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2023-2024学年贵州省六盘水市水城区高二上学期12月质量监测数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年贵州省六盘水市水城区高二上学期12月质量监测数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由并集的定义求解.
【详解】集合，
则．
故选：D
2．在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件可得出点的坐标.
【详解】在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，
则点的坐标为.
故选：A.
3．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设直线的倾斜角为，根据题意，得到，即可求解.
【详解】由题意，该直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，可得，
因为，所以所求的倾斜角为．
故选：D.
4．若为偶函数，则（ ）
A．0B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】求出的表达式，根据偶函数定义即可求出的值.
【详解】由题意，
为偶函数，
∴，，
∴，解得：，
故选：C.
5．已知椭圆，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程，列出不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意得得且．
故选：B
6．已知直线与圆交于两点，则（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】C
【分析】根据题意圆心为，半径，圆心到直线的距离为，利用垂径定理即可求得弦长.
【详解】圆心到直线的距离为，
又圆的半径，所以．
故选：C
7．有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】用列举法列举出样本空间，结合古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】记3克的砝码为，，1克的砝码为，，2克的砝码为，从中随机选取两个砝码，
样本空间，
共有10个样本点，其中事件“这两个砝码的总重量超过4克”包含3个样本点，故所求的概率为．
故选：A.
8．已知椭圆，过点，斜率为的直线与交于两点，且为的中点，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】设，因为为的中点，可得，代入椭圆的方程，两式相减，得出关于的方程，即可求解.
【详解】设，因为为的中点，可得
又由，两式相减得
，
则，得．
故选：B.
二、多选题
9．已知，分别是椭圆的上、下焦点，点在椭圆上，则（ ）
A．的长轴长为B．的短轴长为
C．的坐标为D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，即可求解.
【详解】由椭圆，可得，，则，
所以，椭圆的长轴长为，的短轴长为，上焦点的坐标为，
根据椭圆的几何性质，得到的最小值为．
故选：ABD.
10．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【分析】根据向量平行的坐标表示计算得出的值判断A，B；根据向量垂直的坐标表示计算得出的关系判断C，D.
【详解】若，则，得，故A正确，B错误；
若，则，即，故C正确，D错误；
故选：AC.
11．若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递增
【答案】ACD
【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，可得，
则的最小正周期为，且不是奇函数，所以A正确，B不正确；
当时，可得，
所以的图象关于直线对称，所以C正确；
由，得，所以在上单调递增，所以D正确．
故选：ACD.
12．在如图所示的直角坐标系中，五个大小相同的圆环排成两排从左到右环环相扣，若每个圆环的大圆半径为1.2，小圆半径为1，其中圆心在轴上，且，，圆与圆关于轴对称，直线之间的距离为1.1，则给出的结论中正确的是（ ）
A．设是图中五个圆环组成的图形上任意的两点，则两点间的距离的最大值为7.6
B．小圆的标准方程为
C．图中五个圆环覆盖的区域的面积为
D．小圆与小圆的公共弦所在的直线方程为
【答案】ABD
【分析】根据五圆的位置，求两点间的距离的最大值判断选项A；由圆心坐标和半径求小圆的标准方程判断选项B；求每个圆环的面积判断选项C；作差法求两圆公共弦所在的直线方程判断选项D.
【详解】设每个大圆的半径为，每个小圆的半径为．因为，
所以，两点间距离的最大值应为，A选项正确．
依题意可得小圆的圆心为，半径，所以小圆的标准方程为1，B选项正确．
因为每个圆环的面积为，即，而五个圆环有重合的部分，
所以图中五个圆环覆盖的区域的面积小于，C选项错误．
又小圆的方程为，所以小圆和小圆两圆方程相减，
可得公共弦所在直线方程，化简得，D选项正确．
故选：ABD
三、填空题
13．的虚部为 ．
【答案】5
【分析】由复数的乘法和复数虚部的定义求解.
【详解】由题意得，所以的虚部为5．
故答案为：5
14．已知方程表示一个圆，则的取值范围为 ，该圆的半径的最大值为 ．
【答案】 2
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到，求出的取值范围，并根据求出半径的最大值.
【详解】该方程可化为圆的标准方程．
由，得．
因为，
所以该圆的半径的最大值为．
故答案为：，2
15．已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的棱长为 ．
【答案】
【分析】设该正方体的棱长为，由正方体的性质得得到对角线，也就是外接球的直径，进而得到半径，然后利用球的体积公式得到关于的方程，求解即得.
【详解】设该正方体的棱长为，则该正方体的外接球的半径为.
由，得,
故答案为：.
16．已知椭圆的左､右焦点分别为，其离心率，和是椭圆上的点，且，的面积为，是坐标原点，则的最小值为 ．
【答案】8
【分析】设，由的面积，解出，在中利用余弦定理，结合离心率，求出，得椭圆方程，设，表示出，利用二次函数的性质求最小值.
【详解】由，得．设，则，
，解得．
在中，，
解得，从而，椭圆方程为，，
设，则，
当时，的最小值是8．
故答案为：8
四、解答题
17．已知直线经过点．
(1)若经过点，求的斜截式方程；
(2)若在轴上的截距为，求在轴上的截距．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据斜率公式求解斜率，即可由点斜式求解；
（2）根据截距式代入即可求解.
【详解】（1）由题意得，则的方程为，
其斜截式方程为．
（2）设的截距式方程为，
由题意得得，
所以在轴上的截距为．
18．已知圆的圆心的坐标为，且经过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)若为圆上的一个动点，求点到直线的距离的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求得圆的半径为，结合圆的标准方程，即可求解；
（2）根据题意，求得圆心到直线距离为，进而求得点到直线的距离的最小值．
【详解】（1）解：因为圆的圆心的坐标为，且经过点，
可得圆的半径为，
所以圆的标准方程为．
（2）解：由题意，圆心到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最小值为．
19．已知分别是椭圆的左顶点､上顶点，且．
(1)求点的坐标；
(2)若直线与平行，且与相切，求的一般式方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据椭圆的顶点可得，求得即可得解；
（2）根据直线得平行设，联立得，再利用即可得解.
【详解】（1）由题意得，
得，又，所以，
所以．
（2）由题意得．因为与平行，所以的斜率为2．
设，联立得．
因为与相切，所以，
得，
故的一般式方程为或．
20．如图，在直三柱中，，分别为，的中点．
(1)若，求的值；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的运算法则，化简得到，结合，即可求解；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）解：由向量的线性运算法则，可得，
又由，所以．
（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
所以．
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设与平面所成的角为，可得．
21．已知的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，利用两角和的正弦公式得到，再利用正弦定理求解；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）因为，
所以，
即．
由正弦定理得．
由，得，则，
由，得．
（2）由余弦定理得，则．
由，得，当且仅当时，等号成立．
故，即面积的最大值为．
22．已知椭圆的左､右焦点分别为，其离心率为，是上的一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到且，求得的值，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设方程为，联立方程组，得到，利用弦长公式，求得和，得到，结合换元法和基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由椭圆的左､右焦点分别为，其离心率为，
可得且，解得，
故椭圆的方程为．
（2）解：由题意知直线的斜率不为0，设其方程为，
设点，联立方程，可得，
所以，
可得．
又因为，
所以，
可得．
令，上式，
当且仅当，即时，取得最小值．
【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；
3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由并集的定义求解.
【详解】集合，
则．
故选：D
2．在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件可得出点的坐标.
【详解】在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，
则点的坐标为.
故选：A.
3．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设直线的倾斜角为，根据题意，得到，即可求解.
【详解】由题意，该直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，可得，
因为，所以所求的倾斜角为．
故选：D.
4．若为偶函数，则（ ）
A．0B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】求出的表达式，根据偶函数定义即可求出的值.
【详解】由题意，
为偶函数，
∴，，
∴，解得：，
故选：C.
5．已知椭圆，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程，列出不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意得得且．
故选：B
6．已知直线与圆交于两点，则（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】C
【分析】根据题意圆心为，半径，圆心到直线的距离为，利用垂径定理即可求得弦长.
【详解】圆心到直线的距离为，
又圆的半径，所以．
故选：C
7．有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】用列举法列举出样本空间，结合古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】记3克的砝码为，，1克的砝码为，，2克的砝码为，从中随机选取两个砝码，
样本空间，
共有10个样本点，其中事件“这两个砝码的总重量超过4克”包含3个样本点，故所求的概率为．
故选：A.
8．已知椭圆，过点，斜率为的直线与交于两点，且为的中点，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】设，因为为的中点，可得，代入椭圆的方程，两式相减，得出关于的方程，即可求解.
【详解】设，因为为的中点，可得
又由，两式相减得
，
则，得．
故选：B.
二、多选题
9．已知，分别是椭圆的上、下焦点，点在椭圆上，则（ ）
A．的长轴长为B．的短轴长为
C．的坐标为D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，即可求解.
【详解】由椭圆，可得，，则，
所以，椭圆的长轴长为，的短轴长为，上焦点的坐标为，
根据椭圆的几何性质，得到的最小值为．
故选：ABD.
10．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【分析】根据向量平行的坐标表示计算得出的值判断A，B；根据向量垂直的坐标表示计算得出的关系判断C，D.
【详解】若，则，得，故A正确，B错误；
若，则，即，故C正确，D错误；
故选：AC.
11．若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递增
【答案】ACD
【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，可得，
则的最小正周期为，且不是奇函数，所以A正确，B不正确；
当时，可得，
所以的图象关于直线对称，所以C正确；
由，得，所以在上单调递增，所以D正确．
故选：ACD.
12．在如图所示的直角坐标系中，五个大小相同的圆环排成两排从左到右环环相扣，若每个圆环的大圆半径为1.2，小圆半径为1，其中圆心在轴上，且，，圆与圆关于轴对称，直线之间的距离为1.1，则给出的结论中正确的是（ ）
A．设是图中五个圆环组成的图形上任意的两点，则两点间的距离的最大值为7.6
B．小圆的标准方程为
C．图中五个圆环覆盖的区域的面积为
D．小圆与小圆的公共弦所在的直线方程为
【答案】ABD
【分析】根据五圆的位置，求两点间的距离的最大值判断选项A；由圆心坐标和半径求小圆的标准方程判断选项B；求每个圆环的面积判断选项C；作差法求两圆公共弦所在的直线方程判断选项D.
【详解】设每个大圆的半径为，每个小圆的半径为．因为，
所以，两点间距离的最大值应为，A选项正确．
依题意可得小圆的圆心为，半径，所以小圆的标准方程为1，B选项正确．
因为每个圆环的面积为，即，而五个圆环有重合的部分，
所以图中五个圆环覆盖的区域的面积小于，C选项错误．
又小圆的方程为，所以小圆和小圆两圆方程相减，
可得公共弦所在直线方程，化简得，D选项正确．
故选：ABD
三、填空题
13．的虚部为 ．
【答案】5
【分析】由复数的乘法和复数虚部的定义求解.
【详解】由题意得，所以的虚部为5．
故答案为：5
14．已知方程表示一个圆，则的取值范围为 ，该圆的半径的最大值为 ．
【答案】 2
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到，求出的取值范围，并根据求出半径的最大值.
【详解】该方程可化为圆的标准方程．
由，得．
因为，
所以该圆的半径的最大值为．
故答案为：，2
15．已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的棱长为 ．
【答案】
【分析】设该正方体的棱长为，由正方体的性质得得到对角线，也就是外接球的直径，进而得到半径，然后利用球的体积公式得到关于的方程，求解即得.
【详解】设该正方体的棱长为，则该正方体的外接球的半径为.
由，得,
故答案为：.
16．已知椭圆的左､右焦点分别为，其离心率，和是椭圆上的点，且，的面积为，是坐标原点，则的最小值为 ．
【答案】8
【分析】设，由的面积，解出，在中利用余弦定理，结合离心率，求出，得椭圆方程，设，表示出，利用二次函数的性质求最小值.
【详解】由，得．设，则，
，解得．
在中，，
解得，从而，椭圆方程为，，
设，则，
当时，的最小值是8．
故答案为：8
四、解答题
17．已知直线经过点．
(1)若经过点，求的斜截式方程；
(2)若在轴上的截距为，求在轴上的截距．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据斜率公式求解斜率，即可由点斜式求解；
（2）根据截距式代入即可求解.
【详解】（1）由题意得，则的方程为，
其斜截式方程为．
（2）设的截距式方程为，
由题意得得，
所以在轴上的截距为．
18．已知圆的圆心的坐标为，且经过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)若为圆上的一个动点，求点到直线的距离的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求得圆的半径为，结合圆的标准方程，即可求解；
（2）根据题意，求得圆心到直线距离为，进而求得点到直线的距离的最小值．
【详解】（1）解：因为圆的圆心的坐标为，且经过点，
可得圆的半径为，
所以圆的标准方程为．
（2）解：由题意，圆心到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最小值为．
19．已知分别是椭圆的左顶点､上顶点，且．
(1)求点的坐标；
(2)若直线与平行，且与相切，求的一般式方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据椭圆的顶点可得，求得即可得解；
（2）根据直线得平行设，联立得，再利用即可得解.
【详解】（1）由题意得，
得，又，所以，
所以．
（2）由题意得．因为与平行，所以的斜率为2．
设，联立得．
因为与相切，所以，
得，
故的一般式方程为或．
20．如图，在直三柱中，，分别为，的中点．
(1)若，求的值；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的运算法则，化简得到，结合，即可求解；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）解：由向量的线性运算法则，可得，
又由，所以．
（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
所以．
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设与平面所成的角为，可得．
21．已知的内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，利用两角和的正弦公式得到，再利用正弦定理求解；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）因为，
所以，
即．
由正弦定理得．
由，得，则，
由，得．
（2）由余弦定理得，则．
由，得，当且仅当时，等号成立．
故，即面积的最大值为．
22．已知椭圆的左､右焦点分别为，其离心率为，是上的一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到且，求得的值，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设方程为，联立方程组，得到，利用弦长公式，求得和，得到，结合换元法和基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由椭圆的左､右焦点分别为，其离心率为，
可得且，解得，
故椭圆的方程为．
（2）解：由题意知直线的斜率不为0，设其方程为，
设点，联立方程，可得，
所以，
可得．
又因为，
所以，
可得．
令，上式，
当且仅当，即时，取得最小值．
【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；
3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.
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