河北省部分重点高中2024届高三(上)期末考试数学试卷(解析版)

这是一份河北省部分重点高中2024届高三(上)期末考试数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对于集合，由解得，所以.
因为，
当且仅当时，等号成立，所以，所以.
故选：A
3. “是第二象限角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：若是第二象限角，则，，可推出，充分性成立；
必要性：若，即与异号，则为第二象限或第三象限角，必要性不成立；
故选：A
4. 已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
【答案】A
【解析】对于A，因为，，所以，
又，，所以，A正确；
对于B，在正方体中，
记平面为，平面为，为，为，
则，，，但与不平行，B错误；
对于C，记平面为，平面为，为，为，
由正方体性质可知，平面，平面，所以，
则，，，但不垂直，C错误；
对于D，记为，为，平面为，
则，，但与不垂直，D错误.
故选：A
5. 我们把形如：和：的两个双曲线叫做共轭双曲线.已知与互为共轭双曲线，且的离心率，则的离心率（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】由，得，
，解得.
故选：C.
6. 折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张直径为4的圆形纸片，圆心为，在圆内任取一点，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点重合，记此时的折痕为，点在上，则的最小值为（ ）

A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】如图，设关于对称的点为，则在圆上，连接，，
则有，故.

故选：D
7. 在中，为边上的高，且向量，，则向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
所以，
设，则，
解得，则.
故选：D.
8. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，，
当时，，当时，.
在0,+∞上，，
所以，在0,+∞上均单调递增，
由，即可得，
因为幂函数在0,+∞上单调递增，所以，
指数函数在R上单调递减，所以，
综上可知，.
又因为对数函数在0,+∞上单调递增，
所以，即.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 函数图象的对称轴方程可能为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】AD
【解析】，
则图象的对称轴方程为，..
故选:AD.
10. 一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出的频率分布直方图如图所示，其中有8名客户的评分数落在40,50内，则（ ）
A. 图中的
B.
C. 同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为76.2
D. 该公司计划邀请评分数低于第25百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为71，则甲将会被邀请参与产品改进会议
【答案】ABC
【解析】由频率分布直方图可知：，解之得，A正确；
评分落在40,50内的有8人，所以，B正确；
评分的平均数为，C正确；
，所以甲不会被邀请，D错误.
故答案为：ABC
11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若平面是面积为的等边三角形，则
B. 若，则
C. 若，则球面的体积
D. 若平面为直角三角形，且，则
【答案】BC
【解析】若平面是面积为的等边三角形，则，则，.A不正确.
若，则，则.B正确.
若，则，，
则平面的外接圆半径为，则到平面的距离，
则三棱锥的体积，
则球面的体积.C正确.
由余弦定理可知因为，所以，则.
取，，则，，
则.D不正确.
故选：BC
12. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，的图象关于点对称，则（ ）
A.
B. 为偶函数
C. 的图象关于点对称
D.
【答案】ABD
【解析】由，可得，则，令，得，A正确.
令，则，故为偶函数，B正确.
假设的图象关于点1,0对称，则，
则，即关于直线x=1对称，又fx不是常函数，
这与f'x的图象关于点1,0对称矛盾，假设不成立，C不正确.
因为f'x的图象关于点1,0对称，所以，
令，则，
则（为常数），则，
从而，即，
由，得，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 抛物线的顶点到它准线的距离为_______.
【答案】1
【解析】抛物线即的准线方程为，顶点到它准线的距离为1.
故答案为：1.
14. 已知函数的最小值为0，则_______.
【答案】
【解析】因为，所以.
若，则在上单调递减，无最小值.
若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.
故答案为：
15. 单调递增的等比数列的前项和为，若，，则_______.
【答案】31
【解析】数列为等比数列，所以，，
因为an单调递增，所以，，
设公比为q,,
则.
故答案为：31.
16. 将1，2，3，…，9这9个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），记第1行中最大的数为，第2行中最大的数为，第3行中最大的数为，则的填法共有_______种.
【答案】60480
【解析】第3行，，可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数，共有种情况.
第2行，取剩下6个数中最大的数为，可选的位置有3个，
其余2个位置任取2个数，共有种情况，
第1行，剩下3个数任意排列，则有种情况，
故共有种填法
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 的内角，，的对边分别为，，.已知.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
解：（1）因为，所以，
则.
又，所以，
则，即.
（2）由（1）及已知有，则，则.
，所以的面积.
18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，.
（1）证明：.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
证明：（1）连接，因，，，所以，
由，得，则
则，从而
又平面，平面，所以.
因平面，平面,
所以平面
又平面，所以
解：（2）以为坐标原点，，所在的直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P0,0,1，，，D0,1,0，
，，PD=0,1,-1.
设平面的法向量为m=x,y,z，
由得
令，得.
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
19. 在数列an中，，且.
（1）求an的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求
解：（1）当时，，则.
当时，由，
得，
则，则.
因为，所以an从第2项起成等比数列，
.
（2），当为大于1的奇数时，，
当为偶数时，.
.
，
则，
则，
，
则，
则.
20. 某学校组织知识竞赛，题库中试题分，两种类型，每个学生选择2题作答，第1题从，两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为.已知学生甲答对种试题的概率均为，答对种试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立.
（1）求学生甲2题均选择种试题作答的概率；
（2）若学生甲第1题选择种试题作答，记学生甲答对的试题数为，求的分布列与期望.
解：（1）若学生甲第1题选择种试题作答并且答对，则第2题选择种试题作答的概率，
若学生甲第1题选择种试题作答并且答错，则第2题选择种试题作答的概率，
故学生甲2题均选择种试题作答的概率.
（2）由题可知，的取值可能为0，1，2，
且，
，
，
故的分布列为
则.
21. 已知，分别是椭圆：的左、右顶点，是椭圆的上顶点，且，的周长为.
（1）求椭圆的方程.
（2）为坐标原点，斜率为的直线与椭圆相交于，两点，直线，的斜率分别为，.是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
解：（1）因为，所以，则，
又的周长为，所以，解得，
则，故椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，Mx1,y1，Nx2,y2，
联立方程组，整理得，
，
由韦达定理得，，
又，所以，
又，，
所以，
令，即，则为定值，
故存在，使得为定值.
22. 已知函数.
（1）当时，求曲线y=fx在处的切线方程；
（2）当时，证明：恰有三个不同的极值点，，，且.参考数据：取.
解：（1）由，得，则，则，，
故曲线y=fx在处的切线方程为.
证明：（2），令，则.
因为，所以，
则方程存在两个不同的实数根，（设），
则，，则.
当时，，当时，，
则在0,m和上单调递减，在上单调递增.
，，，
令，则在上恒成立，
故hx在上单调递减，故，则，，
不妨令，则，，，，
当时，f'x>0，当时，f'x