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2023-2024学年福建省福州市八县市一中高二上学期11月期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年福建省福州市八县市一中高二上学期11月期中数学试题含答案，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线，则直线在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据截距定义，或化为斜截式方程可得.
【详解】方法一：令，得，即，
所以直线在轴上的截距为.
方法二：将方程化为斜截式得，
所以直线在轴上的截距为.
故选：B
2．圆 与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断.
【详解】圆，圆心，半径，
圆，圆心，半径，
两圆心间的距离，
则，则外切.
故选：C
3．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角即得.
【详解】由直线的方向向量，得直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为.
故选：D
4．在平面直角坐标系中，若圆关于直线的对称圆为圆，则、的值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知两圆半径相等，求得r，且可知两圆圆心关于直线对称，即可结合直线垂直的条件求得a的值，即得答案.
【详解】由题意可知圆与圆的半径相等，
故，且关于直线对称，
故直线与直线垂直，则，
故选：A
5．已知三个向量、及共面，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据共面定理有，据此列方程组求解可得.
【详解】因为共面，则，
即，
所以，解得.
故选：A
6．已知直线与椭圆：交于两点，是椭圆的右焦点，，则椭圆的离心率的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出辅助线，由题意条件得到为等边三角形，，，，由椭圆定义可得，进而求出离心率.
【详解】取椭圆的左焦点，连接，
由对称性可知，，
因为直线与椭圆：交于两点，所以，
因为，，所以，
所以为等边三角形，故，
由勾股定理得，故，
由椭圆定义可知，即，
故.
故选：D
7．班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由入射光线与反射光线的关系，结合角平分线定理可解.
【详解】由椭圆定义可得，
由光学性质可知，为的角平分线，
所以.
故选：C
8．设点是圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合图形分析最小时点P的位置，然后先计算，再由二倍角公式即可求解.
【详解】如图，已知点P在圆外，所以为锐角，
由余弦函数单调性可知，当取得最小值时，取得最大值.
在中，，
当最大时，取得最小值，
由正弦函数单调性可知，此时最小，即取得最小值.
又最大值为，所以，
所以.
即的最大值为.
故选：B
二、多选题
9．已知实数满足圆的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心，半径为
B．过点作圆的切线，则切线方程为
C．的最大值是
D．的最大值是4
【答案】BD
【分析】确定圆心和半径得到A错误，计算切线得到B正确，将CD选项中的代数式转化为斜率和到原点的距离，计算得到C错误D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，即，圆心为，半径为，错误；
对选项B：在圆上，则和圆心均在轴上，故切线与轴垂直，为，
正确；
对选项C：表示圆上的点到点的斜率，如图所示：
当与圆相切时，斜率最大，此时，，故，
故此时斜率最大为，错误；
对选项D：表示圆上的点到原点距离的平方，故最大值为，
正确；
故选：BD
10．已知a为实数，若三条直线和不能围成三角形，则a的值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】ACD
【分析】当三条直线交于一点时，不能围成三角形，当三条直线中有平行直线时，不能围成三角形，从而可求出a的值
【详解】当三条直线交于一点时，由，解得，所以交点为，
所以，得，
当直线与平行时，，得，
当直线与平行时，，得，
所以当，或，或时，三条直线不能围成三角形，
故选：ACD
11．在平面直角坐标系中，已知，点满足的斜率之积为，点的运动轨迹记为.下列结论正确的（ ）
A．轨迹的方程 （）
B．存在点使得
C．点，则的最小值为
D．斜率为的直线与轨迹交于，两点，点为的中点，则直线的斜率为
【答案】AD
【分析】先设动点坐标，根据条件斜率之积为列方程可判断A； 根据圆的直径所对圆周角为判断B；由椭圆的定义表示出，再利用三点共线取出最值可判断C；设，则由题意可得，两式相减化简结合斜率公式可求判断D.
【详解】对于A，由已知设点的坐标为，由题意知
，
化简得点的轨迹方程为，故A正确；
对于B，由椭圆方程知，，，，
若，则点在以线段为直径的圆上，
以线段为直径的圆的方程为的圆在椭圆外，
所以椭圆上不存在满足，B错误；
对于C，由设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义为，
所以，所以，
当且仅当为的延长线与椭圆的交点时，等号成立.故C正确.
对于D，设，因为点为的中点，
所以设，因为在椭圆上，
所以，两式相减得，
，即，
所以，所以，
则直线的斜率为，故D正确.
故选：BCD.
12．如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥体积为定值B．平面
C．D．线段长度的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】
在正方体中，以为原点，分别为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，其中，，，而，则，
对于选项A，因为点，且点到平面的距离为直线到平面的距离为定值，不变，
所以三棱锥体积为定值，故A正确；
对于选项B，因为，则，
所以，又，，平面，
所以平面，故B正确；
对于选项C，因为，且，则，且，所以，故C错误；
对于选项D，因为，且，
当且仅当时，即时，，
则，所以线段长度的最大值为，故D正确；
故选：ABD
三、填空题
13．已知向量，，若，则的值为 .
【答案】
【分析】根据题意，由空间向量垂直的坐标表示，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为向量，，且，则，解得.
故答案为：
四、双空题
14．已知直线与圆相交，则直线过的定点是 ;直线被圆截得的最短弦长等于 .
【答案】
【分析】求出直线过定点，当时直线被圆截得的最短弦长，从而求出最短弦长.
【详解】直线，即，
令，解得，
所以直线恒过点，
又圆的圆心为，半径，则，
当时直线被圆截得的弦长最短，
最短弦长为.
故答案为：；.
五、填空题
15．如图，已知平面与平面的夹角为，在平面与平面的交线上有两点，线段分别在平面与平面内，且都垂直于直线，若，，，则线段的长度为 .
【答案】或
【分析】得到，两边平方后代入求值即可.
【详解】，两边平方得，
，
因为，，，线段都垂直于直线，平面与平面的夹角为，
所以或，
即或.
故答案为：或
16．若恰有两组的实数对满足关系式，则符合题意的的值为 .
【答案】/
【分析】把看成点到直线的距离，根据题意，即可求解.
【详解】可以看成点到直线：的距离，
可以看成点到直线：的距离，
由已知可得，，：不过原点，
又由恰有两组的实数对满足关系式，
所以可以看成有且仅有两条直线满足，直线方程：，
所以满足题意的直线：
第一条是线段的垂直平分线，当：是的垂直平分线时，
因为，所以，符合题意；
第二条只能取自与直线平行的两条直线中的一条，且此时另一条直线过原点，
此时第二条直线的方程为，
所以此时，即，符合题意；
所以.
故答案为：.
六、解答题
17．如图在四面体中，，，.，为线段中点，
(1)用基底表示向量，并求线段的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）通过向量的加法运算用基底表示向量，然后利用数量积模的运算求解线段长度；
（2）利用异面直线向量夹角公式结合数量积的运算律求解即可.
【详解】（1）是的中点，，
，；
（2），
，
故异面直线与所成角的余弦值为.
七、未知
18．如图，在正方体中，点分别在棱上，
(1)证明：;
(2)求点到平面的距离;
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）法一：以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求即可；法二：取中点E，连结，证明即可；
（2）应用空间向量求点到面的距离；
（3）应用空间向量求平面与平面的夹角的余弦值.
【详解】（1）法一：证明：如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
，，
，又不在同一条直线上，
；
法二：证明：取中点E，连结，是的中点， ，
四边形是平行四边形，，
又四边形是平行四边形，，
；
（2），
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
设点到平面的距离为，
；
（3）平面的法向量，
，
故平面与平面的夹角的余弦值.
八、解答题
19．已知直线过点，
(1)若直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求直线的方程；
(2)若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，求的最小值及取得最小值时直线的方程.
【答案】(1)或
(2)最小值为，
【分析】（1）方法一：设出点斜式直线方程，由直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍建立方程求出斜率即可；方法二：分直线过原点和直线不过原点两种情况设出方程即可解决；
（2）方法一：设出点斜式直线方程，写出、点坐标，利用基本不等式求出的最小值及取得最小值时直线的方程；方法二：设出截距式直线方程，写出、点坐标，利用基本不等式求出的最小值及取得最小值时直线的方程.
【详解】（1）法一：设直线的方程为
则与轴的交点为，与轴的交点，
由已知可得 即 ，即 ，
解得 或.
直线的方程为或，
即或.
法二：当直线过原点时，符合题意，
则，
即，
当直线不过原点时，设b为直线l的纵截距，直线的方程为，且过点，
，解得 ，
，即，
故直线的方程为或.
（2）法一：设直线的方程为，
则与轴的交点，与轴的交点，
，=，
，
当且仅当，即等号成立，
故的最小值为，
直线的方程为，即直线的方程为，
法二：直线的方程为，且过点，
，
则与轴的交点，与轴的交点，
，，
当且仅当，即等号成立，
故的最小值为，
直线的方程为，即直线的方程为.
九、未知
20．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在轴上，
(1)若圆过点､点， 求圆的方程;
(2)若圆与直线相切，且原点不在圆外，求当圆的面积最小时圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可以直接设圆的方程求解，也可以先设圆心和半径，利用弦的中垂线过圆心求解；
（2）先设出圆的方程，利用直线与圆相切得到半径的关系式，利用单调性求出半径最小值即可.
【详解】（1）如图所示，
法一：设圆的方程为，
由已知可得 ，解得，
故圆的方程为；
法二： 设圆的方程为，
由已知可得，解得，
故圆的方程为；
法三：设圆的方程为
已知点､点，则线段的中点，
所以 ，则线段的中垂线的方程，
即 ，所以，，
故圆的方程为；
（2）如图所示，
设圆的方程为，
因为圆与直线相切，
所以，
因为不在圆外，所以，
解得 ，所以，
当时，，
故当圆C的面积最小时圆的方程
21．如图，圆锥的底面圆上有四点，四边形是正方形，且，点在线段上，若．
(1)证明：平面；
(2)若为等边三角形，点在劣弧上运动，记与平面所成的角为，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据推出，设的交点为O，从而得，根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的一个法向量；
法一：设，利用向量的夹角公式，结合空间角的向量求法，即可求得答案；
法二：设且，利用向量的夹角公式，结合空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）∵四边形为正方形，，
设到底面的距离分别为，
则即，
即，所以，即．
设的交点为O，所以，即，
连接，则.，
平面面，
所以面．
（2）连接，则平面，
以为坐标原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，
由于为等边三角形，，则
因为，所以由可得：，
，
设平面的一个法向量为，则，
∴，令，所以可取
法一：设，则，
∴，
当且仅当，即与重合时取等号．
所以的最小值为．的最大值为；
法二：设且 ，则，
∴，
当且仅当，即与重合时取等号．
所以的最小值为,则的最大值为.
十、解答题
22．已知椭圆的焦距，且过点
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线交椭圆于两点异于椭圆的上、下顶点），当的面积最大时，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一：由焦距，得到，再根据过点求解；法二：，然后利用椭圆的定义求解；法三：易证，，再求得，然后利用椭圆的定义求解；
（2）设直线的方程为，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理，然后求得原点到的距离，法一：由，由，的面积最大求解；
法二：，利用基本不等式求解；然后由求解.
【详解】（1）法一 解：由已知可得 ，，
因为椭圆过点，
， 解得，
椭圆的方程为；
法二 解：设椭圆的左右焦点分别是 、，
由已知可得 ，，则，
，
，， ，
椭圆的方程为；
法三 解：设椭圆的左右焦点分别是 、，
由已知可得 ，，则
因为椭圆过点，因为，，
所以，
则，
即，，，
椭圆的方程为；
（2）解：如图所示：
，
设直线的方程为，，，
将代入椭圆方程整理得，，
，
由韦达定理得：，，
异于椭圆的上、下顶点 ，
则，
又原点到的距离为，
法一：故，
，
当时，且，
的面积最大
法二：故，
当且仅当时取等号，，
且，
的面积最大. .
故，
.
一、单选题
1．已知直线，则直线在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据截距定义，或化为斜截式方程可得.
【详解】方法一：令，得，即，
所以直线在轴上的截距为.
方法二：将方程化为斜截式得，
所以直线在轴上的截距为.
故选：B
2．圆 与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断.
【详解】圆，圆心，半径，
圆，圆心，半径，
两圆心间的距离，
则，则外切.
故选：C
3．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角即得.
【详解】由直线的方向向量，得直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为.
故选：D
4．在平面直角坐标系中，若圆关于直线的对称圆为圆，则、的值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知两圆半径相等，求得r，且可知两圆圆心关于直线对称，即可结合直线垂直的条件求得a的值，即得答案.
【详解】由题意可知圆与圆的半径相等，
故，且关于直线对称，
故直线与直线垂直，则，
故选：A
5．已知三个向量、及共面，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据共面定理有，据此列方程组求解可得.
【详解】因为共面，则，
即，
所以，解得.
故选：A
6．已知直线与椭圆：交于两点，是椭圆的右焦点，，则椭圆的离心率的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出辅助线，由题意条件得到为等边三角形，，，，由椭圆定义可得，进而求出离心率.
【详解】取椭圆的左焦点，连接，
由对称性可知，，
因为直线与椭圆：交于两点，所以，
因为，，所以，
所以为等边三角形，故，
由勾股定理得，故，
由椭圆定义可知，即，
故.
故选：D
7．班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由入射光线与反射光线的关系，结合角平分线定理可解.
【详解】由椭圆定义可得，
由光学性质可知，为的角平分线，
所以.
故选：C
8．设点是圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合图形分析最小时点P的位置，然后先计算，再由二倍角公式即可求解.
【详解】如图，已知点P在圆外，所以为锐角，
由余弦函数单调性可知，当取得最小值时，取得最大值.
在中，，
当最大时，取得最小值，
由正弦函数单调性可知，此时最小，即取得最小值.
又最大值为，所以，
所以.
即的最大值为.
故选：B
二、多选题
9．已知实数满足圆的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心，半径为
B．过点作圆的切线，则切线方程为
C．的最大值是
D．的最大值是4
【答案】BD
【分析】确定圆心和半径得到A错误，计算切线得到B正确，将CD选项中的代数式转化为斜率和到原点的距离，计算得到C错误D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，即，圆心为，半径为，错误；
对选项B：在圆上，则和圆心均在轴上，故切线与轴垂直，为，
正确；
对选项C：表示圆上的点到点的斜率，如图所示：
当与圆相切时，斜率最大，此时，，故，
故此时斜率最大为，错误；
对选项D：表示圆上的点到原点距离的平方，故最大值为，
正确；
故选：BD
10．已知a为实数，若三条直线和不能围成三角形，则a的值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】ACD
【分析】当三条直线交于一点时，不能围成三角形，当三条直线中有平行直线时，不能围成三角形，从而可求出a的值
【详解】当三条直线交于一点时，由，解得，所以交点为，
所以，得，
当直线与平行时，，得，
当直线与平行时，，得，
所以当，或，或时，三条直线不能围成三角形，
故选：ACD
11．在平面直角坐标系中，已知，点满足的斜率之积为，点的运动轨迹记为.下列结论正确的（ ）
A．轨迹的方程 （）
B．存在点使得
C．点，则的最小值为
D．斜率为的直线与轨迹交于，两点，点为的中点，则直线的斜率为
【答案】AD
【分析】先设动点坐标，根据条件斜率之积为列方程可判断A； 根据圆的直径所对圆周角为判断B；由椭圆的定义表示出，再利用三点共线取出最值可判断C；设，则由题意可得，两式相减化简结合斜率公式可求判断D.
【详解】对于A，由已知设点的坐标为，由题意知
，
化简得点的轨迹方程为，故A正确；
对于B，由椭圆方程知，，，，
若，则点在以线段为直径的圆上，
以线段为直径的圆的方程为的圆在椭圆外，
所以椭圆上不存在满足，B错误；
对于C，由设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义为，
所以，所以，
当且仅当为的延长线与椭圆的交点时，等号成立.故C正确.
对于D，设，因为点为的中点，
所以设，因为在椭圆上，
所以，两式相减得，
，即，
所以，所以，
则直线的斜率为，故D正确.
故选：BCD.
12．如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥体积为定值B．平面
C．D．线段长度的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】
在正方体中，以为原点，分别为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，其中，，，而，则，
对于选项A，因为点，且点到平面的距离为直线到平面的距离为定值，不变，
所以三棱锥体积为定值，故A正确；
对于选项B，因为，则，
所以，又，，平面，
所以平面，故B正确；
对于选项C，因为，且，则，且，所以，故C错误；
对于选项D，因为，且，
当且仅当时，即时，，
则，所以线段长度的最大值为，故D正确；
故选：ABD
三、填空题
13．已知向量，，若，则的值为 .
【答案】
【分析】根据题意，由空间向量垂直的坐标表示，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为向量，，且，则，解得.
故答案为：
四、双空题
14．已知直线与圆相交，则直线过的定点是 ;直线被圆截得的最短弦长等于 .
【答案】
【分析】求出直线过定点，当时直线被圆截得的最短弦长，从而求出最短弦长.
【详解】直线，即，
令，解得，
所以直线恒过点，
又圆的圆心为，半径，则，
当时直线被圆截得的弦长最短，
最短弦长为.
故答案为：；.
五、填空题
15．如图，已知平面与平面的夹角为，在平面与平面的交线上有两点，线段分别在平面与平面内，且都垂直于直线，若，，，则线段的长度为 .
【答案】或
【分析】得到，两边平方后代入求值即可.
【详解】，两边平方得，
，
因为，，，线段都垂直于直线，平面与平面的夹角为，
所以或，
即或.
故答案为：或
16．若恰有两组的实数对满足关系式，则符合题意的的值为 .
【答案】/
【分析】把看成点到直线的距离，根据题意，即可求解.
【详解】可以看成点到直线：的距离，
可以看成点到直线：的距离，
由已知可得，，：不过原点，
又由恰有两组的实数对满足关系式，
所以可以看成有且仅有两条直线满足，直线方程：，
所以满足题意的直线：
第一条是线段的垂直平分线，当：是的垂直平分线时，
因为，所以，符合题意；
第二条只能取自与直线平行的两条直线中的一条，且此时另一条直线过原点，
此时第二条直线的方程为，
所以此时，即，符合题意；
所以.
故答案为：.
六、解答题
17．如图在四面体中，，，.，为线段中点，
(1)用基底表示向量，并求线段的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）通过向量的加法运算用基底表示向量，然后利用数量积模的运算求解线段长度；
（2）利用异面直线向量夹角公式结合数量积的运算律求解即可.
【详解】（1）是的中点，，
，；
（2），
，
故异面直线与所成角的余弦值为.
七、未知
18．如图，在正方体中，点分别在棱上，
(1)证明：;
(2)求点到平面的距离;
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）法一：以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求即可；法二：取中点E，连结，证明即可；
（2）应用空间向量求点到面的距离；
（3）应用空间向量求平面与平面的夹角的余弦值.
【详解】（1）法一：证明：如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
，，
，又不在同一条直线上，
；
法二：证明：取中点E，连结，是的中点， ，
四边形是平行四边形，，
又四边形是平行四边形，，
；
（2），
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
设点到平面的距离为，
；
（3）平面的法向量，
，
故平面与平面的夹角的余弦值.
八、解答题
19．已知直线过点，
(1)若直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求直线的方程；
(2)若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，求的最小值及取得最小值时直线的方程.
【答案】(1)或
(2)最小值为，
【分析】（1）方法一：设出点斜式直线方程，由直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍建立方程求出斜率即可；方法二：分直线过原点和直线不过原点两种情况设出方程即可解决；
（2）方法一：设出点斜式直线方程，写出、点坐标，利用基本不等式求出的最小值及取得最小值时直线的方程；方法二：设出截距式直线方程，写出、点坐标，利用基本不等式求出的最小值及取得最小值时直线的方程.
【详解】（1）法一：设直线的方程为
则与轴的交点为，与轴的交点，
由已知可得 即 ，即 ，
解得 或.
直线的方程为或，
即或.
法二：当直线过原点时，符合题意，
则，
即，
当直线不过原点时，设b为直线l的纵截距，直线的方程为，且过点，
，解得 ，
，即，
故直线的方程为或.
（2）法一：设直线的方程为，
则与轴的交点，与轴的交点，
，=，
，
当且仅当，即等号成立，
故的最小值为，
直线的方程为，即直线的方程为，
法二：直线的方程为，且过点，
，
则与轴的交点，与轴的交点，
，，
当且仅当，即等号成立，
故的最小值为，
直线的方程为，即直线的方程为.
九、未知
20．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在轴上，
(1)若圆过点､点， 求圆的方程;
(2)若圆与直线相切，且原点不在圆外，求当圆的面积最小时圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可以直接设圆的方程求解，也可以先设圆心和半径，利用弦的中垂线过圆心求解；
（2）先设出圆的方程，利用直线与圆相切得到半径的关系式，利用单调性求出半径最小值即可.
【详解】（1）如图所示，
法一：设圆的方程为，
由已知可得 ，解得，
故圆的方程为；
法二： 设圆的方程为，
由已知可得，解得，
故圆的方程为；
法三：设圆的方程为
已知点､点，则线段的中点，
所以 ，则线段的中垂线的方程，
即 ，所以，，
故圆的方程为；
（2）如图所示，
设圆的方程为，
因为圆与直线相切，
所以，
因为不在圆外，所以，
解得 ，所以，
当时，，
故当圆C的面积最小时圆的方程
21．如图，圆锥的底面圆上有四点，四边形是正方形，且，点在线段上，若．
(1)证明：平面；
(2)若为等边三角形，点在劣弧上运动，记与平面所成的角为，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据推出，设的交点为O，从而得，根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的一个法向量；
法一：设，利用向量的夹角公式，结合空间角的向量求法，即可求得答案；
法二：设且，利用向量的夹角公式，结合空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）∵四边形为正方形，，
设到底面的距离分别为，
则即，
即，所以，即．
设的交点为O，所以，即，
连接，则.，
平面面，
所以面．
（2）连接，则平面，
以为坐标原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，
由于为等边三角形，，则
因为，所以由可得：，
，
设平面的一个法向量为，则，
∴，令，所以可取
法一：设，则，
∴，
当且仅当，即与重合时取等号．
所以的最小值为．的最大值为；
法二：设且 ，则，
∴，
当且仅当，即与重合时取等号．
所以的最小值为,则的最大值为.
十、解答题
22．已知椭圆的焦距，且过点
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线交椭圆于两点异于椭圆的上、下顶点），当的面积最大时，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一：由焦距，得到，再根据过点求解；法二：，然后利用椭圆的定义求解；法三：易证，，再求得，然后利用椭圆的定义求解；
（2）设直线的方程为，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理，然后求得原点到的距离，法一：由，由，的面积最大求解；
法二：，利用基本不等式求解；然后由求解.
【详解】（1）法一 解：由已知可得 ，，
因为椭圆过点，
， 解得，
椭圆的方程为；
法二 解：设椭圆的左右焦点分别是 、，
由已知可得 ，，则，
，
，， ，
椭圆的方程为；
法三 解：设椭圆的左右焦点分别是 、，
由已知可得 ，，则
因为椭圆过点，因为，，
所以，
则，
即，，，
椭圆的方程为；
（2）解：如图所示：
，
设直线的方程为，，，
将代入椭圆方程整理得，，
，
由韦达定理得：，，
异于椭圆的上、下顶点 ，
则，
又原点到的距离为，
法一：故，
，
当时，且，
的面积最大
法二：故，
当且仅当时取等号，，
且，
的面积最大. .
故，
.
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