2023-2024学年浙江省舟山市定海区金瞿山五校联盟九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省舟山市定海区金瞿山五校联盟九年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下说法合理的是( )
A. 小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是23
B. 某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C. 某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是12
D. 小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是12
2.下列函数中，y是x的二次函数的是( )
A. y=2x2+1B. y=2xC. y= x2+4D. y=−3x2
3.已知⊙O的半径是4，点P在⊙O内，则OP的长可能是( )
A. 3B. 4C. 4.5D. 5
4.二次函数y=−5(x+2)2−6的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为( )
A. 向下、直线x=2、(2,6)B. 向下、直线x=−2、(−2,−6)
C. 向下、直线x=−2、(−2,6)D. 向上、直线x=2、(2,−6)
5.当ab>0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，AB=4，AC=2 3，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，点F在直线AF上且DF=BC，则BE最小值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 3
7.已知线段a，b，c，如果a：b：c=1：2：3，那么a+3b2c+b的值是( )
A. 76B. 67C. 78D. 87
8.如图，一位篮球运动员投篮，球的行进路线是沿抛物线y=ax2+x+2.25(x,y的单位都为m)，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，他距篮筐中心的水平距离OH是4m，则a的值为( )
A. −0.25
B. −0.24
C. −0.22
D. −0.2
9.如图，点A是以BC为直径的半圆的中点，连接AB，点D是直径BC上一点，连接AD，分别过点B、点C向AD作垂线，垂足为E和F，其中，CF=6，EF=3，BE=9，则AB的长是( )
A. 10
B. 12
C. 113
D. 3 13
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D为BC边上一动点(不与点B、C重合)，CE垂直AD交AB于点E，垂足为点H，连接BH并延长交AC于点F，下面结论正确的个数是( )
①若AD是BC边上的中线，则DH=2 55
②若AD平分∠CAB，则CDBD= 22
③若BD=2CD，则AE=3BE
④BH的最小值为 5
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，且分别标有数字，分别转动两个转盘一次，转盘停止时(若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止)，则两个指针所指区域的数字之积为偶数的概率是______ ．
12.如图，在△ABC中，D、E分别是AB和BC上的点，且DE/​/AC，ABBE=ACEC，ABAC=74，则ABBD= ______ ．
13.在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆心角的度数为______度．
14.二次函数y=x2与一次函数y=2x+1，C是一次函数图象上一点，D是抛物线的顶点，若CD⊥x轴，则线段CD的长为______ ．
15.如图，正方形ABCD的边长为2cm，点O为对角线交点，以各边中点为圆心，1cm为半径依次作34圆，连接点O和BC的中点E，则图中阴影部分的面积为______ ．
16.如图，已知点P是抛物线y=−mx2+6mx(m>0)的顶点，过P作直线AB分别交x轴正半轴和y轴正半轴于点A、B，交抛物线于点C，且∠BAO=45°，过点C作CG⊥x轴，垂足为G，若△ACG的面积是△PCG面积的2倍，则m的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
已知：线段a，b，c，且a3=b4=c5．
(1)求a+bb的值；
(2)如果线段a，b，c，满足a+b+c=36，求a，b，c的值．
18.(本小题6分)
如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E.连接AB、OB、BC．
(1)求证：∠CBO=∠ABD；
(2)若AE=4cm，CE=16cm，求弦BD的长．
19.(本小题6分)
如图在5×5的网格中，△ABC的顶点都在格点上.仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图.(请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示)

(1)在图1中，画出△ABC的重心G；
(2)在图2中，画线段CE，点E在AB上，使得S△ACE：S△BCE=3：4；
(3)图3中，在，△ABC内寻找一格点N，使∠ANB=2∠C.并标注点N的位置．
20.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的弦，C点是优弧AB的中点，连CO，BC．
(1)求证CO⊥AB；
(2)若BC=4 5，AB=8，求⊙O的半径长．
21.(本小题8分)
我校举行“创建文明城市，从我做起”的征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
(1)参加比赛的学生人数共有______ 名，在扇形统计图中，表示“B等级”的扇形的圆心角为______ 度，图中m的值为______ ；
(2)补全条形统计图；
(3)组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生征文比赛，已知A等级中男生有2名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
22.(本小题10分)
某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y(袋)与销售单价x(元)之间的关系满足下表，另外每天还需支付其他各项费用100元．
(1)请你从学过的一次函数、二次函数、反比例函数三个模型中确定哪种函数能恰当地表示y与x的变化规律，并直接写出y与x之间的函数关系式．
(2)为了在春节前将这批干果销售完，每天的销量不能低于150袋，如果每天获得200元的利润，销售单价为多少元？
(3)若每天的销量不能低于150袋，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
23.(本小题10分)
根据以下素材，探索完成任务．
24.(本小题12分)
【探究证明】
(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：EFGH=ABAD．
【结论应用】
(2)如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB=4，BC=6，求折痕EF的长；
【拓展运用】
(3)如图③，将矩形ABCD沿EF折叠.使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB=4，BC=6，EF=4 103，求BP的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，根据题意对选项逐个判断即可．
根据各个选项中的说法结合用频率估计概率的知识可以判断是否合理，从而可以解答本题．
【解答】
解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是23是错误的，
3次试验不能总结出概率，故选项A错误；
某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误；
某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，他击中靶的概率是12不正确，
中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，故选项C错误；
小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，
他认为再掷一次，正面朝上的可能性是12，故选项D正确．
故选D．
2.【答案】D
【解析】解：A、y不是x的二次函数，则A不符合题意；
B、是一次函数，则B不符合题意；
C、不是二次函数，则C不符合题意；
D、符合二次函数定义，它是二次函数，则D符合题意；
故选：D．
形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数即为二次函数，据此进行判断即可．
本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O内，
∴0≤OP<4，
选项中只有3符合题意．
故选：A．
根据点和圆的位置与圆的半径的关系求得OP的范围即可解答．
本题考查了点和圆的位置关系，熟知点和圆的位置与圆的半径的关系是解答的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵a=−5<0，抛物线y=−5(x+2)2−6的开口向下，对称轴为直线x=−2、顶点坐标为(−2,−6)，
故选：B．
根据顶点式y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k)，a=−5<0，开口象限，即可求解．
本题考查了二次函数顶点式y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k)，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，ab>0，则a、b同号，
当a>0时，b>0，y=ax2开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a<0时，b<0，y=ax2开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
根据题意，ab>0，则a、b同号，分a>0与a<0两种情况讨论，分析选项可得答案．
本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
即∠BDC+∠BCD=60°，
由旋转可知：CD=CE，∠DCE=60°=∠BCE+∠BCD，
∴∠BDC=∠BCE，
在△CDF和△ECB中，
DF=BC∠FDC=∠BCECD=CE，
∴△CDF≌△ECB(SAS)，
∴CF=BE，
则当CF⊥AD时，CF最小，即BE最小，
∵BC=2，AB=4，AC=2 3，∠ACB=90°，
∴点C到AD的距离为AC×BCAB=2 3×24= 3，
∴BE的最小值为 3，
故选：D．
首先通过证明△CDF≌△ECB(SAS)得到CF=BE，再根据垂线段最短将最小值转化为点C到AD的距离，最后利用面积法计算即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，面积法，旋转的性质，垂线段最短，知识点较多，解题的关键是能够通过全等三角形的性质将所求线段转化为其他线段．
7.【答案】C
【解析】解：∵a：b：c=1：2：3，
∴设a=x，则b=2x，c=3x，
∴a+3b2c+b=x+6x6x+2x=78．
故选：C．
直接利用已知条件进而表示出a，b，c，进而代入求出答案．
此题主要考查了比例线段，比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：根据题意，点(4,3.05)在抛物线y=ax2+x+2.25上，
∴3.05=16a+4+2.25，
解得a=−0.2，
故选：D．
用待定系数法即可求出答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法．
9.【答案】D
【解析】解：延长BE交⊙O于点M，连接CM，AC，
∵BC为直径，
∴∠M=90°，∠BAC=90°
又∵由BE⊥AF，CF⊥AF得：∠MEF=∠F=90°，
∴四边形EFCM是矩形，
∴MC=EF=3，EM=CF=6，
又∵BE=9，
∴BM=BE+EM=9+6=15，
∴BC= BM2+MC2= 152+32=3 26，
∵点A是以BC为直径的半圆的中点，
∴AB=AC，
又∵∠BAC=90°，
∴BC2=AB2+AC2=2AB2=234，
∴AB=3 13．
故选：D．
延长BE交⊙O于点M，连接CM，AC，证明∠M=90°，∠BAC=90°，四边形EFCM是矩形，可得MC=EF=3，EM=CF=6，求解BC= BM2+MC2=3 26，证明AB=AC，∠BAC=90°，再利用勾股定理可得答案．
本题考查了圆周角定理的推理——直径所对的圆周角是90度，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造两个直角三角形，将已知和待求用勾股定理建立等式．
10.【答案】B
【解析】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵BC=4，
∴CD=12BC=2，
∵∠ACB=90°，AC=4，
∴AD=AC AC2+CD2= 42+22=2 5，
∵CE⊥AD，
∴S△ACD=12AC⋅CD=12AD⋅CH，
∴AC⋅CD=AD⋅CH，
∴CH=AC⋅CDAD=4×22 5=4 55，
故①错误，不符合题意；
如图，过点C作CM//AB交AD的延长线于点M，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AB= 2AC，
∴ACAB= 22，
∵CM/​/AB，
∴∠M=∠MAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAM=∠BAM，
∴∠CAM=∠M，
∴CM=AC，
∵CM/​/AB，
∴△CDM∽△BDA，
∴CDBD=CMAB=ACAB= 22，
故②正确，符合题意；
当BD=2CD时，设CD=a，则BD=2a，
∴AC=BC=2a+a=3a，
过点B作BN⊥BC交CE的延长线于点N，
∴∠CBN=90°=∠ACD，
∴∠N+∠BCN=90°，
∵CE垂直AD，
∴∠BCN+∠HDC=90°，
∴∠HDC=∠N，
又AC=BC，∠CBN=∠ACD，
∴△ACD≌△CBN(AAS)，
∴CD=BN=a，
∵∠ACD+∠CBN=180°，
∴BN//AC，
∴△ACE∽△BNE，
∴AEBE=ACBN=3aa=3，
∴AE=3BE，
故③正确，符合题意；
∵CH⊥AH，
∴点H在以AC为直径的圆上，
当BH最短时，点F为AC的中点，
∴CF=12AC=2，
∴BF= BC2+CF2=2 5，
∴BH的最小值为2 5−2，
故④错误，不符合题意；
故选：B．
根据勾股定理求出AD=2 5，根据三角形面积公式求出CH=4 55，据此判断①不符合题意；
过点D作DM/​/AC交BF于点M，根据题意推出DM是△BCF的中位线，则CF=2DM，根据直角三角形的性质及平行线的性质推出△ACH∽△CDH，△ACH∽△ADC，△DMH∽△AFH，根据相似三角形的性质即可判断②不符合题意；
当BD=nCD时，设CD=a，则BD=an，AC=BC=an+a，过点B作BN⊥BC交CE的延长线于点N，结合题意及直角三角形的性质利用AAS推出△ACD≌△CBN(AAS)，根据全等三角形的性质得到CD=BN=a，根据∠ACD+∠CBN=180°，判断BN/​/AC，
进而推出△ACE∽△BNE，根据相似三角形的性质即可判断③不符合题意；
根据当BH最短时，点F为AC的中点，求解即可判断④符合题意
此题是三角形综合题，考查了勾股定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
11.【答案】23
【解析】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中两个指针所指区域的数字之积为偶数的结果数为4种，
所以两个指针所指区域的数字之积为偶数的概率=46=23．
故答案为：23．
画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出两个指针所指区域的数字之积为偶数的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
12.【答案】117
【解析】解：∵DE/​/AC，
∴BDAB=BEBC．
∵ABBE=ACEC，
∴ABAC=BEEC=74，
∴BEBC=711，
∴BDAB=711，
∴ABBD=117．
故答案为：117．
由平行线分线段成比例可得出BDAB=BEBC，由题意易得出ABAC=BEEC=74，从而得出BDAB=BEBC=711，最后得出ABBD=117．
本题考查平行线分线段成比例．推出ABAC=BEEC=74是解答本题的关键．
13.【答案】60
【解析】解：如图；连接OA、OB；
∵OA=OB=AB=2，
∴△OAB是等边三角形；
∴∠AOB=60°；
故弦AB所对的圆心角的度数为60°．
连接OA、OB，可证得△OAB是等边三角形，由此得解．
此题考查的是圆心角、弦的关系，涉及的知识点有：等边三角形的判定和性质．
14.【答案】1
【解析】解：如图所示，
∵D是抛物线的顶点，
∴点D是原点，
∴D(0,0)，
∵CD⊥x轴，C是一次函数图象上一点，
∴点C是一次函数y=2x+1与y轴的交点，
∵当x=0时，y=2x+1=0+1=1，
∴C(0,1)，
∴CD=1−0=1．
故答案为：1．
根据题意得到点D是原点，点C是一次函数y=2x+1与y轴的交点，然后求出点C的坐标，进而求解即可．
此题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意判断出点C和点D的位置．
15.【答案】(1−14π)cm2
【解析】解：过点O作OF⊥AB交AB于点F，如图所示：
∵E是BC的中点，且四边形ABCD是正方形，
∴OE⊥BC，
∵OF⊥AB，
∴四边形FBEO是正方形，
那么图中阴影部分的面积为：S正方形FBEO−14S⊙F−14S圆F=14×2×2−14π×12=1−14π(cm2)，
故答案为：(1−14π)cm2．
过点O作OF⊥AB交AB于点F，由题意，结合图形特征，图中阴影部分的面积为S正方形FBEO−14S⊙F，即可列式作答．
本题考查了圆面积以及正方形面积内容，观察出阴影面积是S正方形FBEO−14S⊙F是解题的关键．
16.【答案】 33
【解析】解：∵y=−mx2+6mx=−m(x−3)2+9m，
∴P(3,9m)，
∵∠BAO=45°，
∴OA=OB，
设直线AB的解析式为y=−x+b，
代入点P的坐标得：9m=−3+b，
∴b=9m+3，
∴直线AB的解析式为y=−x+9m+3，
∴点A的坐标为(9m+3,0)，
联立直线AB和抛物线的解析式，
得：y=−mx2+6mxy=−x+9m+3，
即：−x+9m+3=−mx2+6mx，
解得x=3或x=3m+1m，
∴C(3m+1m,9m2−1m)，
∴G(3m+1m,0)，
又∵△ACG的面积是△PCG面积的2倍，
∴9m+3−3m+1m=2(3m+1m−3)，
解得m=− 33或m= 33，
∵抛物线的开口向下，
∴m>0，
∴m= 33，
故答案为： 33．
先用含m的式子表示出P，A，C的坐标，再根据△ACG的面积是△PCG面积的2倍列出关于m的式子，求出m即可．
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记抛物线的顶点坐标公式，会用待定系数法求直线的解析式，能根据三角形的面积关系推导出三角形的顶点坐标的关系．
17.【答案】解：(1)∵a3=b4，
∴ab=34，
∴a+bb=3+44=74；
(2)设a3=b4=c5=k，
则a=3k，b=4k，c=5k，
∵a+b+c=36，
∴3k+4k+5k=36，
∴k=3，
∴a=9，b=12，c=15．
【解析】(1)根据比例的性质得出ab=34，即可得出a+bb的值；
(2)首先设a3=b4=c5=k，则a=3k，b=4k，c=5k，利用a+b+c=36求出k的值即可得出答案．
此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a=3k，b=4k，c=5k进而得出k的值是解题关键．
18.【答案】(1)证明：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
即∠ABD+∠CBD=90°，
∵AC⊥BD，
∴∠BEC=90°，
∴∠C+∠CBD=90°，
∴∠C=∠ABD，
∵OB=OC，
∴∠C=∠CBO，
∴∠CBO=∠ABE；
(2)解：∵AC⊥BD，
∴BE=DE，
∵AE=4cm，CE=16cm，
∴AC=20cm，
∴OB=10cm，OE=6cm，
在Rt△OBE中，BE= 102−62=8(cm)，
∴BD=2BE=16cm．
【解析】(1)先根据圆周角定理得到∠ABC=90°，再利用等角的余角相等得到∠C=∠ABD，然后利用∠C=∠CBO得到∠CBO=∠ABE；
(2)先根据垂径定理得到BE=DE，再计算出OB=10cm，OE=6cm，则利用勾股定理可计算出BE，从而得到BD的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
19.【答案】解：(1)如图1，点G为所作；
(2)如图2，CE为所作；
(3)如图3，点N为所作．

【解析】(1)利用网格特点确定AB和BC的中点D、E，则CD和AE的交点为△ABC的重心；
(2)取格点M、N，AM=3，BN=4，由于AM/​/BN，则AE：BE=AM：BN=3：4，然后根据三角形面积公式得到S△ACE：S△BCE=3：4；
(3)利用网格特点，作AB和AC的垂直平分线，它们相交于点N，则N点为△ABC的外心，所以根据圆周角定理得到∠ANB=2∠C．
本题考查了作图−复杂作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的重心、平行线分线段成比例定理和圆周角定理．
20.【答案】(1)证明：延长CO交AB于点D，交⊙O于点E，连接BE，

∵C点是优弧AB的中点，
∴弧AC=弧BC，
∴∠ABC=∠E．
∵CE是⊙O直径，
∴∠CBE=90°，
∴∠C+∠E=90°，
∴∠C+∠ABC=90°，
∴∠BDC=90°，
∴CO⊥AB；
(2)解：连接BO，设OC=OB=x，

∵CO⊥AB，
∴BD=12AB=4．
在Rt△CDB中，CD= BC2−BD2= (4 5)2−42=8，
∴OD=CD−OC=8−x．
在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，
∴(8−x)2+42=x2，
解得：x=5，
故⊙O的半径长5．
【解析】(1)延长CO交AB于点D，交⊙O于点E，连接BE，先证明∠ABC=∠E，再证明∠CBE=90°即可；
(2)连接BO，设OC=OB=x，先根据垂径定理得BD=12AB=4，再在Rt△CDB中和Rt△ODB中，根据勾股定理即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线．
21.【答案】20 90 40
【解析】解：(1)根据题意得：3÷15%=20(人)，即参赛学生共20人；
则B等级人数20−(3+8+4)=5(人)．
“B等级”的扇形的圆心角的度数为：360°×520=90°；
“C等级”的所占的百分比为：820×100%=40%，即m=40．
故答案为：20，90，40．
(2)补全条形图如下：
(3)根据题意，列表表示出所有可能出现的结果如下：
由表可知共有6种等可能的结果，其中所选两名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有4种，
∴所选学生恰是一男一女的概率=46=23．
(1)根据等级为A的人数除以所占的百分比求出学生总数，再用总人数减去A、C、D的人数得到“B等级”，然后用360°乘以“B等级”所占的百分比即可求得“B等级”的扇形的圆心角的度数；再后求出“C等级”所占的百分比即可求得m的值；
(2)根据(1)求得“B等级”的数量，补全条形统计图即可；
(3)列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，然后根据概率公式计算即可．
本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列表法求概率等知识点，弄清题意、从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)从表格中可以看出y与x成一次函数，
y与x之间的函数关系式为y=−100x+700；
(2)由题意得：(x−3)(−100x+700)−100=200，
整理得：x2−10x+24=0，
解得：x1=4，x2=6，
∵−100x+700≥150，解得x≤5.5，
又∵销售单价x⩾3，
∴3⩽x⩽5.5，
∴x=4，
∴如果每天获200元的利润，销售单价为4元；
(3)设每天的利润为w元，
由题意得：w=(x−3)(−100x+700)−100
=−100x2+1000x−2200
=−100(x−5)2+300，
∵a=−100<0，3≤x≤5.5，
∴当x=5时，w有最大值300．
∴当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是300元．
【解析】解：(1)从表格中可以看出y与x成一次函数，
设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将x=4，y=300；x=5，y=200分别代入得：
4k+b=3005k+b=200，
解得：k=−100，b=700，
∴y与x之间的函数关系式为y=−100x+700；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，用待定系数法求解即可；
(2)根据每天获得200元的利润，列出关于x的一元二次方程并求解，再结合3≤x≤5.5即可求解；
(3)根据每天的利润=每天每袋的利润×销售量−每天需支付的其他各项费用，列出w关于x的二次函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可．
本题考查了一元二次方程与二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】解：任务1：
以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：

∵AB=24，CD=4，
∴点B的坐标为(12,0)，顶点C为(0,4)，
设抛物线解析式为y=ax2+4，
把B(12,0)代入得0=144a+4，
解得a=−136，
∴这条抛物线的函数表达式为y=−136x2+4；
任务2：
过点E作EM⊥FK于点M，如图：

∵EF=EK=1.7米，FK=3米，
∴FM=1.5米，
∴EM= 1．72−1．52=0.8(米)，
由题意可知，当PQ最大时，
点E的纵坐标为 0.8+1.26+0.5=2.56，
在y=−136x2+4中，令y=2.56，得2.56=−136x2+4，
解得x=7.2或x=−7.2，
∵FG=JK=0.4米，FM=1.5米，
∴MG=MJ=1.1米，
∵游船底部HI在P，Q之间通行，
∴PQ的最大值为(7.2+1.1)×2=16.6(米)．
【解析】任务1：以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，求出点B的坐标为(12,0)，顶点C为(0,4)，再用待定系数法可得答案；
任务2：过点E作EM⊥FK于点M，求出EM= 1．72−1．52=0.8(米)，当PQ最大时，点E的纵坐标为 0.8+1.26+0.5=2.56，令y=2.56，得x=7.2或x=−7.2，可得MG=MJ=1.1米，即可得PQ的最大值．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．
24.【答案】(1)证明：如图①，过点A作AP/​/EF，交BC于P，过点B作BQ/​/GH，交CD于Q，BQ交AP于T．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/DC，AD//BC．
∴四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形，
∴AP=EF，GH=BQ．
又∵GH⊥EF，
∴AP⊥BQ，
∴∠BAT+∠ABT=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP=∠C=90°，AD=BC，
∴∠ABT+∠CBQ=90°，
∴∠BAP=∠CBQ，
∴△ABP∽△BCQ，
∴APBQ=ABBC，
∴EFGH=ABAD；
(2)解：如图②中，连接BD．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AB=CD=4，
∴BD= BC2+CD2= 62+42=2 13，
∵D，B关于EF对称，
∴BD⊥EF，
∴EFBD=ABAD，
∴EF2 13=46，
∴EF=4 133；
(3)解：如图③中，过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，AD=BC=6，∠A=90°，
∴4 103DG=46，
∴DG=2 10，
∴AG= DG2−AD2= 40−36=2，
由翻折可知：ED=EG，设ED=EG=x，
在Rt△AEG中，EG2=AE2+AG2，
∴x2=AG2+AE2，
∴x2=(6−x)2+22，
∴x=103，
∴DE=EG=103，AE=6−103=83，
∵FH⊥EG，
∴∠FHG=∠HGP=∠GPF=90°，
∴四边形HGPF是矩形，
∴FH=PG=CD=4，
∴EH= EF2−FH2= (4 103)2−42=43，
∴GH=FP=CF=EG−EH=103−43=2，
∵PF/​/EG，EA/​/FB，
∴∠AEG=∠JFP，
∵∠A=∠FJP=90°，
∴△AEG∽△JFP，
∴AEFJ=AGPJ=EGFP，
∴83FJ=2PJ=1032，
∴FJ=85，PJ=65，
∴BJ=BC−FJ−CF=6−85−2=125，
在Rt△BJP中，BP= BJ2+PJ2= (65)2+(125)2=6 55．
【解析】(1)过点A作AP/​/EF，交CD于P，过点B作BQ/​/GH，交AD于Q，BQ交AP于T，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△ABP∽△BCQ，然后运用相似三角形的性质就可解决问题．
(2)利用探究的结论解决问题即可．
(3)如图③中，过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J.利用探究的结论求出DG，利用勾股定理求出AG，设ED=EG=x，在Rt△AEG中，根据EG2=AE2+AG2，求出DE，EG，证明△AEG∽△JFP，推出AEFJ=AGPJ=EGFP，求出FJ，PJ即可解决问题．
本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．销售单价x(元)
3.5
4
4.5
5
5.5
销售量y(袋)
350
300
250
200
150
如何设计警戒线之间的宽度？
素材1

图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度AB=24米，拱顶离水面的距离为CD=4米．
素材2
拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形.如图3，测得相关数据如下：EF=EK=1.7米，FK=3米，GH=IJ=1.26米，FG=JK=0.4米．
素材3
为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设置航行警戒线，要求如下：
①游船底部HI在P，Q之间通行；
②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．
问题解决
任务1
确定拱桥形状
在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式．
任务2
设计警戒线之间的宽度
求PQ的最大值．
女
男1
男2
女
女男1
女男2
男1
男1女
男1男2
男2
男2女
男2男1