2023-2024学年吉林省长春市长春外国语学校高二上学期第二次月考（12月）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年吉林省长春市长春外国语学校高二上学期第二次月考（12月）数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列函数中，与函数相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即判断这两个函数为相同函数.
【详解】解：对于A，，与函数的对应关系不相同，故不是相同函数；
对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不相同，故两函数不是相同函数；
对于C，两函数的定义域都是，且对应关系相同，故两函数为相同函数；
对于D，，与函数的对应关系不相同，故不是相同函数.
故选：C.
2．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从，，三所中学抽取60名教师进行调查，已知，，三所学校中分别有180，270，90名教师，则从学校中应抽取的人数为（ ）
A．10B．12C．18D．24
【答案】A
【分析】按照分层抽样原则，每部分抽取的概率相等，按比例分配给每部分，即可求解.
【详解】，，三所学校教师总和为540，从中抽取60人，
则从学校中应抽取的人数为人.
故选:A.
【点睛】本题考查分层抽样抽取方法，按比例分配是解题的关键，属于基础题.
3．已知函数，一定有零点的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题中所给函数用零点存在性定理即可判断正确答案.
【详解】由题知函数在上单调递增，
因为，
所以在区间上一定有零点.
故选：C
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用对数函数、指数函数和幂函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：C.
5．已知圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【分析】由图结合两圆相外切性质可得，后由双曲线定义可得答案.
【详解】由题可得圆圆心，半径为；圆圆心，半径为
由图设动圆P与圆，圆外切切点分别为A，B.则共线，共线.
则，注意到，
则，又，则点P轨迹为以为焦点双曲线的右支.
设双曲线方程为：，由题可得.
故相应轨迹方程为：.
故选：A
6．已知是抛物线上任意一点，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作，利用定义将转化为，然后结合图形可得.
【详解】易知，抛物线的焦点为，准线为，
作，垂足为C，
由抛物线定义可知，，
则由图可知，的最小值为点B到准线l的距离，即.
故选：D
7．设、是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设直线交轴于点，推导出，可得出关于、的等式，由此可解得该椭圆的离心率.
【详解】设直线交轴于点，
是底角为的等腰三角形，，，
在中，，，，
为直线上一点，，即，．
故选：B．
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
8．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】可得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，由已知可得当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大，可得答案.
【详解】解：易得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大，此时==6+3=9
【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质的应用，判断P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大是解题的关键.
二、多选题
9．设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
【答案】BD
【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.
【详解】解：对A：若，，则或与相交或与异面，故选项A错误；
对B：若，，则，故选项B正确；
对C：若，，则或与相交，故选项C正确；
对D：若，，，则，故选项D正确.
故选：BD.
10．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则（ ）
A．B．
C．D．的坐标为
【答案】AC
【分析】根据抛物线的定义逐项判断即可.
【详解】由抛物线：，可得，故D错误；
由抛物线的定义可得，所以，故A正确；
因为点在抛物线上，
所以，所以，故B错误；
则，故C正确.
故选：AC.
11．已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
12．已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是
C．存在点使得
D．的最小值为1
【答案】BCD
【分析】根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A，根据离心率求出，则，即可判断B，设上顶点，得到，即可判断C，利用基本不等式判断D.
【详解】解：由题意得，又点在椭圆外，则，解得，
所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A不正确；
当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；
设椭圆的上顶点为，，，由于，
所以存在点使得，故C正确；
，
当且仅当时，等号成立，
又，
所以，故D正确．
故选：BCD
三、填空题
13．已知，则 .
【答案】-3
【分析】根据正切的和角公式计算可得答案.
【详解】∵，∴，
故答案为：-3.
14．已知向量，满足，，则 .
【答案】
【分析】由向量模、数量积公式先求出，再由公式即可得解.
【详解】由题意，
，
所以.
故答案为：.
15．椭圆的右焦点到直线的距离是 ．
【答案】/
【分析】由椭圆方程可得右焦点为，代入点到直线距离公式即可得出结果.
【详解】由题可知椭圆的右焦点坐标为，
所以右焦点到直线的距离是．
故答案为：
16．过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若点是AC的中点，且，则线段AB的长为
【答案】
【详解】设过抛物线 的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于，因为是的中点，且,所以，解得，即，则的方程为，联立，得，解得，所以.
四、解答题
17．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）以直线为渐近线，焦点是，的双曲线；
（2）离心率为，短轴长为8的椭圆.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）由题意设双曲线方程为(，)，根据焦点坐标和双曲线的渐近线方程求出，即可；
（2）分椭圆的焦点在轴时和轴时讨论求解即可.
【详解】解：（1）由题意设双曲线方程为(，)，由焦点可得，
双曲线的渐近线方程为，可得，
又，解得，，
所以双曲线的方程为.
（2）当焦点在轴时，设椭圆方程为，
由题可得，解得，，
所以椭圆方程为；
当焦点在轴时，设椭圆方程为，
由题可得，解得，，
所以椭圆方程为；
所以综上可得椭圆方程为或.
五、证明题
18．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）连接BD，根据线面平行的判定定理只需证明EF∥PD即可；
（2）利用线面垂直的判定定理可得面，再利用面面垂直的判定定理即证．
【详解】（1）如图，连结，则是的中点，又是的中点，
∴，
又 ∵平面，面，
∴平面；
（2）∵底面是正方形，
∴ ，
∵平面，平面，
∴ ，又，
∴面，又平面，
故平面平面.
19．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)用单调性定义证明函数在区间上是增函数.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设时，则，根据已知解析式和奇偶性可得时的解析式，再由奇函数性质可知，然后可得在上的解析式；
（2）根据定义法证明单调性的步骤：取值，作差，变形，定号，下结论可证.
【详解】（1）设时，则，所以，
因为为奇函数，所以，
又，所以函数在上的解析式为.
（2），且，
则
，
因为，所以，
故，即，
所以函数在上单调递增.
六、解答题
20．已知双曲线.
（1）求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程；
（2）若直线与双曲线交于A、B两点，且A、B的中点坐标为（1，1），求直线的斜率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设所求双曲线方程为，代入点坐标，求得k，即可得答案；
（2）设，利用点差法，代入A、B的中点坐标为（1，1），即可求得斜率.
【详解】（1）因为所求双曲线与双曲线有共同的渐近线，
所以设所求双曲线方程为，代入，得，
所以所求双曲线方程为；
（2）设，因为、在双曲线上，
所以，（1）-（2）得，
因为A、B的中点坐标为（1，1），即，
所以.
21．已知函数．
（1）求的最小正周期、最大值、最小值；
（2）求函数的单调区间；
【答案】（1），最大值1，最小值-1；（2）在上单调递增；上单调递减；
【解析】（1）利用两角差余弦公式、两角和正弦公式化简函数式，进而求的最小正周期、最大值、最小值；
（2）利用的性质求函数的单调区间即可.
【详解】（1），
∴，且最大值、最小值分别为1，-1；
（2）由题意，当时，单调递增，
∴，，单调递增；
当时，单调递减，
∴，，单调递减；
综上，当，单调递增；
，单调递减；
【点睛】关键点点睛：应用两角和差公式化简三角函数式并求最小正周期、最值；根据性质确定三角函数的单调区间.
七、证明题
22．已知椭圆的离心率为，椭圆C的下顶点和上顶点分别为，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当k=2时，求△OMN的面积；
（3）求证：直线与直线的交点T恒在一条定直线上.
【答案】(1) ;(2);(3)证明见解析.
【分析】(1)由可得，结合离心率和可求出，进而可得椭圆的方程.
(2)写出的方程为与椭圆进行联立，设，结合韦达定理可得，即可求出，由点到直线的距离公式可求出原点到的距离，从而可求出三角形的面积.
(3) 设，联立直线和椭圆的方程整理后结合韦达定理可得，设，由在同一条直线上，
得，同理，从而可得，
即可证明交点在定直线上.
【详解】解：(1)因为，所以，即，因为离心率为，则，设，
则，又，即，解得或（舍去），
所以，所以椭圆的标准方程为.
(2) 设，由直线的点斜式方程可知，直线的方程为，
即，与椭圆方程联立，，整理得，
则，所以
，原点到的距离，
则的面积.
(3)由题意知，直线的方程为，即，设，
则，整理得，则，
因为直线和椭圆有两个交点，所以，则，
设，因为在同一条直线上，则，
因为在同一条直线上，则，
所以，所以，
则交点T恒在一条直线上.

【点睛】关键点睛:
本题第三问的关键是设交点，由三点共线结合斜率公式得和，两式进行整理后可求出，即可证明交点在定直线上.