2023-2024学年衡水中学高三上期末考试数学试题及参考答案

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二、选择题
三、填空题
0 14. ; 15. 16.
四、解答题：
17．(1)； (2)2
【详解】（1）双曲线的焦点为，所以设双曲线C的方程为，
因为，…………………………………………2分
解得，
所以双曲线C的方程为.………………………………………………4分
由可得，或，
设，或，则，………………………………6分
所以，……………………8分
因为或，所以当时，有最小值为2.……………………10分
18．(1)证明见解析；(2)二面角余弦值为.
【详解】（1）由已知，顶点在底面上的射影恰为点，即面，
由面，则，……………………………2分
又且，面，……………………………4分
所以面，在三棱柱中，所以平面.……………………5分
（2）过作，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，………………6分
则，故，所以，
，………………7分
令是面的一个法向量，则，令，则，………9分
而是平面的一个法向量，…………………………………………10分
平面和平面夹角的余弦值为.……………………12分
【详解】（1）证明：，………………………………4分
又，………………………………………………………5分
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.……………………………………………………………6分
（2）证明：【法一】由（1）知，所以，
所以，所以，………………………………8分
又，所以.………………………………………………………………… 10分
所以时，，又
所以，数列是首项为1，公差为1的等差数列.……………………………………………12分
【法二】由
，相减得……………………………8分
所以………11分
又
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.……………………………………12分
20（1）； （2）；
【详解】（1）【法一】因为，所以，①
因为，所以，……………………………1分
在中，由正弦定理得，②……………………………2分
在中，由正弦定理得，…………………………4分
将①代入得，所以，解得代入②得。………………6分
A
B
C
D
E
【法二】如图，延长至，使得，连结，
因为，所以，
所以…………………………………2分
令，因为，所以，
所以，
在中，，
所以，所以，
所以，…………………………4分
在中，，③
在中，，④
由③④解得…………………………………………6分
（2）由得，所以，……………………7 分
在中，由余弦定理得……………………………………8 分
即，将代入得，
化简得，解得，
因为，所以，所以……………………………………9 分
在中，由勾股定理得，所以，…………………………11 分
所以的面积为。………………………………………………………12 分
21．(1)；(2)存在点使得和之积为.
【详解】（1）折痕与线段的交点为，由题意可，
∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，………………………………………2分
∵长轴，，∴，
∴，则曲线C的方程为………………………………4分
（2）设直线的方程为，将直线方程和曲线C的方程联立 ，
消去得，其中，
设，,……………………………………………………6分
则，………………8分
消去和可得，……………………………10分
要使为定值，则，∵，∴，此时，
∴存在点使得和之积为.……………………………………12分
22.【解析】（1）的定义域是.求导得.
令，则.…………………1分
因为，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增.…………2分
注意到，所以在上，在上.
所以在上单调递减，在上单调递增.………………………………………………3分
（2）（i）的定义域是.求导得.
当时，，所以.……………4分
设函数，则. 令，得.
因为在上单调递增，所以在上，在上.
因此在上单调递减，在上单调递增.…………………………6分
于是，即. 所以在上单调递增.……………………………………7分
（ii）我们只需要证明当时，的最大值不大于的最大值.
由（i）知在上单调递增.
注意到，所以在上，在上.
所以函数，在上单调递减，在上单调递增.
故.
注意到，
所以，.……………9分
而
，……………11分
所以，即证得若，则.……………………12 分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
B
C
D
D
A
B
AC
CD
ACD
BCD