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2023-2024学年四川省成都市第二十中学校高一上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年四川省成都市第二十中学校高一上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，则集合 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由并集运算的定义可得.
【详解】，，
根据并集运算的定义可得，
.
故选：A.
2．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】找出的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】，所以，“”“”，但“”“”，
所以，“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
3．已知函数为R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【答案】A
【分析】利用奇函数的性质求时的函数解析式即可.
【详解】设，则，又.
故选：A
4．函数y=对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m>2B．m<2
C．m<0或m>2D．0≤m≤2
【答案】D
【分析】解不等式=m2-2m≤0即得解.
【详解】由题意知x2+mx+≥0对一切x∈R恒成立，
所以=m2-2m≤0，所以0≤m≤2.
故选：D
5．若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据题意求出的定义域为，再由可求得的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，则，可得，
所以函数的定义域为，
对于函数，则，得，
所以的定义域为.
故选：C
6．计算的值为
A．17B．18
C．6D．5
【答案】B
【分析】利用指数幂的运算法则结合所给等式整理计算即可求得最终结果.
【详解】．
故选B.
【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则与应用，属于中等题.
7．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用均值不等式求出最小值，根据题意列不等式求解即可.
【详解】
，要使得不等式有解，只需有解即可，
解得或者，
故选：D
8．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造，由题意可得为偶函数且在上递增，在上递减，再由等价于或，即可求解集.
【详解】由题设，在上递减，又上有，
所以，即为偶函数，
根据偶函数的对称性知：在上递增，
由，即，则上，上，
由，则或，可得.
故选：C
二、多选题
9．设，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】利用作差比较逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以，因此本选项正确；
B：因为，所以，因此本选项正确；
C：因为，所以，因此本选项不正确；
D：因为，所以，因此本选项不正确，
故选：AB
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．为奇函数D．为增函数
【答案】ACD
【分析】根据解析式画出草图判断定义域、值域和单调性，应用奇偶性定义判断函数的奇偶性.
【详解】由函数解析式，定义域为R，且图象大致如下：
由图知：值域为，且在定义域上递增，
令，则，故，
令，则，故，且，
所以为奇函数.
故选：ACD
11．关于定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．时，函数解析式为B．函数在定义域R上为增函数
C．不等式的解集为D．不等式恒成立
【答案】AC
【解析】对于A，利用偶函数定义求时，函数解析式为；对于B，研究当时，的单调性，结合偶函数图像关于轴对称，知在上的单调性；对于C，求出，不等式，转化为，利用单调性解不等式；对于D，分类讨论与两种情况是否恒成立.
【详解】对于A，设，，
则，
又是偶函数，
所以，
即时，函数解析式为，故A正确；
对于B，，对称轴为，
所以当时，单调递增，
由偶函数图像关于轴对称，
所以在上为减函数，故B不正确；
对于C，当时，，
解得，（舍去），
即，
所以不等式，
转化为，
又在上为偶函数，
得，
所以不等式的解集为，故C对；
对于D，当时，，
，
不恒小于；
当时，，
不恒小于0，故D错；
故选：AC.
【点睛】方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：
（1）把不等式转化为的模型；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.
考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法：
（1）已知函数类型，用待定系数法求解析式；
（2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；
（3）已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法；
（4）若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；
12．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】分和三种情况讨论，结合对勾函数的单调性确定复合函数单调性判断即可.
【详解】当时，，则选项C符合；
当，故排除D；
当时，的定义域为，
当时，当且仅当时取等号，
由于在为减函数，为增函数，
则函数在上为增函数，在为减函数，
是奇函数，
则奇偶性可得在上的单调性，故选项B符合；
当时，的定义域为，
当，，由于在，为增函数，
则在，为减函数，
是奇函数，
则由奇偶性可得在上的单调性，故A符合.
故选：ABC.
三、填空题
13．函数的定义域是
【答案】
【分析】依题意可知，根号下的式子为非负且分母不为0，解不等式即可求得结果.
【详解】根据题意可知需满足，解得且；
所以函数定义域为.
故答案为：
14．如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】先由函数解析式，确定二次函数对称轴，以及单调性，再由题意，即可得出结果.
【详解】因为的对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又函数在区间上是增函数，
因此.
故答案为
【点睛】本题主要考查由二次函数的单调性求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.
15．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是
【答案】10
【分析】由题意，设该厂月获利为元，获利=总收入-成本，即，求解二次不等式即可.
【详解】由题意，设该厂月获利为元，则：
，
当工厂日获利不少于1 000元时，即，
即，
解得：.
故该厂日产量最少生产风衣的件数是10.
故答案为：10
16．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】令、，求出函数的最小值及函数的单调性，再求出两函数的交点坐标，最后对分类讨论，分别计算可得.
【详解】解：对于函数，则，当且仅当时取等号，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
对于函数，令，则，且函数在定义域上单调递减，
令，解得或，所以与的两个交点分别为、，
则函数与的图象如下所示：
当时，当时，当时，
显然，此时函数的值域不为，不符合题意；
当时，当时，当时，
此时，即，此时函数的值域不为，不符合题意；
当时，在时，即，
此时的值域为，符合题意，
当时，当时，当时，
此时，即，此时函数的值域为，符合题意；
综上可得.
故答案为：
四、解答题
17．已知集合，，，．
(1)求，．
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，.
(2)
【分析】（1）直接计算交集并集得到答案.
（2）确定得到，解得答案.
【详解】（1），，则，.
（2），故，故，解得，即
18．函数
(1)画出函数的图象；
(2)当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）．
(3)若有四个不相等的实数根，求的取值范围．（直接写出结果，不要求过程）
【答案】(1)图象见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据分段函数解析式画出函数图象即可；
（2）根据图象分析区间单调性，分别求出各区间端点值，即可知值域；
（3）由题意与有4个交点，数形结合即可确定参数范围.
【详解】（1）由解析式得图象如下，
（2）由（1）图象知：在、上递增，在、上递递减，
且，，，，
综上，在上值域为.
（3）由函数图象知：有四个不相等的实数根，即与有4个交点，
所以.
19．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增
(1)求的值及函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)且；
(2)或.
【分析】（1）由幂函数的区间单调性有求参数范围，结合及对称性确定参数值，并写出解析式；
（2）由偶函数的区间单调性有，两边平方并解一元二次不等式求参数范围.
【详解】（1）由幂函数在上单调递增知，又，
当或，为奇函数，关于原点对称，不合题设；
当，为偶函数，关于轴对称，符合；
综上，且.
（2）由偶函数在上单调递增，则在上单调递减，
由，则，
所以，可得或.
20．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.
(1)当时，求海报纸（矩形）的周长；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】(1)900cm
(2)选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少
【分析】（1）根据宣传栏的面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长；
（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.
【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为cm，
所以阴影部分的面积，所以，
又，故，
由图可知cm，cm.
海报纸的周长为cm.
故海报纸的周长为900 cm.
（2）由（1）知，，，
，
当且仅当，即cm，cm时等号成立，
此时，cm，cm.
故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少.
21．已知函数为奇函数
(1)求实数的值及函数的值域；
(2)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，值域为
(2)
【分析】（1）先利用奇函数求出，分离常数项，可得函数的值域；
（2）分离参数，利用换元法，结合基本不等式可得结果.
【详解】（1）函数为奇函数，定义域为，
则，所以，经检验知符合题意；
因为，则
所以函数的值域为.
（2）由题知：当恒成立；
则；
令，
所以；
又，当且仅当时等号成立，
而，所以，
则.
22．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求，的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递增；
(3)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得.
（2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增.
（3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）由于奇函数在处有定义，所以，，
，.
经检验符合题意；
（2）由（1）知.
任取、且，即，则，，
所以，，
则，所以，函数在上单调递增.
（3）由（2）知，
所以对于任意的恒成立,
即对于任意的恒成立,
所以，解得或,
所以的取值范围为.
【点睛】在利用函数的奇偶性求函数的解析式时，除了奇偶函数的定义：以外，还有一些特殊的方法.如奇函数若在处有定义，可利用来求参数.
一、单选题
1．若集合，则集合 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由并集运算的定义可得.
【详解】，，
根据并集运算的定义可得，
.
故选：A.
2．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】找出的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】，所以，“”“”，但“”“”，
所以，“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
3．已知函数为R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（ ）
A．B．C．D．以上都不对
【答案】A
【分析】利用奇函数的性质求时的函数解析式即可.
【详解】设，则，又.
故选：A
4．函数y=对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m>2B．m<2
C．m<0或m>2D．0≤m≤2
【答案】D
【分析】解不等式=m2-2m≤0即得解.
【详解】由题意知x2+mx+≥0对一切x∈R恒成立，
所以=m2-2m≤0，所以0≤m≤2.
故选：D
5．若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据题意求出的定义域为，再由可求得的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，则，可得，
所以函数的定义域为，
对于函数，则，得，
所以的定义域为.
故选：C
6．计算的值为
A．17B．18
C．6D．5
【答案】B
【分析】利用指数幂的运算法则结合所给等式整理计算即可求得最终结果.
【详解】．
故选B.
【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则与应用，属于中等题.
7．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用均值不等式求出最小值，根据题意列不等式求解即可.
【详解】
，要使得不等式有解，只需有解即可，
解得或者，
故选：D
8．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造，由题意可得为偶函数且在上递增，在上递减，再由等价于或，即可求解集.
【详解】由题设，在上递减，又上有，
所以，即为偶函数，
根据偶函数的对称性知：在上递增，
由，即，则上，上，
由，则或，可得.
故选：C
二、多选题
9．设，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】利用作差比较逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以，因此本选项正确；
B：因为，所以，因此本选项正确；
C：因为，所以，因此本选项不正确；
D：因为，所以，因此本选项不正确，
故选：AB
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．为奇函数D．为增函数
【答案】ACD
【分析】根据解析式画出草图判断定义域、值域和单调性，应用奇偶性定义判断函数的奇偶性.
【详解】由函数解析式，定义域为R，且图象大致如下：
由图知：值域为，且在定义域上递增，
令，则，故，
令，则，故，且，
所以为奇函数.
故选：ACD
11．关于定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．时，函数解析式为B．函数在定义域R上为增函数
C．不等式的解集为D．不等式恒成立
【答案】AC
【解析】对于A，利用偶函数定义求时，函数解析式为；对于B，研究当时，的单调性，结合偶函数图像关于轴对称，知在上的单调性；对于C，求出，不等式，转化为，利用单调性解不等式；对于D，分类讨论与两种情况是否恒成立.
【详解】对于A，设，，
则，
又是偶函数，
所以，
即时，函数解析式为，故A正确；
对于B，，对称轴为，
所以当时，单调递增，
由偶函数图像关于轴对称，
所以在上为减函数，故B不正确；
对于C，当时，，
解得，（舍去），
即，
所以不等式，
转化为，
又在上为偶函数，
得，
所以不等式的解集为，故C对；
对于D，当时，，
，
不恒小于；
当时，，
不恒小于0，故D错；
故选：AC.
【点睛】方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：
（1）把不等式转化为的模型；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.
考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法：
（1）已知函数类型，用待定系数法求解析式；
（2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；
（3）已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法；
（4）若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；
12．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】分和三种情况讨论，结合对勾函数的单调性确定复合函数单调性判断即可.
【详解】当时，，则选项C符合；
当，故排除D；
当时，的定义域为，
当时，当且仅当时取等号，
由于在为减函数，为增函数，
则函数在上为增函数，在为减函数，
是奇函数，
则奇偶性可得在上的单调性，故选项B符合；
当时，的定义域为，
当，，由于在，为增函数，
则在，为减函数，
是奇函数，
则由奇偶性可得在上的单调性，故A符合.
故选：ABC.
三、填空题
13．函数的定义域是
【答案】
【分析】依题意可知，根号下的式子为非负且分母不为0，解不等式即可求得结果.
【详解】根据题意可知需满足，解得且；
所以函数定义域为.
故答案为：
14．如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】先由函数解析式，确定二次函数对称轴，以及单调性，再由题意，即可得出结果.
【详解】因为的对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又函数在区间上是增函数，
因此.
故答案为
【点睛】本题主要考查由二次函数的单调性求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.
15．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是
【答案】10
【分析】由题意，设该厂月获利为元，获利=总收入-成本，即，求解二次不等式即可.
【详解】由题意，设该厂月获利为元，则：
，
当工厂日获利不少于1 000元时，即，
即，
解得：.
故该厂日产量最少生产风衣的件数是10.
故答案为：10
16．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】令、，求出函数的最小值及函数的单调性，再求出两函数的交点坐标，最后对分类讨论，分别计算可得.
【详解】解：对于函数，则，当且仅当时取等号，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
对于函数，令，则，且函数在定义域上单调递减，
令，解得或，所以与的两个交点分别为、，
则函数与的图象如下所示：
当时，当时，当时，
显然，此时函数的值域不为，不符合题意；
当时，当时，当时，
此时，即，此时函数的值域不为，不符合题意；
当时，在时，即，
此时的值域为，符合题意，
当时，当时，当时，
此时，即，此时函数的值域为，符合题意；
综上可得.
故答案为：
四、解答题
17．已知集合，，，．
(1)求，．
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，.
(2)
【分析】（1）直接计算交集并集得到答案.
（2）确定得到，解得答案.
【详解】（1），，则，.
（2），故，故，解得，即
18．函数
(1)画出函数的图象；
(2)当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）．
(3)若有四个不相等的实数根，求的取值范围．（直接写出结果，不要求过程）
【答案】(1)图象见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据分段函数解析式画出函数图象即可；
（2）根据图象分析区间单调性，分别求出各区间端点值，即可知值域；
（3）由题意与有4个交点，数形结合即可确定参数范围.
【详解】（1）由解析式得图象如下，
（2）由（1）图象知：在、上递增，在、上递递减，
且，，，，
综上，在上值域为.
（3）由函数图象知：有四个不相等的实数根，即与有4个交点，
所以.
19．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增
(1)求的值及函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)且；
(2)或.
【分析】（1）由幂函数的区间单调性有求参数范围，结合及对称性确定参数值，并写出解析式；
（2）由偶函数的区间单调性有，两边平方并解一元二次不等式求参数范围.
【详解】（1）由幂函数在上单调递增知，又，
当或，为奇函数，关于原点对称，不合题设；
当，为偶函数，关于轴对称，符合；
综上，且.
（2）由偶函数在上单调递增，则在上单调递减，
由，则，
所以，可得或.
20．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.
(1)当时，求海报纸（矩形）的周长；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】(1)900cm
(2)选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少
【分析】（1）根据宣传栏的面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长；
（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.
【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为cm，
所以阴影部分的面积，所以，
又，故，
由图可知cm，cm.
海报纸的周长为cm.
故海报纸的周长为900 cm.
（2）由（1）知，，，
，
当且仅当，即cm，cm时等号成立，
此时，cm，cm.
故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少.
21．已知函数为奇函数
(1)求实数的值及函数的值域；
(2)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，值域为
(2)
【分析】（1）先利用奇函数求出，分离常数项，可得函数的值域；
（2）分离参数，利用换元法，结合基本不等式可得结果.
【详解】（1）函数为奇函数，定义域为，
则，所以，经检验知符合题意；
因为，则
所以函数的值域为.
（2）由题知：当恒成立；
则；
令，
所以；
又，当且仅当时等号成立，
而，所以，
则.
22．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求，的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递增；
(3)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得.
（2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增.
（3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）由于奇函数在处有定义，所以，，
，.
经检验符合题意；
（2）由（1）知.
任取、且，即，则，，
所以，，
则，所以，函数在上单调递增.
（3）由（2）知，
所以对于任意的恒成立,
即对于任意的恒成立,
所以，解得或,
所以的取值范围为.
【点睛】在利用函数的奇偶性求函数的解析式时，除了奇偶函数的定义：以外，还有一些特殊的方法.如奇函数若在处有定义，可利用来求参数.
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