期末测试卷03-八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

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一、单选题
1．要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0B．a≠3C．a≠1且b≠﹣1D．a≠3且b≠﹣1且c≠0
【答案】B
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．
【解析】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a-3≠0，a≠3．
故选B．
【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．
2．下列各题计算中，正确的是（ ）
A．B．-
C．D．
【答案】D
【分析】利用二次根式的双重非负性判断A、B；利用二次根式混合运算法则判断C、D.
【解析】A.，若a＜b，则，故A选项错误；
B. -，故B选项错误；
C. ，故C选项错误；
D. ，正确；
故选D
【点睛】本题考查二次根式相关知识点，熟练掌握二次根式的双重非负性以及二次根式混合运算法则是解题关键.
3．已知反比例函数的图像上有两点，，若，则的值（ ）
A．一定是正数B．一定是负数C．可能是零D．可能是正数，也可能是负数
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，利用分类讨论的数学思想即可解答本题．
【解析】反比例函数的函数图像分布于第二、四两个象限，在每个象限内y随x增大而增大，
当或时，；
当时，．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质和分类讨论的数学思想解答．
4．如图，已知，求作一点，使点到的两边的距离相等，且．下列确定点的方法正确的是（ ）
A．为，两角平分线的交点
B．为的平分线与的垂直平分线的交点
C．为，两边上的高的交点
D．为，两边的垂直平分线的交点
【答案】B
【分析】根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答．
【解析】∵点到的两边的距离相等，
∴在的平分线上．
∵，
∴在的垂直平分线上．
即为的平分线与的垂直平分线的交点．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质的应用以及线段垂直平分线的性质和应用，熟知角平分线及线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
5．如果实数，满足，那么点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第一象限或坐标轴上D．第二象限或坐标轴上
【答案】D
【分析】先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限或坐标轴．
【解析】解：∵，
∴x、y异号，且y>0，
∴x<0，或者x、y中有一个为0或均为0．
∴那么点在第二象限或坐标轴上．
故选：D．
【点睛】根据二次根式的意义，确定被开方数的取值范围，进而确定a、b的取值范围，从而确定点的坐标位置．
6．对于一元二次方程下列说法：①当时，则方程一定有一根为；②若则方程一定有两个不相等的实数根；③若是方程的一个根，则一定有；④若，则方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②④D．②③④
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的意义及根的判别式，逐项分析判断即可．
【解析】解：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
△＝b2−4ac，
①将x＝−1代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a−b＋c＝0，即b＝a＋c．故①正确．
②若ab＞0，bc＜0，则ac＜0，则△＝b2−4ac＞0，即方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根．故②正确．
③将x＝c代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ac2＋bc＋c＝0，得c＝0或ac＋b＋1＝0．故③错误．
④若b＝2a＋3c，△＝b2−4ac＝（2a＋3c）2−4ac =4（a＋c）2＋5c2＞0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故④正确．
所以正确的是①②④，
故选C．
【点睛】本题综合考查了一元二次方程根的意义及利用根的判别式判断方程的根的情况，解题的关键是熟知根的判别式．
二、填空题
7．的有理化因式是 ．
【答案】
【分析】根据有理化因式的定义（两个根式相乘的积不含根号）即可得答案．
【解析】解：因为，
所以的有理化因式是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理化因式，熟练掌握有理化的方法是解题关键．
8．已知函数，那么 ．(填“＞”、“=”或“＜”)
【答案】
【分析】把x=，分别代入函数解析式进行计算，然后比较结果即可得解．
【解析】解：∵= =，== ，>
∴>
故答案为>.
【点睛】本题考查了函数值求解，把自变量的值代入函数关系式计算，比较结果即可．
9．直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是 ．
【答案】5
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【解析】解：∵直角三角形的两条直角边长为6，8，
∴由勾股定理得，斜边=10．
∴斜边上的中线长=×10=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是能正确求出斜边的长度．
10．正比例函数图像经过点（1，-1），那么k= ．
【答案】-2
【分析】由正比例函数的图象经过点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出-1=k+1，即可得出k值．
【解析】解：∵正比例函数的图象经过点（1，-1），
∴-1=k+1，
∴k=-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx是解题的关键．
11．一元二次方程的根是 ．
【答案】
【分析】先移项，再把方程的左边分解因式，从而可把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可.
【解析】解： ，


或
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握“把方程的右边化为0，把左边分解因式，再化为两个一次方程”是解本题的关键.
12．关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
【答案】＜且.
【分析】由一元二次方程的定义可得，再利用一元二次方程根的判别式列不等式＞再解不等式即可得到答案.
【解析】解： 关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
且＞
由＞
可得＜
＜
综上：＜且，
故答案为：＜且.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义及一元二次方程根的判别式，掌握利用一元二次方程根的判别式求解字母系数的取值范围是解题的关键.
13．已知直线分别交函数与函数的图像于两点，若在函数图像上存在点，使得恰为等边三角形，则的面积为 .
【答案】
【分析】先求出A,B两点的坐标，然后根据等边三角形和反比例函数求出C的坐标，利用建立关于a的方程求出a，然后利用面积公式求解即可．
【解析】∵直线分别交函数与函数的图像于两点
∴
∵恰为等边三角形
∴C的横坐标为
若点C在上，此时点C的坐标为
∵
∴
即
解得
∴
若点C在上，此时点C的坐标为
∵
∴
即
解得
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
14．一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二，三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值11.56万元，如果设这辆车第二、三年的年折旧率为x，那么根据题意，列出的方程为 ．
【答案】20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．
【分析】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，则第二年这就后的价格为20（1-20%）（1-x）元，第三年折旧后的而价格为20（1-20%）（1-x）2元，与第三年折旧后的价格为11.56万元建立方程．
【解析】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，有题意，得
20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．
故答案是：20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．
【点睛】一道折旧率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为11.56万元建立方程是关键．
15．如图，垂直平分，垂直平分，若，则 ．
【答案】
【分析】根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．
【解析】解：∵，
∴，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，，
∴，
∴。
故答案为：．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识点，运用了整体代入的思想。掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．如图，在中，，，，平分，，垂足为，则 ．
【答案】
【分析】先利用勾股定理可得，再根据角平分线的性质可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，设，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【解析】在中，，，，
，
平分，，
，
在和中，，
，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
17．对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n＝，计算（3※2）×（8※12）的结果为 ．
【答案】2
【分析】根据新定义把所求的式子化为二次根式的和、积的形式，根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【解析】解：※※
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，正确理解新定义的运算、掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
18．在中，，点D是直线上动点，连接，在直线的右侧作等边，连接，当线段的长度最小时，线段的长度为 ．

【答案】6
【分析】以为边作等边，连接，可证，可得，当的长最小，的长最小，即，如图，过作于，则即为的长最小时点的位置，然后求解即可．
【解析】解：如图，以为边作等边，连接，

∵，
∴，，
由勾股定理解得，，
∵是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，

∴，
∴，
∴当的长最小，的长最小，即，
如图，过作于，则即为的长最小时点的位置，
∴，
∴，
由勾股定理解得，，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．确定最小值时点的位置是解题的关键．
三、解答题
19．计算：（1）
（2）
【答案】（1）；（2） -10
【分析】（1）原式二次根式的乘除法法则进行计算即可得到答案；
（1）原式第一项运用二次根式的性质进行化简，第二项运用平方差公式进行化简即可．
【解析】解：（1）
=
=
=；
（2）
=5+9-24
=14-24
=-10．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．
20．解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题的关键．
（1）用配方法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【解析】（1）解：，
，
，
，
，
解得：；
（2）解：，
，
，
，
，
解得：．
21．如反比例函数的图像经过点，点也在反比例函数图像上．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求、两点间的距离．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设反比例函数为：；结合反比例函数的图像经过点，通过计算即可得到k的值，从而得到答案；
（2）结合（1）的结论以及点也在反比例函数图像上，得到a的值及点B的坐标；通过勾股定理计算，即可得到答案．
【解析】（1）设反比例函数为：
∵反比例函数的图像经过点
∴
∴
∴反比例函数为：；
（2）∵点也在反比例函数图像上
∴
∴
∵时，
∴是的解
∴
∴、两点间的距离．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式、勾股定理、解分式方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、勾股定理、分式方程的性质，从而完成求解．
22．证明：直角三角形的两个锐角互余．（在下列方框内画出图形）

已知：
求证：
证明：
【答案】见解析
【分析】画出图形，利用三角形的内角和定理可求解．
【解析】解：如图，

已知：在中，．
求证：与互余．
证明：∵，，
∴，
∴与互余．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键．
23．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有24米
(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用等知识点，熟练利用勾股定理是解题关键．
（1）利用勾股定理直接得出的长即可；
（2）利用勾股定理直接得出的长，进而得出答案，
【解析】（1）由题意得：米，米，
（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得：米，
（米），
则：（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
24．如图，已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点分别交于点．
(1)连接，若，求的周长；
(2)若，求证：平分．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了轴对称的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
（1）先根据轴对称的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得；
（2）先根据轴对称的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证．
【解析】（1）∵点P与点M关于对称，
∴．
同理：．
∴的周长；
（2）∵，Q、R为，的中点，
∴，，
∴．
又∵点与点关于对称，点与点关于对称，
∴，
∴平分．
25．经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．
（1）当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨.
（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？
【答案】（1）60；（2）将售价定为200元时销量最大.
【分析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨．
（2）设当售价定为每吨x元时，根据当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，且该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元做为等量关系可列出方程求解．
【解析】（1）45+×7.5=60；
（2）设售价每吨为x元，
根据题意列方程为：（x - 100）（45+×7.5）=9000，
化简得x2 - 420x + 44000=0，
解得x1=200，x2=220（舍去），
因此，将售价定为200元时销量最大.
【点睛】本题考查理解题意能力，关键是找出降价10元，却多销售7.5吨的关系，从而列方程求解．
26．如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A坐标为（3，4），将直线OA绕点O顺时针旋转45°后得到直线y=kx（k≠0）．
(1)求直线OA的表达式；
(2)求k的值；
(3)在直线y=kx（k≠0）上有一点B，其纵坐标为1．若x轴上存在点C，使△ABC是等腰三角形，请直接写出满足要求的点C的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)（7+2，0）或（7﹣2，0）或（0，0）或（6，0）或（，0）
【分析】（1）利用待定系数法可求解；
（2）过点作，交直线于，作轴于，过点作于，由“”可证，可得，，进而可得点坐标，代入解析式可求的值；
（3）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质和两点距离公式可求解．
【解析】（1）设直线解析式为，
点，
，
，
直线解析式为，
（2）如图，过点作，交直线于，作轴于，过点作于，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
点，
，
；
（3），
，
当时，，
点；
设点，
点，点，点，
，
，，
若时，
，
解得：或6，
点或；
当时，
，
，
点，或，；
当时，
，
，
点，，
综上所述：点坐标为，或，或或或，．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
27．如图，在中，，，垂足为，点是边上的一个动点，过点作交线段于点，作交于点，交线段于点，设．
（1）用含的代数式表示线段的长；
（2）设的面积为，求与之间的函数关系式，并写出定义域；
（3）若为直角三角形，求出的长．
【答案】（1） ；（2），；（3）或
【分析】（1）根据题意可得△ABC和△BPF为等边三角形，由及等边三角形的性质得出PF=GF=x，从而表示出DG=BF+FG-BD=2x-1；
（2）由含30°直角三角形的性质表示出DE，由（1）可表示出DF，再根据三角形面积的计算公式即可解答；
（3）若为直角三角形，则∠PFE=90°或∠PEF=90°，根据直角三角形的性质列出方程求解即可．
【解析】解：（1）∵在中，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵
∴∠BPF=∠BAC=∠BFP=60°，
∴△BPF为等边三角形，
∴BF=BP=PF=x，∠PFC=120°，
∵
∴∠BPE=90°，
∴∠FPE=30°，
∴∠FGP=30°，
∴PF=GF=x
又∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，
∴DG=BF+FG-BD=2x-1
故
（2）由（1）可知DF=BD-BF=1-x，
∵∠FGP=30°，∠ADG=90°，
∴EG=2DE
由勾股定理得：，
∴
∴，
∴
∵，解得，
∴定义域为：
（3）∵∠FPG=30°，
∴若为直角三角形，则∠PFE=90°或∠PEF=90°，
①当∠PFE=90°时，
∠EFD=120°-90°=30°，
∴△EFG为等腰三角形，
∴DF=DG
∵DF=1-x，DG=2x-1，
∴1-x =2x-1
解得：
②当∠PEF=90°时，
∠FED=90°-60°=30°，
∴DE=，
∵，DF=1-x，
∴，
解得：
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理解直角三角形以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用上述几何知识进行推理求解，注意分类讨论思想的运用．