精品解析：陕西省商洛市2024届高三上学期尖子生学情诊断考试数学（理科）试卷

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. 1D.
3. 如图所示方格纸上图形为某几何体的三视图（其中小方格边长为1），则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，满足条件，若，则（ ）
A. 8B. 4C. 2D.
5. 已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（ ）．
A. 13B. 12C. 10D. 8
6. 已知等比数列的前项和，则（ ）
A. 3B. 9C. -9D. -3
7. 已知双曲线一条渐近线为为右支上任意一点，且到的距离为，到左焦点的距离为，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. D.
8. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一个“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一个重卦.在所有重卦中随机取一个重卦，则该重卦恰有2个阴爻的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数图象与的图象关于轴对称，若将的图象向左至少平移个单位长度后可得到的图象，则（ ）
A. 的图象关于原点对称
B.
C. 在上单调递增
D. 的图象关于点对称
11. 半正多面体亦称“阿基米德体”或者称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示．已知，若在该半正多面体内放一个球，则该球体积的最大值为（ ）

A. B. C. D.
12. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若，则__________.
14. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为________．
15. 若，则__________.
16. 设函数的定义域为为的导函数，，则_______．
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知中，角所对的边分别为.
（1）求；
（2）设是边上点，且满足，求内切圆的半径.
18. 随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.在丑橘销售旺季，某丑橘基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售丑橘的数量（都在100箱到600箱之间）情况如下：
（1）求实数的值，并用组中值估计这100个购物群销售丑橘总量的平均数（箱）；
（2）假设所有购物群销售丑橘的数量服从正态分布，其中为（1）中的平均数，12100.若参与销售该基地丑橘的购物群约有2000个，销售丑橘的数量在（单位：箱）内的群为“一级群”，销售数量小于266箱的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596箱的购物群为“优质群”.该丑橘基地对每个“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该丑橘基地大约需要准备多少元？
附：若服从正态分布，则.
19. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，为棱上一点.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的大小.
20. 已知椭圆离心率是 ，其左､右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于.
（1）求证：；
（2）若点，过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
21. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若，函数.
（i）证明：在区间上存在极值点；
（ii）记在区间上的极值点为在区间上的零点的和为.证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､ 23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为参数，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）已知曲线交于两点，求线段的长．
选修4-5：不等式选讲
23. 已加．
（1）解不等式；
（2）令，若的图象与轴所围成的图形的面积为，求实数的值．
丑橘数量（箱）
购物群数量（个）
18
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