湖北省荆州市松滋市2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

2022-2023学年湖北省荆州市松滋市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列几何体的三视图之一是长方形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列关系式中，是的反比例函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  抛一枚质地均匀的正方体骰子一次，出现点数不小于的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，点、、在上，若，，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形长米，宽米场地，被条宽度相等的绿化带分为总面积为平方米的活动场所羽毛球，乒乓球如果设绿化带的宽度为米，由题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，正方形的两边、分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是(    )

A.
B.
C. 或
D. 或

9.  如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，则此圆锥高的长度是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，，半径为的与交于点，且与相切，过点作交于点，点是边上动点则周长最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  方程为一元二次方程，则实数        ．

12.  若点在双曲线上，则代数式的值为        ．

13.  一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是______．

14.  如图，直线，，分别与相切于，，，且，若，，则的长等于______．

15.  若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为        ．

16.  如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为，若四边形间面积为，，则的值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

17.  如图，是的直径，是圆上一点，弦于点，且过点作的切线，过点作的平行线，两直线交于点，的延长线交的延长线于点．
求证：与相切；
连接，若，求的长．

四、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算化简与解方程：
；
．

19.  本小题分
已知关于的一元二次方程有，两实数根．
若，求及的值；
是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

20.  本小题分
请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹用虚线表示画图过程，实线表示画图结果
如图，在线段上找一点，使；
过点作直线将四边形的面积二等分；
如图，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点，，请画出这个圆的圆心．
 

21.  本小题分
为庆祝建党周年，松滋市某中学决定举办校园艺术节学生从“书法”、“绘画”、“声乐”、“器乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加为了了解报名情况，组委会在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计图请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
在扇形统计图中，求“声乐”类对应扇形圆心角的度数；并补全条形统计图；
小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中随机选择一种乐器，用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率．

22.  本小题分
对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图象来研究方程的根．
问题：探究方程的实数根的情况．
下面是小董同学的探究过程，请帮她补全：
设函数，这个函数的图象与直线的交点的        坐标填“横”或“纵”就是方程的实数根．
注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得：
当时，；
当时，        ；
在如图的坐标系中，已经画出了当时的函数图象，请根据中的解析式，通过描点，连线，画出当时的函数图象．
画直线，由此可知的实数根有        个
深入探究：若关于的方程有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为负数，则的取值范围是        ．

23.  本小题分
凌云文具店从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如表：注：利润销售价进货价

该文具店第一次用元购进、两款钥匙扣共件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该文具店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共件进货价和销售价都不变，且进货总价不高于元应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
文具店打算把款钥匙扣调价销售如果按照原价销售，平均每天可售件经调查发现，每降价元，平均每天可多售件，将销售价定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为元？

24.  本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点，点是对称轴与轴的交点．
求抛物线的解析式；
如图所示，是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，，求的面积的最大值；
如图所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点，求出点的坐标；并探究：在轴上是否存在点，使？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形，故本选项不合题意；
B.圆柱的左视图和主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项符合题意；
C.球体的主视图、左视图、俯视图都是圆形，故本选项不合题意；
D.三棱锥的三视图都不是矩形，故本选项不合题意．
故选：．
分别写出各个立体图形的三视图，判断即可．
此题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，是正比例函数，故A不符合题意；
B.是二次函数，故B不符合题意；
C.，是的反比例函数，故C符合题意；
D.，不是的反比例函数，故D不符合题意；
故选：．
根据反比例函数的定义判断即可．
本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确；
故选：．
根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算，判断即可．
本题考查的是合并同类项、完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘法，掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：抛一枚质地均匀的正方体骰子一次，
会出现，，，，，，种情况，其中点数不小于的有，两种，
点数不小于的概率是，
故选：．
先统计出不小于的点数的个数，在根据概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

5.【答案】 

【解析】解：由作图可知，垂直平分线段，平分，
，
，，
，
，
故选：．
由作图可知，垂直平分线段，平分，求出，，再利用三角形外角的性质求解即可．
本题考查线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
是等边三角形，
，
故选：．
根据，计算即可．
本题考查扇形的面积，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：绿化带的宽度为米，
六块活动场所可合成长为米，宽为米的长方形．
根据题意得：．
故选：．
由绿化带的宽度，可得出六块活动场所可合成长为米，宽为米的长方形，结合活动场所的总面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点在边上，
，，
若顺时针旋转，则点在轴上，，
点坐标为，
若逆时针旋转，则点到轴的距离为，到轴的距离为，
点坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
故选C．
分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
本题考查旋转中的坐标变化．
 

9.【答案】 

【解析】解：设圆锥底面圆的半径为，
，，
，
，即：，
在中，，，根据勾股定理得，，
故选：．
先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最后用勾股定理即可得出结论．
此题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，求出是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于点，连接，交于点，此时的值最小．

设与相切于，
连接，
则，
，
，
；
，为的半径，
是的切线，
，
，
，
，
解得：，
，
周长最小值为，
故选：．
如图，延长交于点，连接，交于点，此时的值最小．设与相切于，连接，得到，根据勾股定理得到；根据切线的性质得到，再根据勾股定理即可得结论．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，轴对称最短路线问题，正确地找到点的位置是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：方程为一元二次方程，
．
故答案为：．
根据一元二次方程的定义进行解答即可．
本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程，其一般形式为．
 

12.【答案】 

【解析】解：点在双曲线上，
，


，
故答案为：．
将点代入双曲线可求出，再代入计算即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求出的值是正确解答的关键．
 

13.【答案】六 

【解析】解：设正多边形的边数为．
由题意得，，
，
经检验，是原分式方程的根．
故答案为：六．
根据正多边形的中心角计算即可．
本题考查正多边形和圆，解题的关键是记住正多边形的中心角．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
直线，，分别与相切于，，，
，，，，
，
，
在中，
，
．
故答案为：．
根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，再结合切线长定理即可求解．
此题主要是考查了切线长定理．熟记从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角是解决问题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：由函数图象可知，二次函数与轴的交点坐标的横坐标为和
函数的图象与轴的交点横坐标为，，
由函数图象可知，二次函数，当或时，函数图象在轴的下方，
二次函数，当或时，函数图象在轴的下方，
不等式的解集为或．
故答案为：或．
直接利用函数图象即可得出结论．
本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设点，
轴，
，，
，
，
，
轴，
轴，
点，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
设点，可得，，从而得到，再由可得点，从而得到，然后根据，即可求解．
本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，连接，．

是的直径，弦于点，
，．
，
．
为等边三角形．
．
，
．
．
．
与相切
如图，作于点．

与相切，
．
又，
可得．
又，
四边形为平行四边形．
，，
四边形为菱形．
，．
，
由得，
，．
．
在中，，
． 

【解析】连接，易证为等边三角形，所以，从而可知，由于，易知，所以与相切．
作于点易证四边形为平行四边形．因为，，所以四边形为菱形，由得，从而可求出、的值，从而可知的长度，则的长可求出．
本题考查圆的综合问题，涉及切线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，考查学生综合运用知识的能力．
 

18.【答案】解：


；
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用平方差公式，完全平方公式，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算，解一元二次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】解：根据题意得，，，
若，，解得，
，
解得：，；
，
，
，，
，
整理得：，
解得：，，
经检验，为原方程的解，
又一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
． 

【解析】根据一元二次方程根和系数的关系，得到，，即可求出及的值；
将，代入，整理得：，求出的值，然后再舍去不合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，根和系数的关系，解分式方程，熟练掌握一元二次方程根和系数的关系：，是解题关键．
 

20.【答案】解：如图，点即为所求．
如图，直线即为所求．
如图，圆心即为所求．
 

【解析】在上取点，使为等腰直角三角形即可．
连接，，相交于点，作直线即可．
设点下方圆所经过的格点为点，连接，，作线段，的垂直平分线，交点即为圆心．
本题考查作图应用与设计作图、等腰直角三角形、平行四边形的性质、垂径定理，熟练掌握等腰直角三角形、平行四边形的性质、垂径定理是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：被抽到的学生中，报名“书法”类的人数有人，
占整个被抽取到学生总数的，
在这次调查中，一共抽取了学生为：人；
被抽到的学生中，报名“绘画”类的人数为：人，
报名“舞蹈”类的人数为：人；
补全条形统计图如下：

被抽到的学生中，报名“声乐”类的人数为人，
扇形统计图中，“声乐”类对应扇形圆心角的度数为：；
设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为、、、，
画树状图如图所示：

共有个等可能的结果，小东和小颖选中同一种乐器的结果有个，
小东和小颖选中同一种乐器的概率为． 

【解析】根据抽取的报名“书法”类的人数有人，占整个被抽取到学生总数的，得出算式即可得出结果；由抽取的人数乘以报名“绘画”类的人数所占的比例得出报名“绘画”类的人数；补全条形统计图即可；
用乘以“声乐”类的人数所占的比例即可；
设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为、、、，画出树状图，即可得出答案．
此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握．
 

22.【答案】横       

【解析】解：函数的图象与直线的交点的横坐标就是方程的实数根．
故答案为：横；
当时，，
故答案为：；
画出函数的图象如图：

由图象可知，直线与函数图象有个交点，
所以，的实数根有个，
故答案为：．
由图象可知：直线在轴的上方且，与函数的交点的横坐标，且，，
，
，
关于的方程即有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则的取值范围是，
故答案为：．
函数的图象与直线的交点的横坐标就是方程的实数根．
根据绝对值的性质去掉绝对值整理即可；
通过描点，连线，画出当时的函数图象即可；
根据图象即可求得；
根据图象分析即可求得．
本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数的图象以及一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
 

23.【答案】解：设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，
依题意得：，
解得：．
答：购进款钥匙扣件，款钥匙扣件．
设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进件款钥匙扣，件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是元．
设款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件元或元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为元． 

【解析】设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，利用总价单价数量，结合该网店第一次用元购进、两款钥匙扣共件，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
设款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，利用平均每天销售款钥匙扣获得的总利润每件的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

24.【答案】解：抛物线顶点坐标为，
可设抛物线解析式为，
将代入可得，
；

连接，


由题意，，，
设，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为；

存在，设点的坐标为，
过作对称轴的垂线，垂足为，

则，，
，
，
在中，
，
，
或舍
，
，，
连接，
在中，，
，
，，
以为圆心，为半径的圆与轴的交点为点，
此时，，
设，为圆的半径，
则，
，
，
或，
综上所述：点坐标为或 

【解析】本题考查一次函数与二次函数的综合题，涉及到待定系数法解二次函数解析式，三角形面积，二次函数的最值，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角三角形和圆的知识综合解题是关键．
由题意可设抛物线解析式为，将代入可得，则可求解析式；
连接，设，分别求出，，，利用整理结果，结合二次函数的最值可得结论；
设点的坐标为，过作对称轴的垂线，垂足为，得出，，在中，求出，即可进一步求出的坐标，得出，，连接，在中，，，以为圆心，为半径的圆与轴的交点为点，此时，，设，为圆的半径，，求出，即可求点．