陕西省商洛市2024届高三上学期尖子生学情诊断考试数学（文科）试题及答案

这是一份陕西省商洛市2024届高三上学期尖子生学情诊断考试数学（文科）试题及答案，共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，已知等比数列的前项和，则，设某批产品的产量为等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C.1 D.-1
3.如图所示方格纸上的图形为某几何体的三视图（其中小方格边长为1），则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在中，满足条件，若，则（ ）
A.8 B.4 C.2 D.
5.已知抛物线的焦点为，点在上，点，则周长的最小值为（ ）
A.8 B.10 C.12 D.13
6.已知等比数列的前项和，则（ ）
A.3 B.9 C.-9 D.-3
7.设某批产品的产量为（单位：万件），总成本（单位：万元），销售单价（单位：元/件），若该批产品全部售出，则总利润（总利润销售收入-总成本）最大时的产量为（ ）
A.7万件 B.8万件 C.9万件 D.10万件
8.已知双曲线的一条渐近线为为右支上任意一点，且到的距离为，到左焦点的距离为，则的最小值为（ ）
A.4 B. C. D.
9.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数的图象与的图象关于轴对称，若将的图象向左至少平移个单位长度后可得到的图象，则（ ）
A.的图象关于原点对称
B.
C.在上单调递增
D.的图象关于点对称
11.暑假期间，同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评.其中甲的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12.设，则（ ）
A. B.
C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在等差数列中，首项，公差，若，则等于__________.
14.若，则__________.
15.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光源点射出的两条光线与分别相切于点，称两射线上切点上方部分的射线与优弧上方所夹的平面区域（含边界）为圆的“背面”.若以点为圆心，为半径的圆处于的“背面”，则的最大值为__________.
16.如图，已知椭圆的离心率为，左顶点是，左､右焦点分别是是在第一象限内的一点，直线与的另一个交点为.若，则直线的斜率__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
某运动产品公司生产了一款足球，按行业标准这款足球产品可分为一级正品､二级正品､次品共三个等级.根据该公司测算：生产出一个一级正品可获利100元，一个二级正品可获利50元，一个次品亏损80元.该运动产品公司试生产这款足球产品2000个，并统计了这些产品的等级，如下表：
（1）求这2000个产品的平均利润是多少；
（2）该运动产品公司为了解人们对这款足球产品的满意度，随机调查了100名男性和100名女性，每位对这款足球产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：
问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异？
附：，其中.
18.（本小题满分12分）
如图，在平面四边形中，.
（1）求；
（2）求.
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，是的中点.
（1）证明：；
（2）若，求点到平面的距离.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若的两个极值点分别为，证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）已知曲线交于两点，求线段的长.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知.
（1）解不等式；
（2）令，若的图象与轴所围成的图形的面积为，求实数的值.
商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试·数学试卷（文科）
参考答案､提示及评分细则
1.C ，所以.故选C.
2.D 因为，所以，则的虚部为-1.故选D.
3.A 易知三视图所表示的为四棱锥（如图所示），且底面是边长为2的正方形，
一条侧棱与底面垂直，且，易求，
，所以该几何体的表面积为.故选A.
4.A 因为，所以，故.故选A.
5.D 如图，显然，记抛物线的准线为，则，记点到的距离为，点到的距离为，则.故选D.
6.D 当时，；当时，，又是等比数列，所以，解得.故选D.
7.B 总利润412，当且仅当，即时，最大.故选B.
8.B 由题可知，，设右焦点到渐近线的距离为，由图可知，.故选B.
9.A 由任意两个实数，不等式恒成立，得函数在上单调递增.由函数是定义在上的奇函数，得，所以不等式化为，解得-2022，所以不等式的解集为.故选A.
10.B 由题意，可设，因为与的图象关于轴对称，所以，则的最小值为，所以，则.
对于A，因为的定义域为，而，所以不是奇函数，图象不关于原点对称，错误；
对于B，，B正确；
对于C，由，得，又在上不单调，C错误；
对于D，，不存在，使，故不是图象的对称中心，D错误.故选B.
11.C 圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，设圆锥的母线长为，所以，解得.设圆锥的底面圆半径为，所以，解得，所以圆锥的高，设球的半径为，所以，解得，所以球的表面积等于.故选C.
12.D 设，设0，所以，所以函数在上单调递增，所以，即.根据已知得，可设，则，所以函数在上单调递增，所以，即.综上，.故选D.
13.34 因为，由题知，即，所以.
14. .
15. 如图所示，设过点的切线方程为，所以，解得，所以直线的方程为，即，直线的方程为，即，因为圆处于圆的“背面”，由图可知，当圆与圆外切且圆与（或）相切时，取最大值，由圆与圆外切，得，由
圆与相切，得，由，得，所以，即0，解得或，结合可得，所以的最大值为，同理圆与相切时的最大值为，故的最大值为.
16. 因为椭圆的离心率为，则，又因为，即，则，则.设，则，所以.由解得所以.
17.解：（1）依题意可得平均利润为（元）.
（2）依题意可得，
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异.
18.解：（1）在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
因为，
所以，所以，
所以，
在中，由余弦定理得.
（2），则，
则是正三角形，所以，
在中，由正弦定理得，即，
解得.
19.（1）证明：菱形中，，所以为等边三角形，
是的中点，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：连结交于，则为的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，设为.
因为为中点，，所以.
因为平面平面，平面平面平面，所以平面.
因为平面，所以，因为，所以，
在Rt中，易知，所以.
取中点，连接，易得在Rt中，，所以，
在中，，
所以.
又.
由得，所以.
即点到平面的距离为.
20.解：（1）由已知，设点的坐标分别为，
又点的坐标为，且，
所以解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，则依据得，
整理得，
又故
得，即，
，又，得，
又，故，且，
故实数的取值范围为.
21.（1）解：依题意，，
当时，，所以在上单调递减；
当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，，所以在上单调递增.
（2）证明：不妨设，由（1）知，当时，在（上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以是的极大值点，是的极小值点，所以，所以.
由（1）知，，则.
要证，只需证.
因为
，
设.
所以，
所以在上单调递增，所以.
所以，即得成立.
所以原不等式成立.
22.解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
所以曲线的普通方程为；
因为曲线的极坐标方程为，所以，
即，
又，
所以曲线的直角坐标方程为.
（2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，为直线，
且圆心到直线的距离，
所以圆与直线相交，
所以.
23.解：（1）
当时，，解得，无解；
当时，，解得，所以；
当时，，解得，所以.
综上所述，不等式的解集为.
（2）画出的图象，由（1）知，阴影部分的面积为，
所以的图象向下平移至阴影部分的上沿与轴重合时，图形与轴所围成图形的面积恰为阴影部分的面积，即为，
此时函数的图象向下平移的距离为3，故.
等级
一级正品
二级正品
次品
频数
1000
800
200
满意
不满意
总计
男性
32
68
100
女性
61
39
100
总计
93
107
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828