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    2023-2024学年吉林省长春市长春外国语学校高二上学期第二次月考(12月)数学试题含答案

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    这是一份2023-2024学年吉林省长春市长春外国语学校高二上学期第二次月考(12月)数学试题含答案,共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题,证明题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题
    1.下列函数中,与函数相同的是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,即判断这两个函数为相同函数.
    【详解】解:对于A,,与函数的对应关系不相同,故不是相同函数;
    对于B,函数的定义域为,函数的定义域为,两函数的定义域不相同,故两函数不是相同函数;
    对于C,两函数的定义域都是,且对应关系相同,故两函数为相同函数;
    对于D,,与函数的对应关系不相同,故不是相同函数.
    故选:C.
    2.为了调查老师对微课堂的了解程度,某市拟采用分层抽样的方法从,,三所中学抽取60名教师进行调查,已知,,三所学校中分别有180,270,90名教师,则从学校中应抽取的人数为( )
    A.10B.12C.18D.24
    【答案】A
    【分析】按照分层抽样原则,每部分抽取的概率相等,按比例分配给每部分,即可求解.
    【详解】,,三所学校教师总和为540,从中抽取60人,
    则从学校中应抽取的人数为人.
    故选:A.
    【点睛】本题考查分层抽样抽取方法,按比例分配是解题的关键,属于基础题.
    3.已知函数,一定有零点的区间为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】根据题中所给函数用零点存在性定理即可判断正确答案.
    【详解】由题知函数在上单调递增,
    因为,
    所以在区间上一定有零点.
    故选:C
    4.已知,,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】利用对数函数、指数函数和幂函数的单调性比较大小即可.
    【详解】因为,,
    所以,
    故选:C.
    5.已知圆,动圆与圆都外切,则动圆圆心的轨迹方程为( )
    A.B.
    C. D.
    【答案】A
    【分析】由图结合两圆相外切性质可得,后由双曲线定义可得答案.
    【详解】由题可得圆圆心,半径为;圆圆心,半径为
    由图设动圆P与圆,圆外切切点分别为A,B.则共线,共线.
    则,注意到,
    则,又,则点P轨迹为以为焦点双曲线的右支.
    设双曲线方程为:,由题可得.
    故相应轨迹方程为:.
    故选:A
    6.已知是抛物线上任意一点,,,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】作,利用定义将转化为,然后结合图形可得.
    【详解】易知,抛物线的焦点为,准线为,
    作,垂足为C,
    由抛物线定义可知,,
    则由图可知,的最小值为点B到准线l的距离,即.
    故选:D
    7.设、是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,若是底角为的等腰三角形,则椭圆的离心率为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】设直线交轴于点,推导出,可得出关于、的等式,由此可解得该椭圆的离心率.
    【详解】设直线交轴于点,
    是底角为的等腰三角形,,,
    在中,,,,
    为直线上一点,,即,.
    故选:B.
    【点睛】方法点睛:求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下:
    (1)定义法:通过已知条件列出方程组,求得、的值,根据离心率的定义求解离心率的值;
    (2)齐次式法:由已知条件得出关于、的齐次方程,然后转化为关于的方程求解;
    (3)特殊值法:通过取特殊位置或特殊值,求得离心率.
    8.P是双曲线的右支上一点,M、N分别是圆和上的点,则的最大值为
    A.6B.7C.8D.9
    【答案】D
    【分析】可得双曲线的焦点分别为(-5,0),(5,0),由已知可得当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大,可得答案.
    【详解】解:易得双曲线的焦点分别为(-5,0),(5,0),且这两点刚好为两圆的圆心,由题意可得,当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大,此时==6+3=9
    【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质的应用,判断P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大是解题的关键.
    二、多选题
    9.设,为不同的直线,,为不同的平面,则下列结论中正确的是( )
    A.若,,则B.若,,则
    C.若,,则D.若,,,则
    【答案】BD
    【分析】根据线线、线面、面面的位置关系,逐一分析各选项即可得答案.
    【详解】解:对A:若,,则或与相交或与异面,故选项A错误;
    对B:若,,则,故选项B正确;
    对C:若,,则或与相交,故选项C正确;
    对D:若,,,则,故选项D正确.
    故选:BD.
    10.已知抛物线:的焦点为,点在抛物线上,若,则( )
    A.B.
    C.D.的坐标为
    【答案】AC
    【分析】根据抛物线的定义逐项判断即可.
    【详解】由抛物线:,可得,故D错误;
    由抛物线的定义可得,所以,故A正确;
    因为点在抛物线上,
    所以,所以,故B错误;
    则,故C正确.
    故选:AC.
    11.已知曲线.( )
    A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
    B.若m=n>0,则C是圆,其半径为
    C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为
    D.若m=0,n>0,则C是两条直线
    【答案】ACD
    【分析】结合选项进行逐项分析求解,时表示椭圆,时表示圆,时表示双曲线,时表示两条直线.
    【详解】对于A,若,则可化为,
    因为,所以,
    即曲线表示焦点在轴上的椭圆,故A正确;
    对于B,若,则可化为,
    此时曲线表示圆心在原点,半径为的圆,故B不正确;
    对于C,若,则可化为,
    此时曲线表示双曲线,
    由可得,故C正确;
    对于D,若,则可化为,
    ,此时曲线表示平行于轴的两条直线,故D正确;
    故选:ACD.
    【点睛】本题主要考查曲线方程的特征,熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.
    12.已知椭圆的左、右焦点分别为,长轴长为4,点在椭圆外,点在椭圆上,则( )
    A.椭圆的离心率的取值范围是
    B.当椭圆的离心率为时,的取值范围是
    C.存在点使得
    D.的最小值为1
    【答案】BCD
    【分析】根据点在椭圆外,即可求出的取值范围,即可求出离心率的取值范围,从而判断A,根据离心率求出,则,即可判断B,设上顶点,得到,即可判断C,利用基本不等式判断D.
    【详解】解:由题意得,又点在椭圆外,则,解得,
    所以椭圆的离心率,即椭圆的离心率的取值范围是,故A不正确;
    当时,,,所以的取值范围是,即,故B正确;
    设椭圆的上顶点为,,,由于,
    所以存在点使得,故C正确;

    当且仅当时,等号成立,
    又,
    所以,故D正确.
    故选:BCD
    三、填空题
    13.已知,则 .
    【答案】-3
    【分析】根据正切的和角公式计算可得答案.
    【详解】∵,∴,
    故答案为:-3.
    14.已知向量,满足,,则 .
    【答案】
    【分析】由向量模、数量积公式先求出,再由公式即可得解.
    【详解】由题意,

    所以.
    故答案为:.
    15.椭圆的右焦点到直线的距离是 .
    【答案】/
    【分析】由椭圆方程可得右焦点为,代入点到直线距离公式即可得出结果.
    【详解】由题可知椭圆的右焦点坐标为,
    所以右焦点到直线的距离是.
    故答案为:
    16.过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若点是AC的中点,且,则线段AB的长为
    【答案】
    【详解】设过抛物线 的焦点的直线交抛物线于点,交其准线于,因为是的中点,且,所以,解得,即,则的方程为,联立,得,解得,所以.
    四、解答题
    17.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程:
    (1)以直线为渐近线,焦点是,的双曲线;
    (2)离心率为,短轴长为8的椭圆.
    【答案】(1);(2)或.
    【分析】(1)由题意设双曲线方程为(,),根据焦点坐标和双曲线的渐近线方程求出,即可;
    (2)分椭圆的焦点在轴时和轴时讨论求解即可.
    【详解】解:(1)由题意设双曲线方程为(,),由焦点可得,
    双曲线的渐近线方程为,可得,
    又,解得,,
    所以双曲线的方程为.
    (2)当焦点在轴时,设椭圆方程为,
    由题可得,解得,,
    所以椭圆方程为;
    当焦点在轴时,设椭圆方程为,
    由题可得,解得,,
    所以椭圆方程为;
    所以综上可得椭圆方程为或.
    五、证明题
    18.如图,四棱锥的底面为正方形,底面,分别是的中点.
    (1)求证:平面;
    (2)求证:平面平面.
    【答案】(1)证明见解析;
    (2)证明见解析.
    【分析】(1)连接BD,根据线面平行的判定定理只需证明EF∥PD即可;
    (2)利用线面垂直的判定定理可得面,再利用面面垂直的判定定理即证.
    【详解】(1)如图,连结,则是的中点,又是的中点,
    ∴,
    又 ∵平面,面,
    ∴平面;
    (2)∵底面是正方形,
    ∴ ,
    ∵平面,平面,
    ∴ ,又,
    ∴面,又平面,
    故平面平面.
    19.已知函数是定义在上的奇函数,当时,.
    (1)求函数在上的解析式;
    (2)用单调性定义证明函数在区间上是增函数.
    【答案】(1);
    (2)证明见解析.
    【分析】(1)设时,则,根据已知解析式和奇偶性可得时的解析式,再由奇函数性质可知,然后可得在上的解析式;
    (2)根据定义法证明单调性的步骤:取值,作差,变形,定号,下结论可证.
    【详解】(1)设时,则,所以,
    因为为奇函数,所以,
    又,所以函数在上的解析式为.
    (2),且,


    因为,所以,
    故,即,
    所以函数在上单调递增.
    六、解答题
    20.已知双曲线.
    (1)求与双曲线有共同的渐近线,且过点的双曲线的标准方程;
    (2)若直线与双曲线交于A、B两点,且A、B的中点坐标为(1,1),求直线的斜率.
    【答案】(1);(2).
    【解析】(1)设所求双曲线方程为,代入点坐标,求得k,即可得答案;
    (2)设,利用点差法,代入A、B的中点坐标为(1,1),即可求得斜率.
    【详解】(1)因为所求双曲线与双曲线有共同的渐近线,
    所以设所求双曲线方程为,代入,得,
    所以所求双曲线方程为;
    (2)设,因为、在双曲线上,
    所以,(1)-(2)得,
    因为A、B的中点坐标为(1,1),即,
    所以.
    21.已知函数.
    (1)求的最小正周期、最大值、最小值;
    (2)求函数的单调区间;
    【答案】(1),最大值1,最小值-1;(2)在上单调递增;上单调递减;
    【解析】(1)利用两角差余弦公式、两角和正弦公式化简函数式,进而求的最小正周期、最大值、最小值;
    (2)利用的性质求函数的单调区间即可.
    【详解】(1),
    ∴,且最大值、最小值分别为1,-1;
    (2)由题意,当时,单调递增,
    ∴,,单调递增;
    当时,单调递减,
    ∴,,单调递减;
    综上,当,单调递增;
    ,单调递减;
    【点睛】关键点点睛:应用两角和差公式化简三角函数式并求最小正周期、最值;根据性质确定三角函数的单调区间.
    七、证明题
    22.已知椭圆的离心率为,椭圆C的下顶点和上顶点分别为,且,过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M,N两点.
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)当k=2时,求△OMN的面积;
    (3)求证:直线与直线的交点T恒在一条定直线上.
    【答案】(1) ;(2);(3)证明见解析.
    【分析】(1)由可得,结合离心率和可求出,进而可得椭圆的方程.
    (2)写出的方程为与椭圆进行联立,设,结合韦达定理可得,即可求出,由点到直线的距离公式可求出原点到的距离,从而可求出三角形的面积.
    (3) 设,联立直线和椭圆的方程整理后结合韦达定理可得,设,由在同一条直线上,
    得,同理,从而可得,
    即可证明交点在定直线上.
    【详解】解:(1)因为,所以,即,因为离心率为,则,设,
    则,又,即,解得或(舍去),
    所以,所以椭圆的标准方程为.
    (2) 设,由直线的点斜式方程可知,直线的方程为,
    即,与椭圆方程联立,,整理得,
    则,所以
    ,原点到的距离,
    则的面积.
    (3)由题意知,直线的方程为,即,设,
    则,整理得,则,
    因为直线和椭圆有两个交点,所以,则,
    设,因为在同一条直线上,则,
    因为在同一条直线上,则,
    所以,所以,
    则交点T恒在一条直线上.

    【点睛】关键点睛:
    本题第三问的关键是设交点,由三点共线结合斜率公式得和,两式进行整理后可求出,即可证明交点在定直线上.
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