2023届四川省遂宁市射洪中学高三上学期入学考试数学（文）试题含解析

2023届四川省遂宁市射洪中学高三上学期入学考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，，则的子集的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】先利用对数函数求集合，再利用集合的交集运算求解集合，即可得出的子集的个数.

【详解】因为，，

所以，

它的子集有，，，，

共有4个，

故选：D.

2．已知，则复数（    ）．

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数相等的定义可求得,然后利用复数的商的运算可求得结果.

【详解】由已知及复数相等的定义可得，

所以，

故选：C．

【点睛】本题考查复数相等的定义和复数的商的运算，属于基础题.

3．(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A．14斛 B．22斛

C．36斛 D．66斛

【答案】B

【详解】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.

【解析】圆锥的性质与圆锥的体积公式

4．小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（　　）

A．1% B．2% C．3% D．5%

【答案】C

【分析】由图1知食品开支占总开支的30%，由图2知鸡蛋开支占食品开支的，由此求得鸡蛋开支占总开支的百分比．

【详解】解：由图1所示，食品开支占总开支的30%，

由图2所示，鸡蛋开支占食品开支的，

∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%3%．

故选C．

5．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展.下表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：

由上表可知其线性回归方程为：，则的值为（    ）A．0.16 B．1.6 C．0.06              D．0.8

【答案】A

【分析】求出，将代入即可求出.

【详解】由表中数据可得，，

将代入，即，解得.

故选：A.

6．由直线上的一点向圆C：引切线，则切线长的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【分析】切点与圆心的连线垂直切线，利用勾股定理，切线段长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解.

【详解】在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接CA．

在中，．要使最小，则应最小．

又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为．

故的最小值为．

故选：A

7．在函数、，，中，最小正周期为的函数的个数为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】画出的图象进行判断；根据定义判断；利用周期公式判断，.

【详解】函数的图象如下图所示

由图可知，函数不是周期函数

，则函数的最小正周期为；

的周期为，的周期为

故选：C

8．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由对数的运算化简可得，，结合对数函数的性质，求得，又由指数函数的性质，求得，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，对数的运算公式，可得，

，

又由，所以，即，

由指数函数的性质，可得，

所以.

故选D.

【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

9．对任意非零实数，，若的运算原理如图所示，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先分析出该程序的作用是计算分段函数函数值，然后由即可得到正确答案.

【详解】分析程序中各变量、各语句的作用，

再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是计算分段函数函数值，

，

此时，

．

故选：C．

10．设a>0，b>0，若3是3a与32b的等比中项，则的最小值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【解析】根据a>0，b>0，且3是3a与32b的等比中项，易得，然后由“1”的代换变形，利用基本不等式求解.

【详解】因为a>0，b>0，且3是3a与32b的等比中项，

所以

解得，

所以，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为4

故选：A

11．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】作出图象，利用椭圆的定义，由求解.

【详解】因为椭圆，

所以，

如图所示：

由椭圆的定义得：，

当点P在点处，取等号，

所以的最大值为9，

故选：B

12．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．

【解析】外接球表面积和椎体的体积．

二、填空题

13．满足不等式组并使目标函数取得最大值的点的坐标是_________．

【答案】

【分析】根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义即可求解最大值点.

【详解】由不等式组画出可行域（如图阴影部分），

转化目标函数为，

数形结合可得当经过点时，纵截距最大，z的值最大.

故答案为：

14．已知向量，，若，则______.

【答案】7

【分析】直接由已知条件列方程求解即可

【详解】解：因为向量，，且，

所以

所以，解得，，

则.

故答案为：7

【点睛】此题考查共线向量的坐标间的关系，属于基础题.

15．曲线在点（1，1）处的切线方程为_____.

【答案】

【详解】 ，故切线方程的斜率

又 ，故曲线在点处的切线方程为

整理得

即答案为

16．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及其准线与点，若，且，则抛物线的方程是___________________．

【答案】

【分析】做出图像如下图所示，作准线于，准线于，于.根据抛物线的定义得，由，，根据三角形相似求得，可得抛物线的方程.

【详解】做出图像如下图所示，作准线于，准线于，于.

在中，，又，，

，所以抛物线的方程为：，

故答案为：.

【点睛】本题考查抛物线的定义，标准方程，以及平面几何的相关知识，关键在于将已知条件中的线段间的关系通过抛物线的定义进行转化，属于中档题.

三、解答题

17．2019年初，某市为了实现教育资源公平，办人民满意的教育，准备在今年8月份的小升初录取中在某重点中学实行分数和摇号相结合的录取办法．该市教育管理部门为了了解市民对该招生办法的赞同情况，随机采访了440名市民，将他们的意见和是否近三年家里有小升初学生的情况进行了统计，得到如下的2×2列联表.

（1）根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是否赞同小升初录取办法与近三年是否家里有小升初学生有关；

（2）从上述调查的不赞同小升初录取办法人员中根据近三年家里是否有小升初学生按分层抽样抽出6人，再从这6人中随机抽出3人进行电话回访，求3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生的概率.

附：，其中.

【答案】（1）能在犯错误概率不超过0.001的前提下认为是否赞同小升初录取办法与近三年是否家里有小升初学生有关；（2）0.6

【分析】（1）根据列联表计算，对照所给表格数据可得结论；

（2）由分层抽样知从近三年家里没有小升初学生的人员中抽出2人，分别记为，，从近三年家里有小升初学生的人员中抽出4人，分别记为，，，，则从这6人中随机抽出3人的抽法，可以分别列举出来，其中恰有1人近三年家里没有小升初学生的情况也可以列举出来，计数后可得概率．

【详解】（1）假设是否赞同小升初录取办法与近三年是否有家里小升初学生无关，

的观测值，因为

所以能在犯错误概率不超过0.001的前提下认为是否赞同小升初录取办法与近三年是否家里有小升初学生有关.

（1）设从近三年家里没有小升初学生的人员中抽出人，从近三年家里有小升初学生的人员中抽出人，

由分层抽样的定义可知，解得，.

方法一：设事件M为3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生．在抽出的6人中，近三年家里没有小升初学生的2人，分别记为，，近三年家里有小升初学生的4人，分别记为，，，，则从这6人中随机抽出3人有20种不同的抽法，所有的情况如下：

{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}.

其中恰有1人近三年家里没有小升初学生的情况有12种，分别为：

{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，

所以3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生的概率为.  

方法二：设事件M为3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生，在抽出的6人中，近三年家里没有小升初学生的有2人，近三年家里有小升初学生的有4人，则从这6人中随机抽出3人有种不同的抽法，从这6人中随机抽出的3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生的情况共有种.

所以3人中恰有1人近三年家里没有小升初学生的概率为:

【点睛】本题考查独立性检验，考查分层抽样和古典概型概率公式，独立性检验问题直接计算，再据表格数据得出结论，解决古典概型概率问题的关系是确定事件的个数，可能用列举法列出所有的基本事件，然后计数得出概率．

18．如图，在三棱柱中，四边形为矩形，平面平面，，分别是侧面，对角线的交点．求证：

（1）平面；

（2）.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】(1)由已知结合平行四边形的性质可得，分别是，的中点 ，利用中位线定理可得,根据线面平行的判定定理即可证明；(2)由矩形的性质可得 ,利用面面垂直的性质可得平面 ,根据线面垂直的性质可求.

【详解】（1）因为三棱柱，

所以四边形，四边形均为平行四边形．

因为，分别是侧面，对角线的交点，

所以，分别是，的中点 ，

所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（2）因为四边形为矩形，

所以.

因为平面平面，平面，平面平面，

所以平面.

因为平面，

所以.

【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的性质、线面垂直的性质，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.

19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.

（1）若a=c，b=2，求的面积；

（2）若sinA+sinC=，求C.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论；

（2）方法一 ：将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解.

【详解】（1）由余弦定理可得，

的面积；

（2）[方法一]：多角换一角

，

，

，

.

[方法二]：正弦角化边

由正弦定理及得．故．

由，得．

又由余弦定理得，所以，解得．

所以．

【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.

20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（t，﹣2）在C上，且|PF|＝2|OF|（O为坐标原点）．

（1）求C的方程；

（2）若A，B是C上的两个动点，且A，B两点的横坐标之和为8，求当|AB|取最大值时，直线AB的方程．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用已知条件，列出方程组，求解，即可求出的标准方程．

（2）设，，，，且．设中点为，当时，，；当时，求出直线的斜率，直线方程，然后直线方程与联立方程消去，整理得，利用韦达定理，弦长公式求解即可．

【详解】解：（1）由题意得，解得，

所以的标准方程为．

（2）设，，，，且．

设中点为，则，，

当时，，；

当时，，

则，即，

与联立方程消去，整理得，

由，得，

，，

，

当且仅当，即，即时，取“”，

所以的最大值为10，

此时的方程为．

21．已知函数，且在处取得极值．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）若当时，恒成立，求c的取值范围；

（Ⅲ）对任意的，是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）c的取值范围是．（Ⅲ）成立，证明见解析.

【解析】（Ⅰ）由题意得f（x）在x＝1处取得极值所以f′（1）＝3﹣1+b＝0所以b＝﹣2．

（Ⅱ）利用导数求函数的最大值即g（x）的最大值，则有c2＞2+c，解得：c＞2或c＜﹣1．

（Ⅲ）对任意的x1，x2∈[﹣1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，等价于|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min．

【详解】（Ⅰ）∵f（x）＝x3x2+bx+c，

∴f′（x）＝3x2﹣x+b．

∵f（x）在x＝1处取得极值，

∴f′（1）＝3﹣1+b＝0．

∴b＝﹣2．

经检验，符合题意．

（Ⅱ）f（x）＝x3x2﹣2x+c．

∵f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），

当x∈（﹣1，）时，f′（x）＞0

当x∈（，1）时，f′（x）＜0

当x∈（1，2）时，f′（x）＞0

∴当x时，f（x）有极大值c．

又f（2）＝2+cc，f（﹣1）cc

∴x∈[﹣1，2]时，f（x）最大值为f（2）＝2+c．

∴c2＞2+c．∴c＜﹣1或c＞2．

（Ⅲ）对任意的x1，x2∈[﹣1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|恒成立．

由（Ⅱ）可知，当x＝1时，f（x）有极小值c．

又f（﹣1）cc

∴x∈[﹣1，2]时，f（x）最小值为c．

∴|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，故结论成立．

【点睛】本题考查函数的极值及最值的应用，易错点是知极值点导数为0要检验，结论点睛：|f（x1）﹣f（x2）|≤a恒成立等价为f（x）max﹣f（x）min≤a

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的直角坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和直线的极坐标方程；

（2）射线，和曲线分别交于点，，与直线分别交于，两点，求四边形的面积.

【答案】（1）；；（2）.

【解析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果即可.

（2）利用三角形的面积公式的应用和割补法的应用即可求出答案.

【详解】（1）曲线的参数方程为，为参数），转换为直角坐标方程为.

曲线的直角坐标方程为，根据，整理得，即.

（2）射线，和曲线分别交于点，，

与直线分别交于，两点，如图所示：

所以直线的直角坐标方程为，直线的直线方程为，

所以，解得，

设直线与轴交于点，

将代入，得，即.

所以.

同理：，解得：，

所以，

所以.

【点睛】本题主要考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，割补法的应用，同时考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于难题.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）函数化简为分段函数分别解不等式得到答案.

（2）题目等价于当时不等式恒成立，得到不等式，求的最小值得到答案.

【详解】（1），由，解得，

故不等式的解集是；

（2）的解集包含，即当时不等式恒成立，

当时，，，即，

因为，所以，

令，，易知在上单调递增，

所以的最小值为，因此，即的取值范围为.

【点睛】本题考查了绝对值不等式，将题目等价于当时不等式恒成立是解题的关键.