第一次月考卷01(测试范围：第16-17章)-八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

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一、单选题
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，可以此来判断哪个选项是正确的．
【解析】解：A、，可化简， 故本选项错误
B、是最简二次根式，故本选项正确；
C、，可化简，故本选项错误；
D、，可化简，故本选项错误；
故选B．
【点睛】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
2．若在实数范围内有意义，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，分母不为0，式子才有意义．
【解析】解：依题意有1-x>0，
解得x<1，
故选D．
【点睛】主要考查了二次根式的概念．二次根式的概念：式子（a≥0）叫二次根式．（a≥0）是一个非负数．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零．
3．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x=0B．x2﹣2x﹣1=0C．x2﹣2x+1 =0D．x2﹣2x+2=0
【答案】D
【分析】分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．
【解析】A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，此选项不符合题意；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，此选项符合题意．
故选D．
4．二次根式的一个有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用有理化因式的概念分析得出答案，有理化因式指相乘的积不含二次根式的两个含有二次根式的式子称为互为有理化因式．
【解析】，依然含有根式，故A选项错误；
，依然含有根式，故B选项错误；
，依然含有根式，故C选项错误；
，故D选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查分母有理化，解题关键是熟练掌握平方差公式．
5．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则逐一计算即可完成求解．
【解析】A.与不是同类二次根式，不能计算，故该选项计算错误，不符合题意，
B.与不是同类二次根式，不能计算，故该选项计算错误，不符合题意，
C.=，故该选项计算正确，符合题意，
D.，故该选项计算错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
6．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④B．只有①②③C．①②③④D．只有①②
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题．
【解析】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定正确．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．
④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④正确．
综上：正确的有①②④，共3个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
二、填空题
7．计算：＝ ．
【答案】2
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解析】解：；
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，属于基础题目，熟练掌握运算法则是关键．
8．的倒数是 ．
【答案】
【分析】先写出的倒数，再分母有理化即可得到答案．
【解析】解：＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是倒数的概念，同时考查分母有理化，掌握以上知识是解题的关键．
9．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值．
【解析】∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2，且a﹣1≠0，
解得，a＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．
10．两年前生产1吨一种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本是3200元，则这两年这种药品成本的年平均降价率为
【答案】
【分析】设这两年这种药品成本的年平均降价率为,再根据题意列方程，然后解方程即可．
【解析】解：设这两年这种药品成本的年平均降价率为，
依题意得．
解得，（舍去），
故这两年这种药品成本的年平均降价率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意列出方程是求解本题的关键．
11．化简二次根式： ．
【答案】
【分析】由二次根式的性质进行化简，即可得到答案．
【解析】解：原式．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质进行化简．
12．关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围 ．
【答案】且
【分析】首先根据一元二次方程的定义得到，然后根据题意得到判别式，解不等式求解即可．
【解析】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴
∴解得
∴且．
故答案为：且．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义和判别式，解题的关键是根据题意列出不等式求解．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
13．若最简二次根式和是同类二次根式，则 .
【答案】3
【分析】根据同类二次根式的定义得出方程组，求出方程组的解即可．
【解析】根据题意得：
解得：
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了同类二次根式和解二元一次方程组的应用，关键是根据被开方数相等列出方程组．
14．不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】按照解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，系数化为1，最后对结果进行化简即可．
【解析】解：，
，
，
∵，
∴，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式的解法以及二次根式的分母有理化，熟练掌握不等式的基本性质以及二次根式的运算法则是解决本题的关键．
15．在实数范围内因式分解：2x2﹣2x﹣1= ．
【答案】2
【分析】解2x2﹣2x﹣1=0可得，x= ，根据求根公式的分解方法和特点可知：2x2﹣2x﹣1= ．
【解析】时，x=,
；
故答案为．
【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式，求根公式法当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式．
16．关于x的一元二次方程（m+1）x2+x+m2﹣2m﹣3=0有一个根为0，则m的值为 ．
【答案】m=3
【解析】解：一元二次方程（m+1）x2+x+m2﹣2m﹣3=0得，m2﹣2m﹣3=0，解之得，m=﹣1或3，
∵m+1≠0，即m≠﹣1，
∴m=3
故本题答案为m=3．
【点评】本题逆用一元二次方程解的定义易得出a的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m+1≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
17．阅读材料：设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系：，根据该材料填空：已知、是方程的两实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】、是方程的两实数根，根据，，即可求出答案．
【解析】解：、是方程的两实数根，根据，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度一般，关键掌握，是一元二次方程的两根时，，．
18．已知y＝＋＋18，求代数式﹣的值为 ．
【答案】-
【分析】首先由二次根式有意义的条件求得x＝8，则y＝18，然后代入化简后的代数式求值．
【解析】解：由题意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0，
解得，x＝8，则y＝18，
∵x＞0，y＞0，
∴原式＝﹣
＝﹣
＝
＝﹣
把x＝8， y＝18代入
原式＝﹣
＝2﹣3
＝-，
故答案为：-．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次根式有意义的条件确定x、y的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简．
三、解答题
19．计算：．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解析】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．
20．计算：．
【答案】
【分析】先算二次根式的乘法再化简即可．
【解析】

【点睛】本题考查二次根式的乘法及二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的乘法及二次根式的性质和化简是解题关键．
21．计算：．
【答案】
【分析】先根据二次根式的性质进行分母有理化，再算二次根式的乘法，最后再合并同类二次根式即可求得答案．
【解析】解：
．
【点睛】此题考查二次根式的混合运算，注意计算过程中的化简与计算结果的化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
22．用适当的方法解下列方程
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】(1)利用直接开平方法计算即可．
(2) 利用因式分解法法求解即可．
(3) 利用因式分解法法求解即可．
(4)利用因式分解法法求解即可．
【解析】（1），
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴,
∴，，
解得．
（3）∵,
∴，
解得．
（4）∵，
∴
∴，
解得．
【点睛】本题考查了直接开平方法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
23．已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．
(2)若等腰三角形ABC的一边，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】(1)证明见详解
(2)5
【分析】（1）利用根的判别式，得到关于k的代数式，得到其非负即可得证；
（2）分情况讨论，以为底边和腰分别求出的值，进而求出另外两边的长度，即可求解．
【解析】（1）解：∵，
∴无论k取任意实数值，方程总有实数根．
（2）解：①当的边为等腰三角形的底边时，，
此时方程有两个相等的实数根，
∴，解得，
此时方程为，解得，
∴的周长为5；
②当的边为等腰三角形的腰时，或，
此时方程有一个根为1，
代入方程，可得，解得，
此时方程为，解得，，
∵1、1、2不能满足两边之和大于第三边，
∴此情况舍去．
综上所述：的周长为5．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、等腰三角形中的分类讨论，掌握分类讨论的思想是解题的关键，注意要验证三角形是否成立．
24．如图所示，已知墙的长度是20米，利用墙的一边，用篱色围成一个面积为96平方米的长方形，中间用篱笆分隔出两个小长方形，每个长方形隔出一个1米长的门，总共用去34米长的篱笆，求的长度？
【答案】的长度是8米
【分析】设为x米，然后表示出的长为米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．
【解析】解：设为x米，则
依题意得
解得：．
当时，（不合题意，舍去）
当时，，符合题意，
答：的长度是8米．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，正确列出关系式是解题的关键．
25．在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．
(1)某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
(2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
【答案】(1)该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为
(2)下调后每辆汽车的售价为21万元
【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，然后根据题意可得方程，进而问题可求解；
（2）设下调后每辆汽车的售价为m万元，则销售量为辆，然后可得方程为，进而求解即可．
【解析】（1）解：由题意可把2020年新能源汽车的销售总量看作单位“1”，则设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，则有：
，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为．
（2）解：设下调后每辆汽车的售价为m万元，由题意得：
解得：，
∵尽量让利于顾客，
∴；
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
26．我们知道：对于任何实数x．
①∵x2≥0，
∴x2+1＞0；
②∵（x﹣）2≥0，
∴（x﹣）2+＞0．
模仿上述方法解答：
求证：（1）对于任何实数x，均有2x2+4x+3＞0；
（2）不论x为何实数，多项式3x2﹣5x﹣1的值总大于2x2﹣4x﹣7的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）将代数式前两项提取2，配方后根据完全平方式为非负数，得到代数式大于等于1，即对于任何实数x，代数式2x2+4x+3的值总大于0，得证；
（2）证明3x2-5x-1-（2x2-4x-7）>0即可.
【解析】证明：(1)∵2x2+4x+3
=2(x2+2x)+3
=2(x2+2x+1)+1
=2(x+1)2+1⩾1>0.
2x2+4x+3>0
(2)∵3x2−5x−1−(2x2−4x−7)
=3x2−5x−1−2x2+4x+7
=x2−x+6
=(x−)2+>0，
∴多项式3x2−5x−1的值总大于2x2−4x−7的值.
【点睛】本题考查偶次方的非负数的性质以及配方法的应用，解题的关键是掌握偶次方的非负数的性质以及配方法的应用.
27．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)28或12
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式展开，即可用m、n表示出a、b；
（2）利用完全平方公式展开可得到，6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后由分别计算即可；
（3）令，两边平方并整理得，然后利用（1）中的结论化简得到，从而可求出t的值，即为原式化简的结果．
【解析】（1）∵，
∴，
∴．
故答案为：，；
（2）∵，
∴，6=2mn，
∴mn=3．
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=3或m=3，n=1．
当m=1，n=3时，；
当m=3，n=1时，．
∴a的值为28或12；
（3）令，
则
∴．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．