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2023-2024学年河北省邯郸市五校高二上学期二调考试（12月）数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年河北省邯郸市五校高二上学期二调考试（12月）数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线与直线平行，则实数（ ）
A． B．1C．D．3
【答案】B
【分析】根据直线平行的条件求解即可.
【详解】由两直线平行，得，解得.
当时，直线与直线平行，故.
故选：B.
2．数列-4，7，-10，13，…的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据数列中数据特征得到通项公式.
【详解】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是，
数值4，7，10，13，…满足，所以通项公式可以是．
故选：B．
3．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据线面垂直，可知，由此可得两向量坐标之间有倍数关系，即可求得答案.
【详解】当时，，所以，
则，解得，．
故选：C．
4．一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意双曲线的方程为，将点（，）代入计算可得.
【详解】由题意设双曲线的方程为，
将点（，）代入双曲线方程得，
所以双曲线的方程为，即.
故选：A.
5．设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用等差数列片断和性质即可得解.
【详解】在等差数列中，，，成等差数列，即，
设，则，于是，解得，所以．
故选：A
6．在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解.
【详解】由F为BE 的中点，得
又
所以，由
得
即所以
故选：D
7．已知点在椭圆上，是椭圆的左､右焦点，若，且的面积为，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据题意由向量数量积和三角形面积公式可得，再利用椭圆定义和基本不等式即可求出.
【详解】如图所示：
不妨设，
则可知，，
两式相除可得，所以，
又，所以，
可得，
由椭圆的定义，得（当且仅当时等号成立），
所以.
故选：B.
8．已知圆和点，，若点在圆上，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两点距离公式结合圆的位置关系计算即可.
【详解】设，由，
得，
即点在圆上，
易知其圆心为，半径．
又圆的圆心为，半径，
而点在圆上，故圆与圆有公共点，
所以，
解之得，
即的取值范围是．
故选：C．
二、多选题
9．若直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】依题意可分截距为0和不为0两种情形讨论即可求解．
【详解】当截距为0时，
则l过点和原点，
所以l的方程为，即；
当截距不为0时，
由直线l过在两坐标轴上的截距互为相反数，
则设l的方程为，
又l过点，得，解得，
所以l的方程为．
故选：BD．
10．已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据条件先求出抛物线的标准方程，再逐项分析求解.
【详解】依题意，抛物线：的准线为，
因为为上一点，且，则，解得，故A正确；
抛物线：，焦点为，因为为上一点，则，
所以，所以，故B错误；
直线的方程为，代入：，得，
整理得，解得或，
因为为上一点且在轴下方，所以，所以，所以，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD.
11．如图，四边形，都是边长为2的正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，则（ ）
A．B．异面直线，所成角为
C．点到直线的距离为D．的面积是
【答案】ACD
【分析】先利用面面垂直的性质推得，，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，进而利用向量法逐一分析判断各选项即可.
【详解】因为四边形，都是正方形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，则，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
又，分别是线段，的中点，所以，，
所以，，
又，不共线，所以，故A正确；
，，设异面直线，所成角为，
则，又，所以，
即异面直线，所成角为，故B错误；
由，，得，
所以点到直线的距离为，故C正确；
因为，所以到的距离即为到的距离，
所以的面积，故D正确．
故选：ACD．
12．某高中通过甲、乙两家餐厅给1920名学生提供午餐，通过调查发现：开学后第一天有的学生到甲餐厅就餐，剩余的学生到乙餐厅就餐，从第二天起，在前一天选择甲餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择甲餐厅，在前一天选择乙餐厅就餐的学生中，次日会有的学生选择甲餐厅．设开学后第n天选择甲餐厅就餐的学生比例为，则（ ）
A．
B．是等比数列
C．第100天选择甲餐厅就餐的学生比例约为
D．开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有5750人次
【答案】ABD
【分析】根据给定的信息求出递推公式判断A；变形递推公式判断B；求出通项公式，利用通项公式求项及前7项和判断CD即可.
【详解】依题意，当时，，A正确；
当时，，又，即，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列，B正确；
显然，即，则，C错误；
显然，又有1920名学生，
所以开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有人次，D正确．
故选：ABD
三、填空题
13．已知等差数列的前项和为，若，则 .
【答案】3
【分析】根据等差数列的前n项求和公式和下标数字的特征，计算即可求解.
【详解】由题意知，
，又，所以.
故答案为：3
14．若为圆：上任意一点，点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】判断点与圆的位置关系，利用圆的性质即可得解.
【详解】圆：化为标准方程，得，
因为，
所以点在圆的内部，且，
所以的取值范围为.
故答案为：
15．已知，，，，则点到平面的距离为 .
【答案】/
【分析】由题意求出平面的法向量，利用向量法即可求点面距.
【详解】，，，
设平面的法向量，则即
令，则，，所以平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
故答案为：
16．已知分别是双曲线的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，从而由可知轴，设，又在渐近线上，可得，利用，和离心率的取值范围可得答案围．
【详解】由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，
由轴，可知轴，所以可设，
又在渐近线上，所以，所以，
因为的离心率的取值范围是，
所以，
又，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，利用求解.
四、解答题
17．已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值及取得最小值时n的值．
【答案】(1)
(2)当时，最小，最小值为-26
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程，解方程得到，，然后写通项即可；
（2）方法一：根据等差数列的性质求最小值即可；
方法二：根据前项和的函数性质求最小值.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由，，得，，解得，，
所以．
（2）方法一：由知是递增数列，
当时，；当时，．
所以，
所以当时，最小，最小值为．
方法二：，
又，所以当时，最小，最小值为-26.
18．已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上.
(1)求圆的方程；
(2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可;
（2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可.
【详解】（1）由已知可设圆心，则，解得或（舍），
所以圆的方程为.
（2）设圆心到直线的距离为，则，
即，解得，
又，所以，解得，
所以直线的方程为或
.
19．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若过双曲线的右顶点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，求线段的长度．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用双曲线与抛物线下的定义计算求抛物线标准方程即可；
（2）利用弦长公式计算即可.
【详解】（1）设双曲线的实轴长、短轴长、焦距分别为，
由可得，，所以，解得，
所以双曲线的右焦点为，
所以可设抛物线的标准方程为，其焦点为，
所以，即，
所以抛物线的标准方程为；
（2）由，得双曲线的右顶点为，
因为直线过点且斜率为2，所以直线的方程为，
设，，联立直线与拋物线的方程，
消去，得，所以，，
所以．
20．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点G，连接，，利用线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
因为F，G分别为，的中点，
所以，，
又E为的中点，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）
解：在直三棱柱中，平面，
又平面，平面，
所以，，又，
故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，， ，
设平面的法向量为，
则令得，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为.
21．已知数列的首项且满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)数列满足，，记，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，将递推公式变形，结合等比数列的定义即可证明；
（2）根据题意，求得数列的通项公式，再结合错位相减法即可得到结果.
【详解】（1）证明：由题意，得，所以，
又，所以，所以，
所以是首项为3，公比为3的等比数列．
（2）由（1），得，所以，
由，得，所以，，…，，
当时，；当时，，满足上式，所以，
，
所以，①
，②
①-②得
，
所以．
22．已知椭圆过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知的下顶点为，不过的直线与交于点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)
(2)过定点，
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，设的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由
，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）依题意，得又，解得
所以椭圆方程为.
（2）
因为，所以，
又为线段的中点，所以，因此.
根据题意可知直线的斜率一定存在，设的方程为，
联立消去，
得，
根据韦达定理可得，
因为，
所以
，
所以，
整理得，解得或.
又直线不经过点，所以舍去，
于是直线的方程为，恒过定点，该点在椭圆内，满足，
所以直线恒过定点，定点坐标为.
一、单选题
1．已知直线与直线平行，则实数（ ）
A． B．1C．D．3
【答案】B
【分析】根据直线平行的条件求解即可.
【详解】由两直线平行，得，解得.
当时，直线与直线平行，故.
故选：B.
2．数列-4，7，-10，13，…的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据数列中数据特征得到通项公式.
【详解】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是，
数值4，7，10，13，…满足，所以通项公式可以是．
故选：B．
3．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据线面垂直，可知，由此可得两向量坐标之间有倍数关系，即可求得答案.
【详解】当时，，所以，
则，解得，．
故选：C．
4．一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意双曲线的方程为，将点（，）代入计算可得.
【详解】由题意设双曲线的方程为，
将点（，）代入双曲线方程得，
所以双曲线的方程为，即.
故选：A.
5．设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用等差数列片断和性质即可得解.
【详解】在等差数列中，，，成等差数列，即，
设，则，于是，解得，所以．
故选：A
6．在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解.
【详解】由F为BE 的中点，得
又
所以，由
得
即所以
故选：D
7．已知点在椭圆上，是椭圆的左､右焦点，若，且的面积为，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据题意由向量数量积和三角形面积公式可得，再利用椭圆定义和基本不等式即可求出.
【详解】如图所示：
不妨设，
则可知，，
两式相除可得，所以，
又，所以，
可得，
由椭圆的定义，得（当且仅当时等号成立），
所以.
故选：B.
8．已知圆和点，，若点在圆上，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两点距离公式结合圆的位置关系计算即可.
【详解】设，由，
得，
即点在圆上，
易知其圆心为，半径．
又圆的圆心为，半径，
而点在圆上，故圆与圆有公共点，
所以，
解之得，
即的取值范围是．
故选：C．
二、多选题
9．若直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】依题意可分截距为0和不为0两种情形讨论即可求解．
【详解】当截距为0时，
则l过点和原点，
所以l的方程为，即；
当截距不为0时，
由直线l过在两坐标轴上的截距互为相反数，
则设l的方程为，
又l过点，得，解得，
所以l的方程为．
故选：BD．
10．已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据条件先求出抛物线的标准方程，再逐项分析求解.
【详解】依题意，抛物线：的准线为，
因为为上一点，且，则，解得，故A正确；
抛物线：，焦点为，因为为上一点，则，
所以，所以，故B错误；
直线的方程为，代入：，得，
整理得，解得或，
因为为上一点且在轴下方，所以，所以，所以，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD.
11．如图，四边形，都是边长为2的正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，则（ ）
A．B．异面直线，所成角为
C．点到直线的距离为D．的面积是
【答案】ACD
【分析】先利用面面垂直的性质推得，，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，进而利用向量法逐一分析判断各选项即可.
【详解】因为四边形，都是正方形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，则，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
又，分别是线段，的中点，所以，，
所以，，
又，不共线，所以，故A正确；
，，设异面直线，所成角为，
则，又，所以，
即异面直线，所成角为，故B错误；
由，，得，
所以点到直线的距离为，故C正确；
因为，所以到的距离即为到的距离，
所以的面积，故D正确．
故选：ACD．
12．某高中通过甲、乙两家餐厅给1920名学生提供午餐，通过调查发现：开学后第一天有的学生到甲餐厅就餐，剩余的学生到乙餐厅就餐，从第二天起，在前一天选择甲餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择甲餐厅，在前一天选择乙餐厅就餐的学生中，次日会有的学生选择甲餐厅．设开学后第n天选择甲餐厅就餐的学生比例为，则（ ）
A．
B．是等比数列
C．第100天选择甲餐厅就餐的学生比例约为
D．开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有5750人次
【答案】ABD
【分析】根据给定的信息求出递推公式判断A；变形递推公式判断B；求出通项公式，利用通项公式求项及前7项和判断CD即可.
【详解】依题意，当时，，A正确；
当时，，又，即，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列，B正确；
显然，即，则，C错误；
显然，又有1920名学生，
所以开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有人次，D正确．
故选：ABD
三、填空题
13．已知等差数列的前项和为，若，则 .
【答案】3
【分析】根据等差数列的前n项求和公式和下标数字的特征，计算即可求解.
【详解】由题意知，
，又，所以.
故答案为：3
14．若为圆：上任意一点，点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】判断点与圆的位置关系，利用圆的性质即可得解.
【详解】圆：化为标准方程，得，
因为，
所以点在圆的内部，且，
所以的取值范围为.
故答案为：
15．已知，，，，则点到平面的距离为 .
【答案】/
【分析】由题意求出平面的法向量，利用向量法即可求点面距.
【详解】，，，
设平面的法向量，则即
令，则，，所以平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
故答案为：
16．已知分别是双曲线的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，从而由可知轴，设，又在渐近线上，可得，利用，和离心率的取值范围可得答案围．
【详解】由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，
由轴，可知轴，所以可设，
又在渐近线上，所以，所以，
因为的离心率的取值范围是，
所以，
又，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，利用求解.
四、解答题
17．已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值及取得最小值时n的值．
【答案】(1)
(2)当时，最小，最小值为-26
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程，解方程得到，，然后写通项即可；
（2）方法一：根据等差数列的性质求最小值即可；
方法二：根据前项和的函数性质求最小值.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由，，得，，解得，，
所以．
（2）方法一：由知是递增数列，
当时，；当时，．
所以，
所以当时，最小，最小值为．
方法二：，
又，所以当时，最小，最小值为-26.
18．已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上.
(1)求圆的方程；
(2)已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可;
（2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可.
【详解】（1）由已知可设圆心，则，解得或（舍），
所以圆的方程为.
（2）设圆心到直线的距离为，则，
即，解得，
又，所以，解得，
所以直线的方程为或
.
19．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若过双曲线的右顶点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，求线段的长度．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用双曲线与抛物线下的定义计算求抛物线标准方程即可；
（2）利用弦长公式计算即可.
【详解】（1）设双曲线的实轴长、短轴长、焦距分别为，
由可得，，所以，解得，
所以双曲线的右焦点为，
所以可设抛物线的标准方程为，其焦点为，
所以，即，
所以抛物线的标准方程为；
（2）由，得双曲线的右顶点为，
因为直线过点且斜率为2，所以直线的方程为，
设，，联立直线与拋物线的方程，
消去，得，所以，，
所以．
20．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点G，连接，，利用线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
因为F，G分别为，的中点，
所以，，
又E为的中点，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）
解：在直三棱柱中，平面，
又平面，平面，
所以，，又，
故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，， ，
设平面的法向量为，
则令得，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为.
21．已知数列的首项且满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)数列满足，，记，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，将递推公式变形，结合等比数列的定义即可证明；
（2）根据题意，求得数列的通项公式，再结合错位相减法即可得到结果.
【详解】（1）证明：由题意，得，所以，
又，所以，所以，
所以是首项为3，公比为3的等比数列．
（2）由（1），得，所以，
由，得，所以，，…，，
当时，；当时，，满足上式，所以，
，
所以，①
，②
①-②得
，
所以．
22．已知椭圆过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知的下顶点为，不过的直线与交于点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)
(2)过定点，
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，设的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由
，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）依题意，得又，解得
所以椭圆方程为.
（2）
因为，所以，
又为线段的中点，所以，因此.
根据题意可知直线的斜率一定存在，设的方程为，
联立消去，
得，
根据韦达定理可得，
因为，
所以
，
所以，
整理得，解得或.
又直线不经过点，所以舍去，
于是直线的方程为，恒过定点，该点在椭圆内，满足，
所以直线恒过定点，定点坐标为.
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