2023-2024学年山东省菏泽市第一中学高二上学期第三次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省菏泽市第一中学高二上学期第三次月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知数列则是它的第项.
A．19B．20C．21D．22
【答案】C
【详解】试题分析：观察式子,其中根式里面的数字为以6为公差的等差数列.而，所以答案为C.
【解析】等差数列
2．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据线面平行的位置关系及直线的方向向量、平面的法向量定义再结合充分必要条件的定义判断即可.
【详解】由，得：，则“”是“”的必要条件，
而不一定有，也可能，则“”不是“”的充分条件.
故选：B.
3．已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论逐项判断即得.
【详解】平面外的任一点O，点共面的充要条件是，且，
对于A，由，得，点不共面，A不是；
对于B，由，得，点不共面，B不是；
对于C，由，得，点不共面，C不是；
对于D，由，得，点共面，D是.
故选：D
4．设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据向量在基底下的坐标为得到，即可得到向量在基底下的坐标.
【详解】因为向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标为.
故选：C.
5．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲､乙两人相距（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得，再由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，
则，
又，，且库底与水坝所成的二面角为，
则，
所以，
即.
故选：D
6．已知平面，其中点，向量，则下列各点中在平面内的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合各个选项分别求出，计算的值是否为0，从而得出结论.
【详解】对于A，，所以，故点不在平面内，故A错误；
对于B，，所以，故点在平面内，故B正确；
对于C，，所以，故点不在平面内，故C错误；
对于D，，所以，故点不在平面内，故D错误.
故选：B.
7．中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．戊分得34文，己分得31文B．戊分得31文，己分得34文
C．戊分得28文，己分得25文D．戊分得25文，己分得28文
【答案】C
【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，再根据题意列方程组可解得结果.
【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，
则，解得，
所以戊分得（文），己分得（文），
故选：C.
8．如图，在正方体中，，点P在平面内，，则点P到距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【解析】可求出的轨迹为的内切圆，再将的轨迹投影到面上，恰好为的内切圆，上的切点与对应的点即为到距离最短的点.
【详解】
①先简要说明：面如下
因为四边形为正方形，故
又面，有
故面，故
同理有，故面
②再简要说明：面面如下
，故面
，故面
故面面
③设面
面
，三棱锥为正三棱锥，为的内心
由等体积法可知
故
的内切圆的半径
的轨迹是面上以为圆心，为半径的圆，记为
恰好为的内切圆.
又面面，全等于， 面
故也为正的内心
将圆投影到平面上，且圆心为，记为圆，故是的内切三角形
上的切点与上对应的点即为到距离最短的点.
故则点P到距离的最小值等于
【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．
二、多选题
9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】利用空间向量的坐标表示及投影向量的定义一一计算即可.
【详解】易知，显然，故A错误；
易知：，
故B正确；
易知，故C正确；
在上的投影向量，故D正确.
故选：BCD
10．直线l的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若则直线l与平面所成角的大小为
D．若，则平面所成角的大小为
【答案】BCD
【分析】由，得到直线平面或，可判定A不正确；根据平面法向量的概念及空间角的求解方法，可判定B、C、D正确.
【详解】由题意知，直线l的方向向量为，两个平面的法向量分别为，
对于A中，若，则直线平面或，所以A不正确；
对于B中，若，则直线平面，所以B正确；
对于C中，若，因为，所以，
设直线l与平面所成角为，可得，即直线l与平面所成角的大小为，所以C正确；
对于D中，若，因为，所以，
所以平面所成角的大小为.
故选：BCD.
11．已知在数列中，，，则下列结论正确的是（ ）
A．是等差数列B．是递增数列
C．是等差数列D．是递增数列
【答案】CD
【分析】根据递推关系可得，进而根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由可得，所以是以公差为1的等差数列，故CD正确，
，故不是等差数列，而且为单调递减数列，故AB错误，
故选：CD
12．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．顶点到平面的最大距离为B．存在点，使得平面
C．的最小值D．当为中点时，为钝角
【答案】ABC
【分析】对A，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到平面的距离，分析即可判断A；
对B，当平面，则，则有，求出，即可判断B；
对C，当时，取得最小值，结合B即可判断C；
对D，设，当为中点时，根据判断得符号即可判断D.
【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，
则，
则，故，
则，
，
对于A，，
设平面的法向量，
则有，
可取，
则点到平面的距离为，
当时，点到平面的距离为0，
当时，
，
当且仅当时，取等号，
所以点到平面的最大距离为，故A正确.
当平面，
因为平面，所以，
则，解得，
故存在点，使得平面，故B正确；
对于C，当时，取得最小值，
由B得，此时，
则，，
所以，
即的最小值为，故C正确；
对于D，当为中点时，
则，，
则，，
所以，
所以为锐角，故D错误；
故选：ABC.
三、填空题
13．已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为 .
【答案】/
【分析】利用空间向量求点到平面的距离即可.
【详解】由题可得，又是平面的一个法向量，
∴则点P到平面的距离为.
故答案为：.
14．已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为 ．
【答案】/
【分析】利用空间中的点到直线的距离公式求解即可．
【详解】设，，则
则点P到直线的距离．
故答案为：．
15．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ ．
【答案】35
【详解】因为{an}，{bn}都是等差数列,所以也成等差数列，根据等差数列的性质，a1＋b1＝7，a3＋b3＝21, a5＋b5成等差数列，因而a5＋b5＝.
16．空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为 .
【答案】
【分析】根据题意，结合材料，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，即可求解.
【详解】根据材料可知，由平面的方程为，得为平面的法向量，
同理可知，与分别为平面与的法向量.
设直线的方向向量，则，即，取，则.
设直线与平面所成角为，则.
故答案为：.
四、解答题
17．如图，在平行六面体中，，．
求：
(1)；
(2)的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由空间向量数量积的定义，代入计算，即可得到结果.
（2）根据题意，由结合空间向量数量积的运算律，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得：.
（2）因为
则
，
所以.
18．在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）an＝．
【分析】（1）利用等差数列的定义证明；
（2）用公式法求通项公式即可.
【详解】（1）证明：由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，
整理得－＝3(n≥2)，
所以数列是以1为首项，以3为公差的等差数列．
（2）解：由（1）可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，
所以an＝．
【点睛】(1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法；
(2) 数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由求；④由递推公式求通项公式.
19．（1）求与向量共线，且满足的向量的坐标；
（2）已知点，若空间中一点使得，求点的坐标；
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据空间向量共线的坐标表示求解；
（2）利用空间向量的线性运算的坐标表示求解.
【详解】解：（1）因为向量与共线，故可设．
由，得，故，
所以．
（2）设，则，．
因为，
所以，，
解得，
所以点的坐标为．
20．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；
（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；
（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．
【答案】（I）（II）
【详解】试题分析:（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cs＜，＞，可得答案；
（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cs＜，＞|=，进而可得答案．
解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），
∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），
∴cs＜，＞==
∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；
（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），
设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），
则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），
设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cs＜，＞|=
∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：
【解析】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．
21．如图，在三棱台中，若平面，为中点，为棱上一动点（不包含端点）.

(1)若为的中点，求证：平面.
(2)是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）连接，
因为为中点，为的中点，
所以，
因为是正三棱台，，
所以，
于是有，
因此四边形是平行四边形，
所以平面，平面，
所以平面

（2）假设存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为，
因为平面平面，
所以，而，
所以建立如图所示的空间直角坐标系，

，
设，
设平面的法向量为，
，
所以有，
因为，，，
所以平面，所以平面的法向量为，
所以，
解得，舍去，即，
，即长度为.
22．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等边三角形，顶点在底面上的射影在正方形外部，设点，分别为，的中点，连接，.
(1)证明：平面；
(2)若四棱锥的体积为，设点为棱上的一个动点（不含端点），求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定、面面平行的判定、性质推理即得.
（2）利用给定体积求出锥体的高，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法求解即得.
【详解】（1）取的中点，连接，，如图，
由为的中点，得，而平面，平面，则平面，
又，且，即四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，于是平面，
显然，平面，因此平面平面，又平面，
所以平面.
（2）连接，设该四棱锥的高为，则体积为，，
连接，则，平面，
于是平面，而平面，则平面平面，
在平面内过作，而平面平面，从而平面，
显然两两垂直，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，，设，
则，点，，
设平面的一个法向量为，则，取，得，
设直线与平面所成的角为，则
，
令，则，且，
因此，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为.