2024届河北省保定市部分高中高三上学期10月联考数学试题含答案

这是一份2024届河北省保定市部分高中高三上学期10月联考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为或，所以.
故选：C
2．若为纯虚数，则（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【分析】根据复数的运算化简，由于复数是纯虚数，则实部为0，虚部不为0.
【详解】因为为纯虚数，所以且，解得.
故选：B
3．下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．，
B．存在一个三位数，它是质数且大于991
C．，
D．在区间内，至少存在50个奇数
【答案】B
【分析】首先根据描述判断是否为存在量词命题，再判断各存在量词命题的真假，即得答案.
【详解】A为全称量词命题，B，C，D均为存在量词命题.
存在一个三位数997，它是质数且大于991，所以B是真命题.
因为，所以C是假命题.
在区间内，只有49个奇数，所以D是假命题.
故选：B
4．已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（ ）（参考数据：取）
A．万元B．万元C．万元D．万元
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得数列是首项为a，公比为的等比数列，结合等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设第年的销售额为万元，
依题意可得数列是首项为a，公比为的等比数列，
则该公司从第1年到第11年的销售总额为万元．
故选：D
5．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由奇函数、偶函数的性质求解即可.
【详解】因为是奇函数，所以，则．
又是偶函数，所以，所以．
故选：C.
6．设，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定等式，利用同角公式及和角的正弦公式化简变形，再利用正弦函数性质推理即得.
【详解】由，得，
于是，即，
由，，得，
则或，即或（不符合题意，舍去），
所以.
故选：D
7．已知函数则“”是“有3个零点”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】构造新函数，求出有3个零点时的取值范围.
【详解】由，得，
作出函数的图象，如图所示.
由图可知，当时，直线与的图象有3个交点，
又因为对恒成立，所以，
故当有3个零点时，，
所以“”是“有3个零点”的充要条件，
故选：A
8．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣．如图，在菱形ABCD中，，，以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆，P是四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A．B．3C．5D．
【答案】A
【分析】就和分类讨论，后者可根据对称性只需考虑在对应的半圆弧上，前者，后者，而后者可建系处理.
【详解】连接.
若，则，
若不为零，则，这与题设矛盾，若为零，则与重合.
若，则，
设，故，且三点共线.
由对称可知只需考虑在对应的半圆弧上.
当在对应的半圆弧上（除外）时，总在的延长线上，
故此时.
当在对应的半圆弧上，总在之间，故此时
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
设，
当时，，而，
此时.
当时，则，
由可得，
故
. ，
当时，.
综上，
故选：A
【点睛】思路点睛：与向量的线性表示有关的最值问题中，如果考虑基底向量前系数的和的最值，则可利用三点共线构造系数和的几何意义，这样便于求最值.
二、多选题
9．已知向量，下列结论正确的是（ ）
A．若与垂直，则为定值
B．若与互为相反向量，则m与n互为倒数
C．若与垂直，则为定值
D．若与互为相反向量，则m与n互为相反数
【答案】AD
【分析】根据向量垂直的坐标关系可判断AC，利用相反向量的概念结合条件可判断BD.
【详解】若与垂直，则，则，A正确，C错误；
若与互为相反向量，则，则，，B错误，D正确．
故选：AD.
10．某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则（ ）
A．当时，该质点的瞬时速度为
B．当时，该质点的瞬时速度为
C．当时，该质点的瞬时加速度为
D．当时，该质点的瞬时加速度为
【答案】BC
【分析】根据题意，由导数的物理意义，代入计算，即可得到结果.
【详解】，设，则，
当时，该质点的瞬时速度为，故B正确，A错误；
当时，该质点的瞬时加速度为，故C正确，D错误；
故选：BC
11．若数列不是单调递增数列，但数列是单调递增数列，则称是绝对增数列.下列数列是绝对增数列的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】分别判断和的单调性即可.
【详解】当时，，所以是单调递增数列，不是绝对增数列，故A错；
当时，易知不是递增数列，因为，所以是单调递增数列，所以是绝对增数列，故B正确；
当时，易知是递减数列，因为，且是单调递增数列，所以是绝对增数列，故C正确；
设函数，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，上单调递增，
因为，所以是绝对增数列，故D正确.
故选：BCD.
12．若函数的定义域为，对于任意，都存在唯一的，使得，则称为“函数”，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是“函数”
B．已知函数，的定义域相同，若是“函数”，则也是“函数”
C．已知，都是“函数”，且定义域相同，则也是“函数”
D．已知，若，是“函数”，则
【答案】ABD
【分析】通过“函数”的定义可以判断A、B选项正确，通过举反例可以判断C选项错误，根据结合“函数”的定义建立关系可得到.
【详解】对于选项A，定义域为R，若 ，则 ，即，
所以对于任意，都存在唯一的，使得，故A正确.
对于选项B，由，的定义域相同，
若是“函数”，则对于任意，都存在唯一的，使得，
则对于任意，都存在唯一的，使得，所以也是“函数”，故B正确.
对于选项C，不妨取，，，
令，则，故不是“函数”，故C不正确.
对于选项D，因为，是“函数”，
所以在上恒大于零或恒小于零，又，所以在上恒大于零，所以，
且对于任意，都存在唯一的，使得 ，
即，因为，
所以，又时，
所以，解得，故D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：函数新概念问题要灵活运用函数的性质，紧扣题目所给新函数的定义去进行推理计算.
三、填空题
13．若，则 .
【答案】7
【分析】根据给定条件，利用对数运算法则计算即得.
【详解】由，得.
故答案为：7
14．已知，，且，则的最小值为 .
【答案】4
【分析】对进行化简运算，再根据基本不等式的性质即可求出最值.
【详解】由题意得，，，且，
所以
，
当且仅当且，即时，等号成立.
所以的最小值为4；
故答案为：4.
15．邯郸丛台又名武灵丛台，相传始建于战国赵武灵王时期，是赵王检阅军队与观赏歌舞之地，是古城邯郸的象征.如图，某学习小组为了测量邯郸丛台的高度AB，选取了与台底在同一水平面内的两个测量基点C，D，现测得，，米，在点D处测得丛台台顶的仰角为，则丛台的高度为 米（结果精确到0.1米，取，）.
【答案】26.4
【分析】应用正弦定理得出BD,最后由正切计算即可.
【详解】在中，，，
则米.在中，，
则米.
故答案为：26.4.
16．已知，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】令，可将不等式化为，利用导数可求得单调性，进而得到，即，由此可得不等式解集.
【详解】不等式可化为：，
当时，，又，；
令，则，
，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
当时，，，，
即当时，，，
即不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式的求解问题，解题关键是能够将所求不等式转化为的两个函数值大小关系的比较问题，通过对单调性的求解，得到自变量之间的大小关系.
四、解答题
17．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求在上的最值.
【答案】(1)
(2)最小值2，最大值
【分析】（1）先利用诱导公式及辅助角公式化简，进而由周期公式计算即可；
（2）根据正弦函数的性质求解即可.
【详解】（1），
所以的最小正周期.
（2）由，得，
故当，即时，取得最小值2；
当，即时，取得最大值.
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A的值；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2).
【分析】(1) 利用正弦定理通过解已知方程即可求出角A的值.
(2) 利用三角形的面积公式求出，结合余弦定理即可求出的周长.
【详解】（1）由题意，
在中，，，
则，
且，
∴，
解得：,
.
（2）由题意及（1）得，
在中， ，的面积为，
的面积，则.
由，得，
所以，故的周长为.
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，E，F，M分别是PB，CD，PD的中点．
(1)证明：平面PAD．
(2)求平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取PA的中点N，证明后可得线面平行；
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
【详解】（1）证明：取PA的中点N，连接EN，DN，因为E是PB的中点，所以，．
又底面ABCD为正方形，F是CD的中点，所以，，所以四边形ENDF为平行四边形，所以．
因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，．
从而，，．
设平面AMF的法向量为，则，令，得．
设平面EMF的法向量为，则，令，得．
．
故平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值为．
20．已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推关系作差即可求解，
（2）根据错位相减法即可求和.
【详解】（1）当时，．
当时，，
即，
当时，上式也成立，
所以．
当时，也符合，所以．
（2）由（1）知．
，
，
则，
所以．
21．已知双曲线过点和点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是，定值为．
【分析】（1）代入点的坐标联立方程可得双曲线方程， 进而由离心率公式即可求解.
（2）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式分别求解，即可代入化简求解.
【详解】（1）将点和点的坐标代入，
得，解得
所以双曲线的离心率．
（2）依题意可得直线的斜率存在，设：．
联立得，
设，，则，，
所以．
，直线：．设，．
联立得，
则且，
则
，
所以，所以为定值，定值为．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围或者定值问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等或者等量关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
22．已知函数，.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由于在上单调递增，所以在上恒成立，通过构造函数转化为求最值问题；
（2）将的证明转化成 的证明，通过构造，，即可证明，从而原命题得证.
【详解】（1）因为，
所以.
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
故在上恒成立，
即在上恒成立.
令函数，则.
当时，，
所以在单调递减，
所以，
所以a的取值范围为.
（2）要证，，
只需证，.
因为，
所以，.
要证，，
只需证，，
即证，，
即证，.
令函数，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故.
令函数，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故.
所以，
所以，从而原命题得证.
【点睛】思路点精：
（1）由函数单调性求参数取值范围，通常构造函数转化为求函数最值问题；
（2）要证明不等式成立，可通过转化后，利用构造函数法，结合导数求最值，由此来证得不等式成立.