2024届河北省保定市部分高中高三上学期12月联考数学试题含答案

这是一份2024届河北省保定市部分高中高三上学期12月联考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先解一元二次不等式求集合A，再利用交集的概念计算即可.
【详解】由即，，所以．
故选：D
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】利用复数的四则运算计算即可.
【详解】由题意可知：．
故选：B
3．已知单位向量满足，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量的数量积与模长关系计算即可.
【详解】易知，．
故选：C
4．根据表中的数据，用最小二乘法得到与的线性回归方程为，则表中的值为（ ）
A．B．20C．D．25
【答案】B
【分析】先求出样本中心点，然后代入回归方程计算即可.
【详解】由表中数据，计算可得，，
因为回归直线过样本中心点，
所以有，
解得．
故选：B.
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式及同角三角函数的商数关系结合二倍角公式计算即可.
【详解】因为，所以，
可得，
所以．
故选：D
6．已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（ ）
A．B．1C．2或4D．4或36
【答案】D
【分析】利用抛物线定义结合已知计算即可.
【详解】因为是上一点，
所以，所以，
由抛物线的定义可得到的距离为，
点到的对称轴的距离为，
则，解得或.
故选：D.
7．已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】B
【分析】错位相减法求出，然后得出，即可得出答案.
【详解】，，
两式相减可得
，
所以，
因为，所以，即恒成立，故.
故选：B.
8．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个实数，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点.设函数，.若在区间上存在不动点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，在上有解，即有解，然后换元构造函数即可.
【详解】由题意可得，在上有解，
即有解，
令，，则，
令函数，，
当时，，所以在上单调递增，
，所以为偶函数，
所以在上单调递减.
，，
故，，
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键是转化为有解问题，利用导数求出其值域，则得到关于的不等式，解出即可.
二、多选题
9．根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则（ ）
A．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为
B．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为
C．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总㲅同比增速的分位数为
D．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为
【答案】ABD
【分析】根据图形中给定数据从小到大排列，结合中位数，百分位数，平均数的定义计算即可.
【详解】我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为
2.5%，3.1%，4.6%，5.5%，7.6%，10.6%，12.7%，18.4%.
我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为18.4%，A正确.
我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为，B正确.
，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的分位数为，C错误.
我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为，D正确.
故选：ABD
10．已知圆，圆，则（ ）
A．直线与直线垂直
B．与没有公共点
C．与的位置关系为外离
D．若分别为圆与圆上的动点，则的最大值为
【答案】BD
【分析】求出两圆的圆心及半径，求出即可判断A；求出圆心距即可判断BC；根据的最大值为即可判断D.
【详解】由题意可知圆，则圆心，半径，
圆，则圆心，半径，
则，与直线不垂直，故A不正确；
因为，
所以与的位置关系为内含，故B正确，C不正确；
对于D，的最大值为，故D正确.
故选：BD.
11．已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．
C．为奇函数D．没有极值点
【答案】AC
【分析】选项A：赋值法求解判断；选项B: 的值不确定；选项C：通过赋值解得，然后赋值，判断函数奇偶性；选项D：根据抽象函数结构利用对数函数求导验证极值点；
【详解】令，得，A正确；
令，得，
故的值不确定，B错误；
令，得，
令，得，则为奇函数，C正确；
由，可得，
根据函数结构举例，当时，可设，
则，
当时，，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，此时有极值点，D错误；
故选：AC.
12．如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（ ）
A．这两个球体的半径之和的最大值为
B．这两个球体的半径之和的最大值为
C．这两个球体的表面积之和的最大值为
D．这两个球体的表面积之和的最大值为
【答案】BC
【分析】根据题意作出截面图，通过几何关系结合导数研究函数的单调性 从而研究两个球体的半径的最值，然后将两个球体的表面积之和表示成，结合二次函数的单调性求得最大值；
【详解】当这两个球体的表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，
如图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
过点作，垂足为.
设圆的半径为，圆的半径为r，的最大值为，且取最大值时，，
所以，，，，.
因为，
所以①，
整理得，解得.
令函数，，.令函数，，所以是增函数.
又因为，，所以，，
所以，，，，
即，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，即这两个球体的半径之和的最大值为.
由①可得，
这两个球体的表面积之和为.
令，函数在上单调递增，
所以，即这两个球体的表面积之和的最大值为.
故选：BC.
三、填空题
13．若双曲线的一条渐近线的斜率大于1，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】求出渐近线方程，得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得，渐近线方程为，故，解得.
故答案为：
14．如图，在直三棱柱中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .
【答案】
【分析】取的中点，连接，，.因为是的中点，所以，此时异面直线与所成角即为直线与所成角，根据余弦定理即可求出答案.
【详解】取的中点，连接，，.因为是的中点，所以.
又，，三棱柱为直三棱柱，所以，，，
，
故异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
15．已知函数，的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为 .
【答案】
【分析】先根据正弦函数的对称性可求出的一个范围，再根据函数在上单调，可得，再求出的一个范围，进而可得出答案.
【详解】因为的图象关于直线对称，
所以，，解得，，
因为在上单调，所以，
即，解得，
当时，，
当时，，
所以当时，单调递减，
故的最大值为.
故答案为：.
16．已知函数，若函数有4个零点，且其4个零点，，，成等差数列，则 .
【答案】
【分析】根据题意得出，判断其为偶函数，作出图像，得出，，，的关系，即可求解.
【详解】，
因为，
所以是偶函数，如图，
所以，，
又成等差数列，所以，则，
因为，所以，所以，.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数奇偶性得，，再利用等差数列性质得到，最后代入计算即可.
四、解答题
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件结合余弦定理求解.
（2）由第一问知，再运用正弦定理求得.
【详解】（1）因为，所以.
因为，所以，解得.
（2）由（1）可得.因为，所以，解得.
18．已知数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）累加法计算通项公式即可；
（2）利用裂项相消法计算即可.
【详解】（1）因为，
所以，，，，
累加得，
因为，所以，故；
（2），
．
19．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）求出函数的导数，然后求出切线的斜率，即可求解；
（2）利用（1）中求出的导数，分别讨论函数在区间的单调性，从而求出最值.
【详解】（1）因为，
所以，
则，，
故曲线在点处的切线方程为
（2）因为，
所以当时，，
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减.
所以当，为在区间的极大值且为最大值，
又，，，
所以在上的最大值为，最小值为.
20．如图，在五面体中，四边形为矩形，平面平面，且，正三角形的边长为2.
(1)证明：平面.
(2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）先通过线面平行的判定定理证明平面，然后根据线面平行的性质定理证明，再结合线面平行的判定定理完成证明；
（2）建立合适空间直角坐标系，然后根据直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值求解出的值.
【详解】（1）因为四边形为矩形，所以，
又平面平面，
所以平面，
因为平面平面平面，所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）分别取的中点，连接，
因为平面平面为正三角形，
以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则，
设平面的法向量为，
则由得，
令，得，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得或（舍去），
故.
21．圆称为椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的离心率为，的蒙日圆方程为.
(1)求的方程；
(2)若为的左焦点，过上的一点作的切线，与的蒙日圆交于，两点，过作直线与交于，两点，且，证明：是定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意，利用待定系数法即可得解；
（2）分类讨论，的斜率取值情况，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求得，从而得证.
【详解】（1）依题意，得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）当，的斜率等于0时，，，
所以；
当，的斜率不等于0时，设：，则：，
由，得，
令，得.
设到的距离为，则，
得，
由，得，
易知，设，，则，
则，
故.
综上，是定值.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22．（1）证明：当时，．
（2）已知函数，试讨论的零点个数．
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析
【分析】（1）构造函数利用导数研究其单调性与最值即可；
（2）利用导数及二次方程的根确定函数的单调性，再含参讨论函数的最值，结合零点存在性定理及第一问的结论确定零点个数即可.
【详解】（1）证明：令函数．
当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以，即．
令函数，，
所以在上单调递增，
所以，即，即．
综上，当时，．
（2）解：的定义域为，且．．
令函数，解得，．
所以，即．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
．
令函数，．
当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值．
①因为当时，，
所以当，即时，，此时只有一个零点．
②因为当时，，
所以当，即时，．
．
令函数，，．
根据二次函数的图象及性质可得，，，，，
即，，，，
所以当，即时，有2个零点．
综上，当时，只有一个零点；当时，有2个零点．
【点睛】本题难点在于第二问，首先利用导数判定函数所以在上单调递减，在上单调递增，从而得出，
构造函数确定函数的最小值范围，再含参讨论函数的最值，结合零点存在性定理及第一问的结论确定零点个数即可.
2
3
4
5
6
20
40
60
70