贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期5月期中质量监测数学试题

这是一份贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期5月期中质量监测数学试题，共11页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卷交回，已知，，，则，已知实数，满足，则的取值范围是，同时满足等内容，欢迎下载使用。

（考试时长：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答题前，务必在答题卷上填写姓名和考号等相关信息并贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卷交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某篮球兴趣小组有7名学生参加投篮比赛，每人投10次，投中的次数分别为8，5，7，5，8，6，8.则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A.5，7B.6，7C.8，5D.8，7
2.设集合，，则（ ）
A.B.C.D.
3.设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线交椭圆于A，B两点，则的周长为（ ）
A.4B.8C.16D.32
4.设为等差数列的前项和，若，公差，，则（ ）
A.8B.7C.6D.5
5.已知，，，则（ ）
A.6B.7C.D.
6.已知函数，是最小正周期为的奇函数，若，则（ ）
A.B.C.D.
7.现有参加中国——东盟妥乐峰会志愿者的报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有8名男生和2名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生的报名表各一份的概率为（ ）
A.B.C.D.
8.已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知是虚数单位，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A.B.的虚部是
C.D.对应的点在第一象限
10.同时满足：①为偶函数，②，③有最大值，这三个条件的选项有（ ）
A.B.C.D.
11.已知函数图象上的点与方程的解一一对应，则下列选项中正确的是（ ）
A.B.0是的极值点
C.在上单调递增D.的最小值为0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，.则______.
13.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高四尺.问：积及委米几何？”其意思：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为4尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有______斛.
14.已知函数在上仅有两个零点，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）从4名男生和2名女生中任选3人参加中国凉都半程马拉松比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望；
（3）求“所选3人中女生人数”的概率.
16.（15分）如图，长方体中，，点是棱的中点，点在上，且.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17.（15分）已知函数
（1）当时，求函数的最小值；
（2），，求的取值范围.
18.（17分）在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线：相切.
（1）求的值；
（2）已知点，在抛物线上，A，B分别位于第一象限和第四象限，且，过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为，，当四边形面积取最小值时，求直线的方程.
19.（17分）若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为.
（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）记为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求的最大值；
（3）记是所有7项数列（其中，或1）的集合，，且中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：中的元素个数小于或等于16.
六盘水市2023-2024学年度第二学期半期质量监测
高二数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
8.分析：，就是距离公式的结构，
将，分类讨论后画出函数图像，
根据函数可知取值范围介于（可以取到）和
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
11.分析：
令，易得，是单调递增函数且是奇函数.
，
利用导函数的相关性质可知函数单调性及有极值点为0，最小值为.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.13.10
14.
14.分析：设函数，的图象的公切点，
在上仅有两个零点即在上仅有两个根，
即与的图象仅有两个交点.
即点同时在函数，图象上，在点处的切线斜率相等，
就有，，
则，有，
函数的图象向右平移便可知，仅有两个零点，
实数的取值范围介于当或者1时，
即
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）解：（1）可能取的值为0，1，2
，.
所以，的分布列为
（参考新教材不列表不扣分，但是离散型随机变量的每一个取值和对应的概率要写出必要的步骤）
（2）由（1），的数学期望为（人）（无单位不扣分）
（3）由（1），“所选3人中女生人数”的概率为
16.（15分）证明：由已知的中点为，连接交于点，连接，因为，
得点E是CM的中点，O是AC的中点
（2）解法一：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系.
依题设，，，，，.
，，
设向量是平面的法向量，
则，.
故，.
令，则，，
由已知是平面的一个法向量.
记平面与平面的夹角为，.
解法二：由已知，，，
记平面与平面的夹角为
利用射影面积法可得
17.（15分）解：（1）当时.
..
当时，，函数单调递减.
当时，，函数单调递增.
（2），
令，.
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.
即的取值范围是
18.（17分）解：（1）因为直线与抛物线C：相切，
联立
可得，
所以，解得（舍去）或.
所以
（2）设直线的方程：，，，
联立方程，得
则，
因为，即，
整理得
即，得，
，，符合题意，
则四边形的面积
当时，
所以直线方程：.
19.（17分）【分析】（1）根据题意，将两数列对应代入计算，问题即可得解；（2）由题意，根据递推关系，不难发现数列是以4为周期的数列，由此可确定数列，亦周期数列，由其首项即可知对应数列各项，依据定义当项数越大时，其距离也呈周期性且越大，从而问题可得解；（3）根据题意，这里可以考虑采用反证法来证明，首先假设问题不成立，再通过特殊赋值法，依据定义进行运算，发现与条件相矛盾，从而问题可得证.
【详解】（1）解：由题意可知，数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为
（2）解：设，其中且
由，得，，，
所以，，….
因此集合A中的所有数列都具有周期性，且周期为4
所以数列中，，，，，，
数列中，，，，
因为，
所以项数越大，数列和的距离越大
因为，
而，又因为
因此，当，
.
故的最大值为3469
（3）假设中的元素个数大于或等于17.
因为数列中，或1
所以仅由数列前三项组成的数组有且只有8个：，，，，，，，.
那么这17个元素之中必有3个具有相同的，，.
设这3个元素分别为：，，，，，，；
：，，，，，，；
：，，，，，，，
其中，，
因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3，
所以在与中，至少有3个成立
不妨设，，.
由题意得，中一个等于0，另一个等于1.
又因为或1，所以和中必有一个成立.
同理得：和中必有一个成立，和中必有一个成立，
所以“中至少有两个成立”和“中至少有两个成立”中必有一个成立.
故和中必有一个成立，这与题意矛盾.
所以中的元素个数小于或等于16.
备注：以上题目若有其它方法酌情给分
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
C
D
B
B
C
C
9
10
11
BCD
AD
ABC
0
1
2