2024邢台部分重点高中高二上学期1月期末考试数学含解析

这是一份2024邢台部分重点高中高二上学期1月期末考试数学含解析，共18页。试卷主要包含了 双曲线的渐近线方程为， 等差数列的前项和为，公差，则， 已知抛物线等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知某数列为，按照这个规律，则该数列第10项是（ ）
A. B. C. D.
3. 等差数列的前项和为，公差，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知抛物线：的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
5. 现有一根4米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
6. 已知为圆上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
7. 在等比数列中，是方程的两个实根，则（ ）
A. -5B. ±5C. 5D. 25
8. 已知是抛物线上的两点，与关于轴对称，，则的最小值为（ ）
A. 9B. C. D. 8
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知直线与圆交于两点，为优弧上的一点（不包括），若，则的值可能为（ ）
A. 2B. -4C. 1D. -3
11. 已知数列的前项和为，则（ ）
A.
B. 为等比数列
C.
D
12. 已知椭圆C：，直线与C交于，两点，若，则实数取值可以为（ ）
A. B. C. 3D. 4
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知数列的前项和为，且，则__________.
14. 若点到抛物线的准线的距离为3，请写出一个的标准方程：__________.
15. 已知等差数列的前项和为，若，则__________.
16. 已知正项等比数列的前项和为，则该数列的公比__________，的最大值为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知等比数列的前项和为，公比.
（1）求；
（2）若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.
18. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍.
（1）求方程；
（2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求.
19. 已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
20. 已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点.
（1）求离心率；
（2）若直线与交于两点，且，求.
21. 已知点，，设，当时，线段的中点为，关于直线的对称点为.例如，为线段的中点，则，.
（1）设，证明：是等比数列.
（2）求数列的通项公式.
22. 已知抛物线的焦点为F，且A，B，C三个不同的点均在上.
（1）若直线AB的方程为，且点F为的重心，求p的值；
（2）设，直线AB经过点，直线BC的斜率为1，动点D在直线AC上，且，求点D的轨迹方程.2023—2024学年高二第一学期
数学试题
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的方程和几何性质可得答案．
【详解】由双曲线可得，，
所以渐近线方程为.
故选：B.
2. 已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，得到数列的一个通项公式，代入即可求解.
【详解】由题意，数列，可化为，
所以数列的一个通项公式为，所以该数列的第10项是.
故选：D.
3. 等差数列的前项和为，公差，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】由前项和公式代入得.
【详解】由题意得，则.
故选：D.
4. 已知抛物线：的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线定义求得的值，得出焦点坐标和，即可得出结果.
【详解】因为，所以，解得，
则，，所以直线的斜率为．
故选：D
5. 现有一根4米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，归纳出截掉的长度和天数成等比数列，根据等比数列求解即可.
【详解】设第天截掉的木头长度为，则是首项为2，公比为的等比数列，
则该等比数列的前项和.
由，得，得.
故选：B.
6. 已知为圆上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】先判断两个圆的位置关系为内含，得的最小值为大圆的半径减去圆心距再减去小圆的半径.
【详解】由题意得圆的圆心为，得，圆与圆的半径之差为，
所以圆与圆的位置关系为内含，所以的最小值为.
故选：C.
7. 在等比数列中，是方程的两个实根，则（ ）
A. -5B. ±5C. 5D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，再结合等比数列的性质即可得出答案.
【详解】由题意得，得，
则.由，得.
故选：A.
8. 已知是抛物线上的两点，与关于轴对称，，则的最小值为（ ）
A. 9B. C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】利用设的坐标，表示，根据题意消去多余的未知量，利用函数求最值.
【详解】设，则，所以
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.
故选：B
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用等差数列的性质及求和公式计算即可一一判定选项.
【详解】由，得，故A、B正确；
因为，所以公差.故C错误，D正确.
故选：ABD
10. 已知直线与圆交于两点，为优弧上的一点（不包括），若，则的值可能为（ ）
A. 2B. -4C. 1D. -3
【答案】CD
【解析】
【分析】由圆心到直线的距离，由结合，求出进而求解.
【详解】由，得，取的中点，连接，如图，则.
由，得，则，
所以圆心到直线的距离，得或，故C、D正确.
故选：CD.
11. 已知数列的前项和为，则（ ）
A.
B. 为等比数列
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，代入递推关系可得；选项B，递推关系变形可得，从而可得为等差数列；选项C，由错位相减法数列求和得，可得；选项D，将代入可得，令可求.
【详解】选项A，由题意得，A正确；
选项B，将两边同时除以，
得，即，
则是首项为，公差为的等差数列，不是等比数列，错误；
选项C，由，
得，
所以①，
则②，
①-②得，，
，
即，则，C正确；
选项D，因为，
所以，D正确.
故选：ACD.
12. 已知椭圆C：，直线与C交于，两点，若，则实数的取值可以为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】CD
【解析】
【分析】将点和点代入椭圆方程组成方程组，利用和点在直线上消去多余未知数，化简得到用表示的关系式，因为表示过定点斜率为的直线，所以直线不与轴重合，因为点在椭圆上，根据椭圆性质得到，从而解得范围选出答案.
【详解】由，得．因为点，在椭圆上，所以消去得，解得．因为直线斜率存在为，所以，所以，显然，解得．

故选：CD
【点睛】关键点睛：本题的关键是将交点代入椭圆，利用已知消元得到关于的表达式，根据的范围求出的范围.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知数列的前项和为，且，则__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据前项和的性质可知，，代入数据即可.
【详解】由题意得.
故答案为：4
14. 若点到抛物线的准线的距离为3，请写出一个的标准方程：__________.
【答案】（本题答案不唯一，任选一个即可）
【解析】
【分析】由抛物线的定义即可得抛物线方程.
【详解】由题意得抛物线的准线可能为直线，
所以的标准方程可能为.
故答案为：（答案不唯一，中任选一个即可）.
15. 已知等差数列的前项和为，若，则__________.
【答案】46
【解析】
【分析】由等差数列性质构造等差数列，则由新数列的前两项依次求解可得.
【详解】由等差数列的性质可知成等差数列，
即1，8，成等差数列，且公差为，
所以，
得.
故答案为：.
16. 已知正项等比数列的前项和为，则该数列的公比__________，的最大值为__________.
【答案】 ①. ## ②. 1024
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的前项和公式、指数函数的单调性进行求解即可.
【详解】由题意得，则，得.
因为，所以.
易得，则，
所以.
当时，，当时，，
所以.
故答案为：；
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知等比数列的前项和为，公比.
（1）求；
（2）若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）36 （2）存在，4，12，36
【解析】
【分析】（1）由等比数列的前n项和公式，计算，再求出；
（2）设该等差数列为，求出公差和插入的三个数，判断是否存在3个数成等比数列.
【小问1详解】
由，得，所以.
【小问2详解】
设这5个数组成的等差数列为，
则，，得该数列的公差，
所以，，.
因为，所以，，成等比数列，即这3个数为4，12，36.
18. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍.
（1）求的方程；
（2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件确定的值，即得椭圆的标准方程；
（2）涉及中点弦问题，可以考虑“点差法”解决问题.
【小问1详解】
由题意可得，得，所以的方程为.
小问2详解】
由题意得.
设，，依题意可得，且，
由得，
则，解得.
经检验，点在椭圆内.
所以为所求.
19. 已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用可得答案；
（2）利用裂项相消求和可得答案.
【小问1详解】
当时，，
当时，由，①
得，②
①-②得，即，
经检验，也符合，
所以；
【小问2详解】
由题意得，
所以
.
20. 已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上双曲线经过两点.
（1）求的离心率；
（2）若直线与交于两点，且，求.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
分析】（1）设双曲线方程，由已知点坐标代入待定系数，再由方程确定求出离心率；
（2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理代入弦长公式得关于的方程求解即可.
【小问1详解】
由题意，设，
由双曲线经过两点，得，
得，即，则，
所以的离心率为.
【小问2详解】
设，由，得，
依题意可得，且，即.
由韦达定理得，
所以
，
整理得，解得或.
21. 已知点，，设，当时，线段的中点为，关于直线的对称点为.例如，为线段的中点，则，.
（1）设，证明：是等比数列.
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的定义证明；
（2）利用累加法求数列的通项公式.
【详解】（1）证明：当时，线段的中点为，，
则.
由得，
所以，即.
因为，所以是以2为首项，为公比的等比数列.
（2）解：由（1）知，即，
则，，…，，
将以上各式相加得.
因为，所以.
当时，也符合上式，故.
22. 已知抛物线的焦点为F，且A，B，C三个不同的点均在上.
（1）若直线AB的方程为，且点F为的重心，求p的值；
（2）设，直线AB经过点，直线BC的斜率为1，动点D在直线AC上，且，求点D的轨迹方程.
【答案】（1）8； （2）（且）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用三角形重心坐标公式用p表示出点的坐标，再代入计算即得.
（2）借助抛物线方程设出点的坐标，结合直线方程求出直线经过的定点，进而确定点D的轨迹并求出方程即得.
【小问1详解】
抛物线的焦点，设，
由消去x得，则，，
由点F是的重心，得，则，
而点C在上，于是，又，所以.
【小问2详解】
当时，的方程为，设，，，
直线的斜率，
同理得直线的斜率，直线的斜率，
直线AB的方程为，化简得.
而直线AB过点，即，显然，则，
又，即，于是，整理得，
直线AC的方程为，化简得，
将代入，得，令，得，直线AC过定点，
设线段ME的中点为G，则G的坐标为，
因为D在直线AC上，且，因此D在以G为圆心，EM为直径的圆上运动，
因为，所以D的轨迹方程为（且）.
【点睛】结论点睛：点是抛物线上两点，则直线斜率；点是抛物线上的两点，则直线斜率.