2022-2023学年山东省滨州市无棣县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省滨州市无棣县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2017年6月北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. a+a2=a3B. (a3)4=a12C. a2⋅a3=a6D. (3a2)3=9a6
3.下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是( )
A. 16x2+1B. x2−2x−1C. x2−1D. x2−2x+1
4.如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是( )
A. SSSB. ASAC. SASD. AAS
5.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1440°，那么该多边形的一个外角是( )
A. 30°B. 36°C. 60°D. 72°
6.化简−m+2nm2−4n2的结果是( )
A. 1m+nB. −1m+nC. −1m+2nD. −1m−2n
7.已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边的中线长x的取值范围是( )
A. 18.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
9.照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f=1u+1v(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离．已知f，v，则u=( )
A. fvf−vB. f−vfvC. fvv−fD. v−ffv
10.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N.CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中：①∠AMD=45°；②BN=MC；③NE−EM=MC；④DN=DE.正确的是( )
A. ①②③④B. ①②③C. ②③④D. ①②④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：x2−9= ．
12.在一次综合复习能力检测中，爱国同学的填空题的答卷情况如下，他的得分应是______ 分.
13.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交于BC于点D，交AB于点E，若△ADC的周长为8，AE=3，则△ABC的周长为______ ．
14.已知多项式2x3−4x2−1除以多项式A，得商式为2x，余式为x−1，则多项式为______ ．
15.如图，在长方形ABCD中，AD=5，将长方形沿BD折叠，点A落在点E处，DE与BC交于点F，且BF=3，则EF的长为______ ．
16.已知有理数a≠1，我们把1a−1称为a的差倒数，如：2的差倒数是12−1=1；−1的差倒数是1−1−1=−12，如果m的差倒数正好是m，那么m2+1m2的值是______ ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)(2a)3⋅b4÷12a2b×(ab2)−2；
(2)(x−y)(x2+xy+y2)+(x+y)(x2−xy+y2).
18.(本小题8分)
(1)计算：ab32c2÷−5a2b24cd×3a2bcd
(2)如图，在△ABC中，∠C=100°，外角∠EAB，∠ABF的平分线AD、BD相交于点D，求∠D的度数．
19.(本小题8分)
(1)解方程：xx−1=32x−2−1；
(2)如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.求证：AB+AD=2AF．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=34°，∠C=42°．
(1)尺规作图：
①作AB边的垂直平分线交BC于点D，交AB于点F；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图中求∠CAE的度数．
21.(本小题8分)
(1)某学校准备在一块长为4a+3b米，宽为3a+2b米的长方形空地上修建一块长为2a+3b米，宽为6a−b米的长方形草地，四周铺设地砖(阴影部分)，求铺设地砖的面积(用含a，b的式子表示，结果化为最简)．
(2)已知a+b=7，(a−2)(b−2)=2.求a2−3ab+b2的值．
22.(本小题8分)
王老师在黑板上写了一道题目，计算：1−x−yx+2y÷x2−y2x2+4xy+4y2.爱民同学做得最快，立刻拿给王老师看(如图)，王老师看完摇了摇头，让爱民同学回去认真检查.请你仔细阅读爱民同学的计算过程，帮助爱民同学改正错误．
(1)上述计算过程中，哪一步开始出现错误？______ ；(用序号表示)
(2)从①到②是否正确？______ ；(填“是”或“否”)若不正确，错误的原因是______ ；
(3)请你写出此题完整正确的解答过程.并求出当x=(12)−1+(2023−π)0,y=2时的值．
23.(本小题8分)
阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c(a≠0)变形为a(x+m)2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：x2−9x+14=x2−9x+(92)2−(92)2+14
=(x−92)2−254
=(x−92+52)−(x−92−52)
=(x−7)(x−2)
根据以上材料，解答下列问题：
(1)用多项式的配方法将x2+2x−1化成(x+m)2+n的形式；
(2)下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式x2−5x−24进行分解因式的解答过程，老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用横线标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：
(3)求证：x，y取任何实数时，多项式x2−2y+y2−4x+14的值总为正数．
24.(本小题8分)
2022年4月16日上午，神舟十三号载人飞船返回舱安全降落，三名航天员翟志刚、王亚平和叶光富顺利返回地球，亿万观众通过直播见证了“太空出差三人组”平安重回祖国的激动时刻.适逢4月23日又是“世界读书日”，我县某中学为创建书香校园，去年进一批图书.经了解，科普书的单价比文学书的单价多5元，用2000元购进的科普书与1500元购进的文学书本数相等．
(1)求去年购进的文学书和科普书的单价各是多少元？
(2)若今年文学书和科普书的单价与去年相比保持不变，该校打算用3100元再购进一批文学书和科普书，问购进科普书90本后至多还能购进多少本文学书？
25.(本小题8分)
如图，△ABC是等边三角形，BC=12，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A、C不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
(1)证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；
(2)当∠BDQ=30°时，求AP的长；
(3)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，本选项错误；
B、不是轴对称图形，本选项错误；
C、不是轴对称图形，本选项错误；
D、是轴对称图形，本选项正确．
故选：D．
根据轴对称图形的概念求解即可．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：A、a+a2≠a3，本选项不符合题意；
B、(a3)4=a12，本选项符合题意；
C、a2⋅a3=a5≠a6，本选项不符合题意；
D、(3a2)3=27a6≠9a6，本选项不符合题意；
故选：B．
根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方，逐项判断即可求解．
本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：16x2+1不能因式分解，故A不符合题意；
x2−2x−1不是完全平方公式的形式，故B不符合题意；
x2−1=(x+1)(x−1)，用平方差公式因式分解，故C不符合题意；
x2−2x+1=(x−1)2，用完全平方公式因式分解，故D符合题意；
故选：D．
根据a2±2ab+b2=(a±b)2，结合选项进行判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查全等三角形的判定，理解并掌握三角形全等的判定定理是解决本题关键．根据原来已经有两条边相等，垂下的射线是两个三角形的公共边，三边分别对应相等即可判定两三角形全等．
【解答】在△ADC和△ABC中
∵ AD=ABDC=BCAC=AC
所以△ADC≌△ABC(SSS)
故选A．
5.【答案】B
【解析】解：设这个多边形为n边形，
由题意得，180°⋅(n−2)=1440°，
∴n=10，
∵360°10=36°，
∴该多边形的一个外角是36°，
故选：B．
设这个多边形为n边形，根据多边形内角和公式联立方程求出n的值，再根据多边形外角和为360度即可得到答案．
本题主要考查了多边形的内角和和外角和，熟知多边形内角和公式是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：原式=−(m−2n)(m+2n)(m−2n)=−1m+2n．
故选：C．
先把分式的分子和分母进行因式分解，然后约分即可．
本题考查了分式的化简，掌握约分以及因式分解的知识是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图，AB=3，AC=5，AD为△ACB的中线，则：BD=CD，
倍长AD至点E，连接CE，则：AD=DE=12AE，
∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE=AB=3，
在△ACE中，AC−CE∴1故选：C．
如图，倍长AD至点E，连接CE，证明△ABD≌△ECD，得到CE=AB，利用三角形的三边关系，求出AE的取值范围，进而求出AD的取值范围，即可得出结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题；
【解答】
解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°，
故选：C．
9.【答案】C
【解析】解：1f=1u+1v(v≠f)，
1f=1u+1v，
1u=1f−1v，
1u=v−ffv，
u=fvv−f．
故选：C．
利用分式的基本性质，把等式1f=1u+1v(v≠f)恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
10.【答案】B
【解析】解：①②∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴BD=CD，
∵BM⊥AC，
∴∠AMB=∠ADC=90°，
∴∠A+∠DBN=90°，∠A+∠DCM=90°，
∴∠DBN=∠DCM，
∵DN⊥MD，
∴∠CDM+∠CDN=90°，
∵∠CDN+∠BDN=90°，
∴∠CDM=∠BDN，
∴△BDN≌△CDM(ASA)，
∴DN=DM，BN=MC，
∵∠MDN=90°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴∠DMN=45°，
∴∠AMD=90°−45°=45°，
故①②正确；
③如图1，由①知，DN=DM，
过点D作DF⊥MN于点F，则∠DFE=90°=∠CME，
∵DN⊥MD，
∴DF=FN，
∵点E是CD的中点，
∴DE=CE，
在△DEF和△CEM中，
∠DEF=∠CEM∠DFE=∠CMEDE=CE，
∴△DEF≌△CEM(AAS)，
∴ME=EF，CM=DF，
∴FN=CM，
∵NE−EF=FN，
∴NE−EM=MC，
故③正确；
④∵DM=DN，DN⊥NM，
∴∠DNM=∠DMN=45°，
∵∠DEN=NMN+∠MDE=45°+∠MDE，
∴∠DEN>∠DNM，
∴DE≠DN，
故④不正确；
综上：正确的有①②③，
故选：B．
利用ASA证明△BDN≌△CDM，再证明△DMN是等腰直角三角形，即可判断结论①②正确；过点D作DF⊥MN于点F，则∠DFE=90°=∠CME，可利用AAS证明△DEF≌△CEM，即可判断结论③正确；根据等腰直角三角形的性质可得∠DNM=∠DMN=45°，再根据三角形的外角定理可得∠DEN=NMN+∠MDE，则∠DEN>∠DNM，即可判断④．
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
11.【答案】(x+3)(x−3)
【解析】解：原式=(x+3)(x−3)，
故答案为：(x+3)(x−3)．
【分析】本题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式的特点是解本题的关键．
原式利用平方差公式分解即可．
12.【答案】6
【解析】解：1、0.0000077用科学记数法表示为7.7×10−6，正确；
2、生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架．这是利用三角形的稳定性，原说法错误；
3、已知等腰三角形的一边长等于3，一边长等于6，则它的周长是15，正确；
4、△ABC的面积为8，AD是中线，所以△ABD的面积是4，所以12×AB×DE=4，因为AB=4，所以DE=2，故正确；
5、根据分式有意义的条件可知，3x+2≠0，所以x≠−23，故原说法错误．
根据用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法即可判断1；根据三角形具有稳定性，即可判断2；根据等腰三角形的性质和三角形三边之间个关系，即可判断3；根据三角形中线的性质和面积公式，即可判断4；根据分式有意义的条件即可判断5．
本题考查等腰三角形的性质，科学记数法，三角形的三边关系，正确记忆相关知识点是解题关键．
13.【答案】14
【解析】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，AB=2AE=2×3=6，
∵△ADC的周长为8，
∴AD+CD+AC
=BD+CD+AC
=BC+AC
=8，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=14．
由线段垂直平分线的性质得AD=BD，AB=2AE=6，然后根据△ADC的周长为8求解即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键．
14.【答案】x2−2x−12
【解析】解：根据题意得：
2x3−4x2−11÷A=2x…x−1，
∴A=[2x3−4x2−1−(x−1)]÷2x，
A=x2−2x−12．
故答案为：x2−2x−12．
本题需先根据已知条件，列出式子，再根据整式的除法法则及运算顺序即可求出结果．
本题主要考查了整式的除法，在解题时要根据整式的除法法则即运算顺序是本题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：在长方形ABCD中，AD=BC=5，AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BF=3，
∴CF=BC−BF=2，
由折叠的性质得：AD=DE=5，∠ADB=∠BDF，
∴∠CBD=∠BDF，
∴BF=DF=3，
∴EF=DE−DF=2．
故答案为：2
根据长方形的性质可得∠ADB=∠CBD，从而得到CF=BC−BF=2，再由折叠的性质得：AD=DE=5，∠ADB=∠BDF，从而得到∠CBD=∠BDF，进而得到BF=DF=3，即可求解．
本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，图形的折叠，熟练掌握等腰三角形的判定，平行线的性质，图形的折叠的性质是解题的关键．
16.【答案】3
【解析】解：∵m的差倒数正好是m，
∴1m−1=m，
∴m2−m=1，
∴m2=m+1，
∴(m2)2=(m+1)2=m2+2m+1=m+1+2m+1=3m+2，
∴m2+1m2=(m2)2+1m2=3m+2+1m+1=3(m+1)m+1=3，
故答案为：3．
由m的差倒数正好是m得到m2=m+1，求得(m2)2=3m+2，整体代入m2+1m2，计算整理后即可得到答案．
本题考查倒数，分式的化简求值、完全平方公式等知识，整体代入是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(2a)3⋅b4÷12a2b×(ab2)−2
=8a3b4×112a2b×1a2b4
=23ab；
(2)(x−y)(x2+xy+y2)+(x+y)(x2−xy+y2)
=x3+x2y+xy2−x2y−xy2−y3+x3−x2y+xy2+x2y−xy2+y3=x3−y3+x3+y3
=2x3．
【解析】(1)分别根据积的乘方和负整数指数幂的运算法则、单项式乘单项式运算法则、单项式除以单项式运算法则求解即可；
(2)利用多项式乘以多项式运算法则和整式加减运算法则求解即可．
本题考查积的乘方、负指数幂的乘方、整式的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解答的关键．
18.【答案】解：(1)原式=ab32c2×(4cd−5a2b2)×3a2bcd=−6ab25c2；
(2)根据三角形的外角性质，∠EAB=∠ABC+∠C，∠ABF=∠BAC+∠C，
∵AD、BD分别是∠EAB，∠ABF的平分线，
∴∠DAB+∠DBA=12(∠ABC+∠C+∠BAC+∠C)=12(∠ABC+∠BAC)+∠C，
∵∠C=100°，
∴∠ABC+∠BAC=180°−100°=80°，
∴∠DAB+∠DBA=12×80°+100°=140°，
在△ABD中，∠D=180°−140°=40°．
【解析】(1)利用分式的乘除法则进行计算即可；
(2)根据三角形的外角的性质，角平分线的定义得到∠DAB+∠DBA=12(∠ABC+∠C+∠BAC+∠C)=12(∠ABC+∠BAC)+∠C，根据三角形的内角和为180°，得到，∠ABC+∠BAC=180°−100°=80°，进而求出∠DAB+∠DBA，再利用三角形的内角和定理，即可得解．
本题考查分式的乘除混合运算，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质．熟练掌握分式乘除的运算法则，以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．
19.【答案】(1)解：方程两边同乘以2(x−1)，得：2x=3−(2x−2)，
去括号，得：2x=3−2x+2，
移项，得2x+2x=5，
解得：x=54，
检验：当x=54，2(x−1)≠0．
所以，原分式方程的解是x=54．
(2)证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
BC=DCCE=CF，
∴△RtBCE≌Rt△DCF(HL)；
∴BE=DF．
∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，
AC=ACCE=CF，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC(HL)，
∴AF=AE，
∴AB+AD=(AE+BE)+(AF−DF)=AE+BE+AF−DF=2AE=2AF．
【解析】(1)按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1，检验，的步骤进行求解即可；
(2)根据角平分线段性质可得CE=CF，∠F=∠CEB=90°，通过证明△RtBCE≌Rt△DCF(HL)，Rt△FAC≌Rt△EAC(HL)，即可得出BE=DF，AF=AE，即可求证．
本题主要考查了解分式方程，角平分线性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，以及角平分线上的点到两边距离相等．
20.【答案】解：(1)①分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，交于两点，连接两点的直线交交BC于点D，交AB于点F，如图1所示，DF即为所求；

②以A为圆心，任意长为半径画弧，交AD，AC于两点，以这两点为圆心，画弧，交于一点，连接点A与两弧的交点，交BC于点E，如图2所示，AE即为所求；

(2)∵DF垂直平分线段AB，
∴DB=DA，(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)，
∴∠DAB=∠B，(等边对等角)，
∵∠B=34°，
∴∠DAB=34°，
∵∠C=42°，
∴∠BAC=180°−∠C−∠B=104°，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=70°，
又∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=12∠CAD=35°．
【解析】(1)①根据垂线的尺规作图方法，进行作图即可；
②根据角平分线的尺规作图的方法，进行作图即可；
(2)根据中垂线的性质，推出∠DAB=∠B，根据三角形的内角和定理，求出∠BAC=104°，从而得到∠CAD=∠BAC−∠BAD=70°，利用角平分线平分角，即可得解．
本题考查作图−复杂作图，线段垂直平分线的性质，以及中垂线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握基本作图的方法，以及中垂线的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)根据题意得：(4a+3b)(3a+2b)−(2a+3b)(6a−b)
=12a2+8ab+9ab+6b2−(12a2−2ab+18ab−3b2)
=12a2+8ab+9ab+6b2−12a2+2ab−18ab+3b2
=(ab+9b2)平方米，
所以，铺设地砖的面积为(ab+9b2)平方米；
(2)∵a+b=7，
(a−2)(b−2)=2，
∴(a−2)(b−2)=ab−2a−2b+4=ab−2(a+b)+4，
∴ab−2×7+4=2，
∴ab=12；
∴a2−3ab+b2=a2+2ab+b2−5ab=(a+b)2−5ab=72−5×12=−11．
【解析】(1)首先根据题意和图形即可列出代数式，再进行整式的混合运算，即可求解；
(2)首先由a+b=7，(a−2)(b−2)=2可得ab=12，再把a2−3ab+b2变形，代入数值，即可求得结果．
本题考查了列代数式，整式的混合运算，代数式求值问题，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
22.【答案】① 否 错用去括号法则
【解析】解：(1)根据分式的运算顺序，应该先算除法，爱民同学第①步先算的减法，∴从第①步开始出现错误；
故答案为：①；
(2)在去括号时，括号前面是“−”号，括号里面的每一项都要变号，爱民同学括号里的第二项没有变号，出现错误，
∴从①到②不正确，错用去括号法则；
故答案为：否，错用去括号法则；
(3)原式=1−x−yx+2y×(x+2y)2(x+y)(x−y)=1−x+2yx+y=x+yx+y−x+2yx+y=x+y−x−2yx+y=−yx+y；
∵x=(12)−1+(2023−π)0=2+1=3,y=2，
∴原式=−23+2=−25．
(1)根据运算顺序，先算除法可知，第①步开始出现错误；
(2)去括号时，出现错误；
(3)按照分式的运算法则和运算顺序，进行计算，根据负整数指数幂和零指数幂的法则，求出x的值，将x，y的值代入化简后的式子中，进行计算求值即可．
本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则和运算顺序，零指数幂，负整数指数幂的法则，是解题的关键．
23.【答案】(1)解：x2+2x−1
=x2+2x+12−12−1
=(x+1)2−2；
(2)解：如图所示：
正确的解答过程：
x2−5x−24=x2−5x+(52)2−(52)2−24
=(x−52)2−1214
=(x−52+112)(x−52−112)
=(x+3)(x−8)；
(3)证明：x2−2y+y2−4x+7
=(x2−4x+4)+(y2−2y+1)+2
=(x−2)2+(y−1)2+2≥2，
故x，y取任何实数时，多项式x2−2y+y2−4x+7的值总为正数．
【解析】(1)根据配方法，可得答案；
(2)根据配方法，可得平方差公式，再根据平方差公式，可得答案；
(3)根据交换律、结合律，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
本题考查了综合运用公式法分解因式，利用完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2配方是解题关键．
24.【答案】解：(1)设文学书的单价是x元，则科普书的单价是(x+5)元，
根据题意，得2000x+5=1500x，
解得x=15．
经检验：x=15是原分式方程的解，
∴x+5=20．
答：文学书的单价是15元，科普书的单价是20元．
(2)设购进科普书90本后还能购进y本文学书，则20×90+15y≤3100，
解得：y≤8623，
∵y为整数，
∴y最大是86，
答：购进科普书90本后至多还能购进86本文学书．
【解析】(1)设文学书的单价是x元，则科普书的单价是(x+5)元，再根据用2000元购进的科普书与1500元购进的文学书本数相等列出方程求解即可；
(2)设购进科普书90本后还能购进y本文学书，根据购买的科普书和文学书的花费不能超过3100元建立不等式求解即可．
本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程，找到不等关系建立不等式是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：过P作PF//QC交AB于F，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵PF/​/BC，
∴∠AFP=∠B，∠APF=∠ACB，∠DQB=∠DPF，
∴∠AFP=∠APF=∠FAP=60°，
∴△AFP是等边三角形，
∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ=AP，
∴BQ=PF，
在△DBQ和△DFP中，
∠DQB=∠DPF∠QDB=∠PDFBQ=PF，
∴△DBQ≌△DFP(AAS)，
∴DQ=DP；
即点D是线段PQ的中点；
(2)解：∵△DBQ≌△DFP，
∴BD=DF，
∵∠DBC=∠BQD+∠BDQ=60°，∠BDQ=30°，
∴∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30°，
∴BQ=BD，DF=PF，
根据解析(1)可知，AF=PF=AP，
∴BD=DF=AF，
∵BD+DF+AF=AB，
∴BD=DF=AF=13AB=13BC=4，
∴AP=AF=4；
(3)解：DE的长不变，DE=6；
由(2)知BD=DF，
∵△AFP是等边三角形，PE⊥AB，
∴AE=EF，
∴DE=DF+EF=12BF+12FA=12AB=6，
∴DE的长不变．
【解析】(1)过P作PF//QC交AB于F，先说明PF=QB，再证明△DBQ≌△DFP(AAS)，即可证明结论；
(2)先证明BD=DF，∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30°，得出BQ=BD，DF=PF，即可得出BD=DF=AF=13AB=13BC=4；
(3)根据等边三角形的性质，得出AE=EF，根据DE=DF+EF得出DE=6．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明△DBQ≌△DFP．姓名：爱国得分
填空题：每题2分，共10分．
1.人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将数0.0000077用科学记数法表示为(7.7×10−6
).
2.生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架.这是利用三角形的(全等性)．
3.已知等腰三角形的一边长等于3，一边长等于6，则它的周长是(15)．
4.在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB，△ABC的面积为8，AB=4，则DE的长为(2)．
5.若分式x3x+2有意义，则x的取值范围是(x≠0)．
解：x2−5x−24
=x2−5x+52−52−24
=(x−5)2−25−24
=(x−5+7)(x−5−7)
=(x+2)(x−12)
解：x2−5x−24
=−x2−5x+52−52−24
=(x−5)2−25−24
=(x−5+7)(x−5−7)
=(x+2)(x−12)