
③若， 则对任意，都存在，使得
④若，且存在常数，使得对任意，都有则的最大值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角；(2)若，，，求的长.
18．（12分）从①，②两个条件中任选一个填入横线上，并解答下列问题．已知正项等差数列的前项和为，且________．
(1)证明：数列为等差数列．(2)若，证明：．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
19．（12分）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，四边形是平行四边形，且，，，以为直径的圆经过点.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
20．（12分）已知函数
(1)求的极值；
(2)证明：当时，．
21．（12分）佛山岭南天地位于禅城区祖庙大街2号，主要景点有龙塘诗社、文会里嫁娶屋、黄祥华如意油祖铺、李众胜堂祖铺、祖庙大街等，这里的每一处景色都极具岭南特色，其中龙塘诗社和祖庙大街很受年轻人的青睐.为进一步合理配置旅游资源，现对已在龙塘诗社游览的游客进行随机问卷调查，若继续游玩祖庙大街景点的记2分，若不继续游玩祖庙大街景点的记1分，每位游客选择是否游览祖庙大街的概率均为，游客之间的选择意愿相互独立.
(1)从游客中随机抽取3人，记总得分为，求的分布列与数学期望；
(2)（ⅰ）若从游客中随机抽取人，记总得分恰为分的概率为，求数列的前10项和；
（ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为，探讨与之间的关系式，并求数列的通项公式.
22．（12分）已知双曲线，过点的直线与该双曲线的左、右两支分别交于点．
(1)当直线的斜率为时，求；
(2)是否存在定点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．