2022-2023学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）直线2x﹣my﹣3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点 ．
2．（4分）已知直线l1：x+2y+3＝0，l2：x+ay+1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为 ．
3．（4分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3+a4＝20，S5＝35，则{an}的公差为 ．
4．（4分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5：a3＝1：2，则S9：S5＝ ．
5．（4分）直线l：2x﹣y+5＝0与圆O2：x2+（y﹣5）2＝18交于A，B两点，则|AB|＝ ．
6．（4分）数列{an}的首项a1＝2，且an+1＝4an+6（n为正整数），令bn＝lg2（an+2），则 ．
7．（5分）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：l：y＝2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为 ．
8．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且{an}不是常数列，则以下命题正确的是 ．
①若数列{an}为等差数列，则为等比数列；
②若数列{an}为等差数列，Sn＞0恒成立，则{an}是严格增数列；
③若数列{an}为等比数列，则S2023•a2023＞0恒成立；
④若数列{an}为等差数列，a1＞0，S6＝S11，则Sn的最大值在n为8或9时取到．
9．（5分）已知圆C：（x+2）2+y2＝25上一动点M，点B（2，0），线段MB的中垂线交直线MC于点P（x，y）（x≥0），且点P到y轴的距离是|PB|﹣2，则|PB|＝ ．
10．（5分）数列{an}的通项公式为an＝[lg2n]（n为正整数），其中[x]表示不超过x的最大整数，则a1+a2+a3+…+a2023＝ ．
11．（5分）已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，△AF1F2与△BF1F2的内切圆圆心均在直线x＝a上，且r1r2≤3a2，则此双曲线离心率的取值范围为 ．
12．（5分）已知集合A＝{x|x＝2n﹣1，n为正整数}，B＝{x|x＝2n，n为正整数}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn＞16an+1成立的n的最小值为 ．
二、选择题。（本大题共4题，每题5分，满分20分）
13．（5分）无穷等比数列4，﹣2，1，，…的各项和为（ ）
A．B．C．7D．
14．（5分）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
15．（5分）若圆C1：x2+y2+2ax+a2﹣4＝0（a∈R）与圆C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝0（b∈R）恰有三条切线，则a+b的最大值为（ ）
A．﹣3B．﹣3C．3D．3
16．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0，公差d＜0，若对任意的正整数n，总存在正整数k，使S2k﹣1＝（2k﹣1）Sn，则k﹣4n的最小值为（ ）
A．﹣74B．﹣8C．﹣53D．﹣13
三、解答题。（本大题共5题，满分76分）
17．（14分）已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，
（1）求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线y＝﹣2x+4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．
18．（14分）已知数列{an}为等差数列，a1+a2＝﹣2，a4+a5＝4，数列{bn}中，点（bn，Tn）在直线上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．
（1）求数列{an}、数列{bn}的通项公式；
（2）若cn＝an•bn，求数列{cn}的最大项．
19．（14分）某地区森林原有木材存量为a，且每年增长率为20%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材的存量．
（1）求an的表达式；
（2）如果，为保护生态环境，经过多少年后，木材存储量能翻一番？
20．（16分）已知椭圆C：和双曲线的焦距相同，且椭圆C经过点，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，动点P在椭圆C上且异于点A，B，直线AP，PB与直线l：x＝﹣4分别交于点M，N．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求线段MN的最小值；
（3）如图，设直线l：x＝﹣4与x轴交于点H，过点H作直线交椭圆与E，F，直线EB与FA交于一点Q，证明：点Q在一条定直线上．
21．（18分）记实数a、b中较小者为min{a，b}，例如min{1，2}＝1，min{1，1}＝1，对于无穷数列{an}，记hk＝min{a2k﹣1，a2k}．若对任意k∈N*均有hk＜hk+1，则称数列{an}为“趋向递增数列”．
（1）已知数列{an}、{bn}的通项公式分别为，判断数列{an}、{bn}是否为“趋向递增数列”？并说明理由；
（2）已知首项为1，公比为q的等比数列{cn}是“趋向递增数列”，求公比q的取值范围；
（3）若数列{dn}满足d1、d2为正实数，且dn＝|dn+2﹣dn+1|，求证：数列{dn}为“趋向递增数列”的必要非充分条件是{dn}中没有0．
2022-2023学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题。（本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．（4分）直线2x﹣my﹣3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点 （0，﹣3） ．
【分析】直线2x﹣my﹣3m＝0，即2x﹣m（y+3）＝0，列出方程组，即可求解．
【解答】解：直线2x﹣my﹣3m＝0，即2x﹣m（y+3）＝0，
令，解得，
故所有直线都通过定点（0，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）．
【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
2．（4分）已知直线l1：x+2y+3＝0，l2：x+ay+1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为 ．
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：直线l1：x+2y+3＝0，l2：x+ay+1＝0，l1⊥l2，
则1×1+2×a＝0，解得a．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
3．（4分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3+a4＝20，S5＝35，则{an}的公差为 6 ．
【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
【解答】解：等差数列{an}的公差设为d，
∵S5＝35，
∴5a3＝35，解得a3＝7，
∵a3+a4＝20，
∴a4＝13，
∴公差d＝a4﹣a3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想以及运算能力，属于基础题．
4．（4分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5：a3＝1：2，则S9：S5＝ ．
【分析】根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，即可求解．
【解答】解：依题意，数列{an}是等差数列，所以，
又a5：a3＝1：2，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差中项的性质，属于基础题．
5．（4分）直线l：2x﹣y+5＝0与圆O2：x2+（y﹣5）2＝18交于A，B两点，则|AB|＝ 6 ．
【分析】先求出圆心（0，5），可得圆心在直线l：2x﹣y+5＝0上，可得结论．
【解答】解：由圆O2：x2+（y﹣5）2＝18，可得圆心C（0，5），半径r＝3，
∵2×0﹣5+5＝0，
圆心C（0，5）在直线l：2x﹣y+5＝0上，
故|AB|＝2r＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查弦长的求法，属基础题．
6．（4分）数列{an}的首项a1＝2，且an+1＝4an+6（n为正整数），令bn＝lg2（an+2），则 2024 ．
【分析】由等差数列的前n项和公式，结合等比数列的通项公式的求法求解即可．
【解答】解：已知数列{an}的首项a1＝2，且an+1＝4an+6（n为正整数），
则an+1+2＝4（an+2），
又a1+2＝4，
则数列{an+2}是以4为首项，4为公比的等比数列，
即，
即，
即数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列，
即2024，
故答案为：2024．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，重点考查了等比数列的通项公式的求法，属基础题．
7．（5分）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：l：y＝2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为 ．
【分析】根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a、b、c的关系和条件列出方程求出a2、b2，代入双曲线的方程即可．
【解答】解：由题意得，，
解得a2＝5，b2＝20，
∴双曲线的方程是，
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及简单几何性质的应用，属于基础题．
8．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且{an}不是常数列，则以下命题正确的是 ①②③④ ．
①若数列{an}为等差数列，则为等比数列；
②若数列{an}为等差数列，Sn＞0恒成立，则{an}是严格增数列；
③若数列{an}为等比数列，则S2023•a2023＞0恒成立；
④若数列{an}为等差数列，a1＞0，S6＝S11，则Sn的最大值在n为8或9时取到．
【分析】利用等差数列、等比数列的性质，代入通项公式，求和公式即可判断．
【解答】解：①设{an}为等差数列的公差为d，则22d为常数，则为等比数列，正确；
②若数列{an}为等差数列，Sn＞0恒成立，则a1＞0，公差d＞0，故{an}为递增数列，故正确；
③若数列{an}为等比数列，设等比数列公比为q，则q≠1，
则S2023•a2023•a1•q2022＝a12•q2022•0恒成立，正确；
④若数列{an}为等差数列，S6＝S11，可得a7+a8+a9+a10+a11＝0，则5a9＝0，∴a9＝0，
又a1＞0，则d＜0，则Sn的最大值为S8＝S9，正确．
则正确的命题是：①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查等差数列、等比数列的性质，属于中档题．
9．（5分）已知圆C：（x+2）2+y2＝25上一动点M，点B（2，0），线段MB的中垂线交直线MC于点P（x，y）（x≥0），且点P到y轴的距离是|PB|﹣2，则|PB|＝ ．
【分析】根据椭圆、抛物线定义可知P是椭圆1与抛物线y2＝8x的交点，联立方程求P横坐标，结合已知即可求|PB|．
【解答】解：由P到y轴的距离是|PB|﹣2，即P到x＝﹣2与B（2，0）的距离相等，
∴P在抛物线y2＝8x上，
又线段MB的中垂线交直线MC于点P（x，y）（x≥0），即|MP|＝|PB|，
所以|MC|＝|MP|+|PC|＝|PC|+|PB|＝5，即P轨迹是以C，B为焦点，长轴长2a＝5的椭圆，轨迹方程为1，
综上，P是椭圆1与抛物线y2＝8x的交点，联立可得36x2+800x﹣225＝0，
解得x或x（舍），则|PB|2．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程及其应用等知识，属中档题．
10．（5分）数列{an}的通项公式为an＝[lg2n]（n为正整数），其中[x]表示不超过x的最大整数，则a1+a2+a3+…+a2023＝ 9×211﹣238 ．
【分析】由对数的运算，结合错位相减法求和求解即可．
【解答】解：数列{an}的通项公式为an＝[lg2n]（n为正整数），其中[x]表示不超过x的最大整数，
则当n＝1时，a1＝0，
当21≤n＜22﹣1时，an＝1，
当22≤n＜23﹣1时，an＝2，
依次类推，
当2k≤n＜2k+1﹣1时，an＝k，
又210≤2023＜211﹣1，
设数列{an}的前n项和为Sn，
则S2047＝a1+a2+a3+…+a2023+a2024+...+a2047＝0×20+1×21+2×22+...+10×210，①
则2...+10×211，②
②﹣①可得：，
即9×211+2，
又a2024＝a2025＝...＝a2047＝10，
则，
故答案为：9×211﹣238．
【点评】本题考查了对数的运算，重点考查了错位相减法求和，属中档题．
11．（5分）已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，△AF1F2与△BF1F2的内切圆圆心均在直线x＝a上，且r1r2≤3a2，则此双曲线离心率的取值范围为 （1，1] ．
【分析】设圆O1切AF1、AF2、F1F2分别于点M、N、G，推导出△O1GF2∽△O1F2O2，可得出，可得出关于c、a的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围．
【解答】解：设△AF1F2、△BF1F2的内切圆圆心分别为O1、O2，
设圆O1切AF1、AF2、F1F2分别于点M、N、G，
过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，
由切线长定理，可得|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1G|，|F2G|＝|F2N|，
∴|AF2|+|F1F2|﹣|AF1|＝（|AN|+|F2N|）+（|F1G|+|F2G|）﹣（|AM|+|F1M|）
＝|F2N|+|F2G|＝2|F2G|＝2c﹣2a，则|F2G|＝c﹣a，
∴点G的横坐标为c﹣（c﹣a）＝a．
故点O1的横坐标也为a，同理可知点O2的横坐标为a，故O1O2⊥x轴，
故圆O1和圆O2均与x轴相切于G（a，0），圆O1和圆O2两圆外切．
在△O1O2F2中，，O1O2⊥F2G，
∴∠GO1F2＝∠F2O1O2，∠O1GF2＝∠O1F2O2＝90°，∴△O1GF2∽△O1F2O2，
∴，则，
∴，
即（c﹣a）2＝r1•r2，∴（c﹣a）2≤3a2，可得c﹣aa，
可得c≤（1）a，则a＜c≤（1）a，因此e∈（1，1]．
故答案为：（1，1]．
【点评】本题考查了双曲线的性质，考查了转化思想和数形结合思想，属中档题．
12．（5分）已知集合A＝{x|x＝2n﹣1，n为正整数}，B＝{x|x＝2n，n为正整数}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn＞16an+1成立的n的最小值为 36 ．
【分析】先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值
【解答】解：设数列{an}中的第n项为，则Sn＝[（2×1﹣1）+（2×2﹣1）+（2×3﹣1）+…+（2×2k﹣1﹣1）]+（2+22+…+2k）

＝22k﹣2+2k+1﹣2，
由Sn＞16an+1得22k﹣2+2k+1﹣2＞16（2k+1）⇒（2k﹣1）2﹣28•2k﹣1﹣18＞0．
⇒2k﹣1≥25，∴k≥6，
所以只需研究25是否有满足条件的解，
此时Sn＝（2×1﹣1）+（2×2﹣1）+…+（2m﹣1）+（2+22+…+25）＝m2+26﹣2，
此时an+1＝2m+1，m为等差数列项数，且m＞16，
由m2+26﹣2＞16（2m+1）得：m2﹣32m+46＞0，
∴m≥31，n＝m+5≥36．
故满足条件的n最小值为36．
【点评】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和．分组转化法求和的常见类型主要有分段型，符号型，周期型，属于难题．
二、选择题。（本大题共4题，每题5分，满分20分）
13．（5分）无穷等比数列4，﹣2，1，，…的各项和为（ ）
A．B．C．7D．
【分析】先求出等比数列的首项与公比，再结合无穷等比数列的前n项和公式，即可求解．
【解答】解：等比数列4，﹣2，1，，…，
则首项为4，公比为，
故无穷等比数列4，﹣2，1，，…的各项和为．
故选：A．
【点评】本题主要考查无穷等比数列的前n项和公式，属于基础题．
14．（5分）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可．
【解答】解：{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，
若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立，
例如：当首项为2，q时，各项为2，﹣1，，，…，此时2+（﹣1）＝1＞0，（）0；
而“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”，
则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件，
故选：C．
【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
15．（5分）若圆C1：x2+y2+2ax+a2﹣4＝0（a∈R）与圆C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝0（b∈R）恰有三条切线，则a+b的最大值为（ ）
A．﹣3B．﹣3C．3D．3
【分析】由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由3，得到a2+b2＝9，故满足条件的点（a，b）在以原点为圆心，以3为半径的圆上，
法一：令a+b＝t，利用线性规划求出t的最大值；
法二、可令a＝3csα，b＝3sinα（0≤α＜2π），运用两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求最大值．
【解答】解：由题意可得，两圆相外切，
两圆的标准方程分别为（x+a）2+y2＝4，x2+（y﹣b）2＝1，
圆心分别为（﹣a，0），（0，b），半径分别为2和1，
故有3，∴a2+b2＝9，
故满足条件的点（a，b）在以原点为圆心，以3为半径的圆上．
法一、令a+b＝t，利用线性规划求出t的最大值．
如图：可行域为圆a2+b2＝9，t＝a+b为目标函数，
点A（，）和点B（，）为最优解，
故B（，）使a+b＝t 取得最大值为3．
法二、令a＝3csα，b＝3sinα（0≤α＜2π），
则a+b＝3csα+3sinα＝3sin（α），
当sin（α）＝1，即α时，可得a+b的最大值为3．
故选：D．
【点评】本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的性质，圆的标准方程的特征，简单的线性规划的应用，体现了数形结合与转化的数学思想，属于中档题．
16．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＞0，公差d＜0，若对任意的正整数n，总存在正整数k，使S2k﹣1＝（2k﹣1）Sn，则k﹣4n的最小值为（ ）
A．﹣74B．﹣8C．﹣53D．﹣13
【分析】首先根据等差数列的前n项和公式得ak＝Sn，令n＝2，化简得到k﹣2，由k∈N*，得k＝1，d＝﹣a1，再利用等差数列前n项和公式得到k﹣4n[（n）2]，利用二次函数的性质能求出结果．
【解答】解：由题意得（2k﹣1）Sn，
则（2k﹣1）Sn，即ak＝Sn，
令n＝2，得ak＝S2，即a1+（k﹣1）d＝2a1+d，①
即k﹣2，
∵a1＞0，d＜0，∴k﹣20，即k＜2，
∵k∈N*，∴k＝1，代入①，得d＝﹣a1，
当d＝﹣a1时，ak＝Sn，
∴a1﹣（k﹣1）a1，
即k，∴，
∴k﹣4n[（n）2]，
∴当n＝5或n＝6时，k﹣9n的最小值为﹣13．
故选：D．
【点评】本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题。（本大题共5题，满分76分）
17．（14分）已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，
（1）求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线y＝﹣2x+4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．
【分析】（1）求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可．
（2）通过题意解出OC的方程，解出t 的值，直线y＝﹣2x+4与圆C交于点M，N，判断t是否符合要求，可得圆的方程．
【解答】解：（1）∵圆C过原点O，
∴，
设圆C的方程是，
令x＝0，得，
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
∴，
即：△OAB的面积为定值；
（2）∵OM＝ON，CM＝CN，
∴OC垂直平分线段MN，
∵kMN＝﹣2，∴，
∴直线OC的方程是，
∴，解得：t＝2或t＝﹣2，
当t＝2时，圆心C的坐标为（2，1），，
此时C到直线y＝﹣2x+4的距离，
圆C与直线y＝﹣2x+4相交于两点，
当t＝﹣2时，圆心C的坐标为（﹣2，﹣1），，
此时C到直线y＝﹣2x+4的距离，
圆C与直线y＝﹣2x+4不相交，
∴t＝﹣2不符合题意舍去，
∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程等有关知识，是中档题．
18．（14分）已知数列{an}为等差数列，a1+a2＝﹣2，a4+a5＝4，数列{bn}中，点（bn，Tn）在直线上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．
（1）求数列{an}、数列{bn}的通项公式；
（2）若cn＝an•bn，求数列{cn}的最大项．
【分析】（1）根据题意，设等差数列{an}公差为d，由等差数列的性质可得（a4+a5）﹣（a1+a2）＝6d＝6，解可得d＝1，进而求出a1，由等差数列的通项公式可得数列{an}的通项公式，点（bn，Tn）在直线上，则有Tnbn+1，由此分析可得Tn﹣1bn﹣1+1，两式相减可得bnbn﹣1，于Tnbn+1，令n＝1可得：b1的值，由等比数列的通项公式可得数列{bn}的通项公式；
（2）根据题意，求出{cn}的通项公式，分析cn+1﹣cn的表达式以及符号，据此分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设等差数列{an}公差为d，
由于a1+a2＝﹣2，a4+a5＝4，则（a4+a5）﹣（a1+a2）＝6d＝6，解可得d＝1，
又由a1+a2＝﹣2，则a1，
故an＝（）+n﹣1＝n；
数列{bn}中，点（bn，Tn）在直线上，则有Tnbn+1，①，
由此可得：Tn﹣1bn﹣1+1，②，
①﹣②，变形可得：bnbn﹣1，
对于Tnbn+1，令n＝1可得：b1b2+1，解可得b1，
则数列{bn}为首项为，公比为的等比数列，故bn（）n﹣1，
（2）若cn＝an•bn，则cn＝（n），
则cn+1﹣cn，
故有c1＜c2＜c3＝c4＞c5＞c6＞……，
数列{cn}的最大项为c3＝c4．
【点评】本题考查数列与函数的关系，涉及数列通项公式的求法，属于中档题．
19．（14分）某地区森林原有木材存量为a，且每年增长率为20%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材的存量．
（1）求an的表达式；
（2）如果，为保护生态环境，经过多少年后，木材存储量能翻一番？
【分析】（1）要求出an的表达式，列出前几项观察规律，从而推出an的表达式；
（2）只需代入，化简后的指数式转化利用对数的运算即可．
【解答】解：（1）设第一年的森林的木材存量为a1，第n年后的森林的木材存量为an，
则a1＝a（1+0.2）﹣b＝1.2a﹣b，a2＝1.2a1﹣b＝1.2a2﹣（1.2+1）b，
a3＝1.2a2﹣b＝1.23a﹣（1.22+1.2+1）b，…，
an＝1.2na﹣（1.2n﹣1+1.2n﹣2+…+1）b＝1.2nab＝1.2na﹣5（1.2n﹣1）b，（n∈N*）．
（2）当时，由题设可得1.2na﹣5（1.2n﹣1）•a＝2a，
lg3≈0.5，lg2≈0.3，则有1.2n＝2.5，nlg1.2＝lg2.5，n4，
经过4年后木材存储量能翻一番．
【点评】本题考查递推数列，函数思想，考查对数的运算，属于中档题．
20．（16分）已知椭圆C：和双曲线的焦距相同，且椭圆C经过点，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，动点P在椭圆C上且异于点A，B，直线AP，PB与直线l：x＝﹣4分别交于点M，N．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求线段MN的最小值；
（3）如图，设直线l：x＝﹣4与x轴交于点H，过点H作直线交椭圆与E，F，直线EB与FA交于一点Q，证明：点Q在一条定直线上．
【分析】（1）由双曲线的方程及题意可得c的值，将点的坐标代入椭圆的方程，可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系，可得a，b的值，即求出椭圆C的标准方程；
（2）设P的坐标，求出直线AP的方程，令x＝﹣4可得M的纵坐标，同理可得N的纵坐标，求出|MN|的表达式换元，由二次函数的性质可得|MN|的最小值；
（3）设直线l的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线EB，FA的方程，联立两个方程，可证得两直线的交点Q在定直线上．
【解答】解：（1）由双曲线的方程可得焦距22，
由题意可得c及，解得a＝2，b＝1，
所以椭圆C的标准方程为：y2＝1；
（2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0），x0≠±2，则y02＝1；
由题意可得直线AP，BP的斜率存在且不为0，设直线AP的方程为xy﹣2，令x＝﹣4，可得yM'
设直线BP的方程为xx+2，令x＝﹣4，可得yN，
可得|MN|＝||＝||＝||，
令t＝2x0+5∈（1，9），则x0，
所以|MN|＝||，
因为∈（，1），所以当时，|MN|min；
（3）证明：显然直线l的斜率存在且不为0，H（﹣4，0），设直线l的方程为x＝my﹣4，设E（x1，y1），F（x2，y2），
联立，整理可得：（4+m2）y2﹣8my+12＝0，
Δ＝64m2﹣48（4+m2）＞0，可得m2＞12，且y1+y2，y1y2，
可得，
直线EB的方程为：xy+2，
直线FA的方程为：xy﹣2，
联立，可得y，
所以xy+2•2＝﹣1，
可得直线FA，EB的交点Q的横坐标为﹣1，即证明Q点在定直线x＝﹣1上．
【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，两直线的交点在定直线上的证明方法，属于中档题．
21．（18分）记实数a、b中较小者为min{a，b}，例如min{1，2}＝1，min{1，1}＝1，对于无穷数列{an}，记hk＝min{a2k﹣1，a2k}．若对任意k∈N*均有hk＜hk+1，则称数列{an}为“趋向递增数列”．
（1）已知数列{an}、{bn}的通项公式分别为，判断数列{an}、{bn}是否为“趋向递增数列”？并说明理由；
（2）已知首项为1，公比为q的等比数列{cn}是“趋向递增数列”，求公比q的取值范围；
（3）若数列{dn}满足d1、d2为正实数，且dn＝|dn+2﹣dn+1|，求证：数列{dn}为“趋向递增数列”的必要非充分条件是{dn}中没有0．
【分析】（1）利用定义趋向递增数列判断数列{an}、{bn}，可得出结论；
（2）求得，分q＞1、q＝1、0＜q＜1、﹣1＜q＜0、q＝﹣1、q＜﹣1六种情况讨论，验证hk＜hk+1能否恒成立，综合可得出q的取值范围；
（3）利用充分条件、必要条件的定义，利用反证法结合趋向递增数列的性质证明数列{dn}中没有0，再证明出数列{dn}中没有0时数列{dn}不是趋势递增数列．
【解答】（1）解：由于，记，
所以，
，
由于h2＞h3，不满足对任意k∈N*均有hk＜hk+1，
所以数列{an}不是趋向递增数列，
由于，记，
所以，
数列{bn}是趋向递增数列．
（2）解：．
当q＞1时，数列{cn}为单调递增数列，此时hk＝min{c2k﹣1，c2k}＝c2k﹣1＜c2k+1＝hk+1，满足题意，
当q＝1时，数列{cn}为常数列，不满足题意；
当0＜q＜1时，数列{cn}为单调递减数列，此时hk＝min{c2k﹣1，c2k}＝c2k＞c2k+2＝hk+1，不满足题意；
当﹣1＜q＜0时，此时hk＝min{c2k﹣1，c2k}＝c2k＜c2k+2＝hk+1，满足题意；
当q＝﹣1时，此时hk＝min{c2k﹣1，c2k}＝﹣1＝hk+1，不满足题意；
当q＜﹣1时，此时hk＝min{c2k﹣1，c2k}＝c2k＞c2k+2＝hk+1，不满足题意，
综上所述，q的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．
（3）证明：先证必要性：假设存在正整数m（m≥3）使得dm＝0，dm＝|dm+2﹣dm+1|＝0，
令dm+1＝dm+2＝a．
因为d1、d2为正实数，且dn＝|dn+2﹣dn+1|，所以dn≥0，于是a≥0．
则数列{dn}从第m项开始为：0、a、a、0、a、a、⋯．
若m为奇数，，，
与数列{dn}为趋向递增数列矛盾：
若m为偶数，，，
与数列{dn}为趋向递增数列矛盾，
故假设不成立，所以数列{dn}为趋向递增数列的必要条件是{dn}中没有0；
再证非充分：
首先，若{dn}中没有0，构造数列{dn}：d1＝1，d2＝10，d3＝11，d4＝1，此时h1＝h2，
d2k+1＝d2k+d2k﹣1，d2k+2＝d2k+1﹣d2k，与趋向递增数列定义矛盾；
其次，证明数列{dn}中各项均大于0．
下面利用数学归纳法证明．即证：d2n﹣1＞0，d2n＞0
①当n＝1时，d1＝1＞0，d2＝10＞0；
②假设当n＝k时，命题成立，即d2k﹣1＞0，d2k＞0．
当n＝k+1时，d2n﹣1＝d2k+1＝d2k+d2k﹣1＞0，d2n＝d2k+2＝d2k+1﹣d2k＝d2k+d2k﹣1﹣d2k＝d2k﹣1＞0．
因此，有对任意n∈N*，均有dn＞0．
当n为偶数时，dn＝dn+1﹣dn+2＞0；
当n为奇数时，dn＝dn+2﹣dn+1＞0，
所以dn＝|dn+2﹣dn+1|＞0对任意n∈N*均成立．
因此，{dn}中没有0是数列{dn}为趋向递增数列非充分条件．
所以数列{dn}为趋向递增数列的必要非充分条件是{dn}中没有0．
【点评】本题主要考查数列中的新定义，数列中的递推关系式，充分条件与必要条件的判定等知识，属于中等题．
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