江西省九江市2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题

这是一份江西省九江市2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题，共20页。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. 集合有7个元素C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出全集中的元素，根据集合的交并补运算逐项检验是否正确.
【详解】由题意知共7个元素,故，，，所以A，B，D三项正确，C项错误.
故选：C
2. 已知a，，那么“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由对数函数和指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，可得结论．
【详解】，，
由可推得，但，不可推得，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
3. 若正实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】将已知等式化为，利用基本不等式得，再将代入可求出结果.
【详解】因为，所以，
因为，所以，当且仅当时，取等号，
所以，所以，当且仅当时，取等号，
所以的最小值为.
故选：B
4. 在6个函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，有个函数满足性质：；有个函数满足性质：．则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据性质，性质的定义结合运算法则逐项检验即可得的值，从而可求的值.
【详解】解：①因为，所以，则，不满足性质，
，满足性质；
②因为，所以，则，不满足性质，
，满足性质；
③因为，所以，则，满足性质，
，不满足性质；
④因为，所以，则，不满足性质，
，不满足性质；
⑤因为，所以，则，不满足性质，
，不满足性质；
⑥因为，所以，则，不满足性质，
，不满足性质；
综上，满足性质的有③，满足性质的有①②，所以，故.
故选：A.
5. 已知函数（其中，为常量，且，，）的图像经过点，．若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，将问题转化为在区间上恒成立，再根据指数函数的性质求出在上最小值即可.
【详解】解：因为函数的图像经过点，，
所以，解得，
所以，
所以区间上恒成立，
等价于在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
由指数函数的性质可知在上单调递减，
所以，
所以，
即实数的取值范围是.
故选：C.
6. 已知一组数据，，…，的平均数为，标准差为，，若，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】依据方差定义和二次函数的性质即可比较与的大小关系
【详解】
二次函数
开口向上，对称轴，
当即时取得最小值，
则当时，
即，则
故选：A
7. 基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A. 1.2天B. 1.8天
C. 2.5天D. 3.5天
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
8. 已知函数设，若关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】不等式转化为，考虑和两种情况，分别计算函数的最值得到范围.
【详解】不等式，即，
当时，，，
，时取等号，
，在上单调递减，，
所以；
当时，，即，
函数在上单调递减，故；
函数在上单调递增，， 所以.
综上所述：.
故选：A
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 下列函数中，既是偶函数也是在上单调递增的函数有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断是否成立，若成立再判断上的单调性.
【详解】因为三个选项里的函数定义域都是，项的函数的定义域为
所以四个选项中的函数的定义域都关于原点对称，接下来只需要验证
对于A项，，函数为偶函数，且当时在上单调递增，符合题意，故A正确；
对于B项，是偶函数，但是不具有单调性，故B不正确；
对于C项，，函数为偶函数，且在上单调递增，故C正确；
对于D项，，函数为奇函数，故D不正确.
故选：AC
10. 已知都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 函数的图象关于点对称
C.
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断ABC，对于D，通过观察选项可以推断很可能为周期函数，结合，的特殊性以及一些已经证明的结论，想到当令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步可得出是周期函数，从而可得出的值.
【详解】对于A，令，代入已知等式得，得，
再令，，代入已知等式得，
可得，结合得，故A正确；
对于B，再令，代入已知等式得，
将代入上式，得，∴函数为奇函数，
∴函数关于点对称，故B正确；
对于C，再令，代入已知等式，
得，∵，∴，
又∵，∴，
∵，∴，故C错误；
对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：
，
两式相加易得，所以有，
即：，
有：，
即：，∴为周期函数，且周期为3，
∵，∴，∴，，
∴，
∴，
故D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：对于含有，，的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有，双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.
11. 已知，，，设，，，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】比较大小我们一般用作差法，在参与比较的项都大于零时，我们也可以采用作商法比较大小，结合公式，且，，，以及对数函数的性质，即可较易判断.
【详解】由题意知：都大于零，
，因为，所以，
故，所以A错误；
因为，所以，
故，所以D正确；
同理，因为，所以，
故，所以B正确；
因为，所以，又，
故，所以C正确.
故选：BCD.
12. 已知函数的定义域为，对于任意的实数，都有.且当时，.则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 对于任意的，有
C. 函数在上单调递增
D. 若，则不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】令，，结合可求得，知A正确；令，由可推导证得B正确；令，由可知C错误；将所求不等式转化为，结合单调性可得自变量大小关系，解一元二次不等式可知D正确.
【详解】对于A，令，，则；
由时，得：，，A正确；
对于B，令，则；
当时，，，，
对于任意，，B正确；
对于C，设，
；
，，即，又，
，在上单调递减，C错误；
对于D，，，
则可化为：，
又在上单调递减，，即，
解得：，即不等式的解集为，D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知幂函数的图像关于直线对称，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】由幂函数单调递减得，结合图像关于对称即为偶函数，即可求得，利用幂函数的单调性即可解不等式.
【详解】由在上单调递减得，，故，又，故或2，当时，，满足条件；当时，，图像不关于直线对称，故.
因为函数在为减函数，故由不等式得，
或或.
解得或，综上：.
故答案为：
14. 命题：“若，则”是______命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】
【分析】先对一元二次不等式进行求解，然后利用小范围推大范围即可判断命题真假
【详解】由，解得，在数轴上可以看出范围小，范围大，
根据小范围能推大范围，所以命题是真命题.
故答案为：真
15. 设函数的定义域为，当时，，若，为偶函数，为奇函数，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性和对称性，求出函数的周期，根据进而求出的值，然后再次利用周期性和奇偶性即可求出的值.
【详解】根据题意，为奇函数，所以关于对称，
故，即，
又因为为偶函数，所以，
则，则，
即是周期为4的周期函数，
因为，且，
所以，所以，即，
联立得，解得，，
所以，，
所以，
故答案为：.
16. 定义在上的函数满足：，，则的值为______．
【答案】0
【解析】
【分析】由已知可得、、是方程的三个不等的实数根，求方程的解集，可得.
【详解】由题意得，，，
所以、、是方程的三个不等的实数根，
又方程可化为，所以，
所以.
故答案为：0.
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知集合，．
从①；②；③中选择一个填入横线处并解答．
（1）若，求；
（2）若______，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；
（2）选①②：；选③：．
【解析】
【分析】（1）先化简集合A、B，进而求得；
（2）选择一个条件，利用集合间的关系列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围．
【小问1详解】
时，
则
【小问2详解】
选①或
则由，可得或，解之得或
则实数的取值范围为
选②：或
由，可得或，解之得或
则实数的取值范围为
选③：或
由，可得，解之得
则实数的取值范围为
18. 已知，．
（1）证明：当，是的不必要不充分条件；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】化简得p：，q：，：，
（1）不必要不充分条件即为q两个集合间不存在包含关系；
（2）p是的必要不充分条件即为的集合是p的集合的真子集.
【小问1详解】
证明：，即.
，即，即.
当，则，∵与不存在包含关系，故是的不必要不充分条件.
【小问2详解】
：，要使是的必要不充分条件，则且等号不同时成立，解得.
故实数的取值范围为
19. 设，，已知定义在上的函数为奇函数，且其图像过点．
（1）求的解析式；
（2）判断的单调性，并证明你的结论．
【答案】（1）；
（2）单调递增；证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数为奇函数及函数图象过点列出方程求解；
（2）根据函数单调性定义证明即可.
【小问1详解】
因为为定义在上的奇函数，
所以，即，化简得，
又，
解得，
所以.
【小问2详解】
单调递增，
证明如下：
设，且，
则
，
，为增函数，
，即，又，，
所以，
即，
所以函数在上单调递增.
20. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.
（1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；
（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：）
【答案】（1）车流密度的取值范围是
（2）隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.
【解析】
分析】（1）根据题意得，再根据分段函数解不等式即可得答案；
（2）由题意得，再根据基本不等式求解最值即可得答案.
【小问1详解】
解：由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时），
代入，解得，
所以.
当时，，符合题意；
当时，令，解得，所以.
所以，若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度取值范围是.
【小问2详解】
解：由题意得，
当时，增函数，所以，当时等号成立；
当时，
.
当且仅当，即时等号成立
所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.
21. 已知增函数是定义在的奇函数，函数．
（1）解不等式；
（2）若存在两个不等的实数，使得，且，求实数的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质得到，结合函数的单调性和定义域，即可求解；
（2）根据奇函数的性质得到：，从而得到，利用换元法：令得到，分离参数结合二次函数性质即可求解.
【小问1详解】
因为增函数是定义在的奇函数，
所以当时，，
则由，得：，
即，解得：，
故不等式的解集为.
【小问2详解】
因为，为定义在上的奇函数，
所以，即，不妨令，则，
,
则，
令，又，由对勾函数的性质得：在上单调递增，
所以，
则，显然，则，
又单调递减，
所以由题意得，
即的取值范围为．
22. 设函数．
（1）若，解不等式；
（2）是否存在常数时，使函数在上的值域为，若存在，求a的取值范围：若不存在，说明理由．
【答案】（1）或；（2）存在，，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先将代入解析式，再根据对数函数的性质解不等式即可求解；
（2）首先判断在单调递减，因此可以建立方程组
等价于是方程在上的两个不同的根，即是方程在上的两个不同的根，利用二次函数根的分布即可求出a的取值范围
【详解】（1）若，，
要使有意义，则，即，
解得：或
等价于，
所以，即，
所以，可得，
解得：或，
综上所述：或，
所以不等式的解集为或，
（2）是由和复合而成，
因为，所以在定义域内单调递减，
因为在单调递增，
所以在单调递减，
因为，所以，
所以在单调递减，
若函数在上的值域为，
，
所以是方程在上的两个不同的根，
因为，所以，，
所以是方程在上的两个不同的根
即是方程在上的两个不同的根，
所以即，解得或，
由根与系数的关系可得：，，
因为，
所以， 解得，所以，
综上所述：
所以a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是判断出复合函数在上单调递减，即可建立关于的方程组，可得出是方程在上的两个不同的根，去掉对数符号，进而转化为二次函数根的分布问题.