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2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区南京师大附中高一上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区南京师大附中高一上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由集合B的描述，及集合A中元素，应用交运算写出.
【详解】对于集合B，由时，由时．
此外的取值都不在集合A内，均不满足交集结果．
所以.
故选：D
2．函数的增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据不等式，求得函数的定义域，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，即，解得或，
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，
根据复数函数的单调性，可得函数的增区间为.
故选：A.
3．若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用特称命题的真假计算参数即可.
【详解】由题意可知=“，使得”成立，即方程有实数解，
所以.
故选：D
4．已知幂函数的定义域为，且，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案.
【详解】因为幂函数的定义域为R，故，
解得，
又，所以，
检验，时，，即，满足题意．
故选：C
5．已知二次函数的图像与轴交于两点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求得，然后解一元二次不等式求得正确答案.
【详解】由题意得的两根为，
所以由韦达定理得，即，
此时有，解得．
故选：A
6．有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当很大时，其中称为欧拉—马歇罗尼常数，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在很大时才成立，故当较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定的误差的，已知，用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（ ）
A．0.03B．0.12C．0.17D．0.21
【答案】B
【分析】根据题中所给的近似公式，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】而，与实际的的误差绝对值近似为：
，
故选：B
7．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数定义域，以及指定范围内函数值正负排除部分选项后，即可选出正确选项.
【详解】由函数定义域相关知识可知分母不为零，则，即，
即的定义域为，可排除A；
当时，，可排除CD．
故选：.
8．已知互不相同的实数，满足，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】令，用对数来表示，代入所求式子进行化简即可.
【详解】，
所以，，，代入
化简得：.
故选：B
二、多选题
9．下列各个选项中，满足的集合有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】先化简集合，利用子集的含义可得答案.
【详解】因为，即有，
所以中定有和3，故排除B，又因为是的真子集，故排除D．
故选：AC.
10．下列四组函数中，与（或）表示同一函数的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】从定义域和对应关系两方面判断是否相同，判断是否是同一函数.
【详解】A选项，的定义域为R，定义域为，定义域不同，
不是同一函数，A错误；
B选项，，两函数定义域和对应关系均相同，为同一函数，B正确；
C选项，的定义域为R，的定义域为，
定义域不同，不是同一函数，C错误；
D选项，，，两函数定义域和对应关系均相同，为同一函数，D正确.
故选：BD
11．下列各个选项中，是的充分不必要条件的有（ ）
A．在中，是钝角，是钝角三角形
B．均为无理数，为无理数
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据充分不必要条件的定义结合选项逐个验证可得答案.
【详解】钝角三角形中三个角都有可能为钝角，是的充分不必要条件，故A正确；
若，则，所以不是充分条件，故B不正确；
由可得且，是的充分不必要条件，故C正确；
若，则，但，所以不是充分条件，故D不正确．
故选：AC.
12．当时，用表示不超过的最大整数，如：．已知函数，则（ ）
A．B．函数的值域为
C．存在无数多个，有D．存在无限实数集，对于，当时，有
【答案】BCD
【分析】取特殊范围探究规律，然后作出函数图象观察即可得答案.
【详解】首先注意定义域，即，由定义可知时，
即的定义域为．故A错．
不妨取一些特殊范围进行观察：
时，，即；
时，，即；
时，，即；
接下来我们不妨找到一般性规律，且时有：
时，，即；
作出函数图象如图：
由图可知，函数的值域为，B正确；
存在无数个，使得，故C正确；
由图可知，存在无数递减区间，故D正确.
故选：BCD．
【点睛】本题难点在于对新定义的理解，然后通过特殊范围探究函数规律，最后利用函数图象即可求解.
三、填空题
13．已知，则 ．
【答案】/0.5
【分析】利用已知结合立方和公式可得出结果，
【详解】因为，
．
故答案为：0.5.
14．若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用根的分布列出限制条件可得答案或者利用函数图象列出不等关系可得答案.
【详解】法一：要满足题意，则，解得．
法二：令，得，
即时，与的图象有两个交点，
作如下图，可知．
故答案为：.
15．已知函数，若存在非零实数，使得，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，转化为在上存在根，结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解.
【详解】设，则，使得成立，
即在上存在根，
设，则的图象与的非负半轴有公共点，
因为对称轴的方程为，只需，即，
设，则，使得成立，
即，即在上存在根，
设，则的图象与的负半轴有公共点，
因为对称轴的方程为，只需，即，
综上可得，实数的取值范围为．
故答案为：．
16．已知，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】化简，根据代数式的知识求得最小值.
【详解】，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
四、解答题
17．计算：
(1)：
(2)．
【答案】(1)4
(2)3
【分析】（1）利用指数的运算进行求解；
（2）利用对数的运算求解即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式．
18．设函数
(1)利用函数单调性的定义，证明：函数在上单调递增：
(2)当时，求函数的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）任取、，且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义即可证得结论成立；
（2）由已知可得，利用基本不等式可求得在上的最小值.
【详解】（1）证明：任取、，且，
则
，
因为，所以，，，，
故．所以在单调递增．
（2）解：
，
当且仅当，即当时取等号，所以最大值为．
19．南京马拉松作为江苏省的省会马拉松赛，创办于2015年，六年的时间它已成为中国马拉松金牌赛事世界田联标牌赛事，有穿越中华门、玄武湖、总统府等经典景点的比赛路线，为了迎接2023年11月南京马拉松赛的回归，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为两个全等的直角三角形和一个等腰三角形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度也都是），．
(1)当时，求海报纸（矩形）的周长：
(2)为了节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】(1)
(2)长，宽
【分析】（1）根据题意，得到宣传栏的面积为，得到海报周长，进而得的海报的周长；
（2）由（1）知，结合基本不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设，直角三角形另一个直角边长为，
则有宣传栏的面积为，
且海报周长，
又由，即，
因为，则，所以海报周长，
答：海报纸的周长为．
（2）解：由（1）知
，
当且仅当时取等，此时，解得，
即长和宽时，使用纸量最少．
20．设甲：，乙：．
(1)当时，求甲中不等式的解集；
(2)若甲是乙的必要不充分条件，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用分类讨论求解绝对值不等式即可；
（2）首先解分式不等式，讨论与0的大小关系，在对应情况下应用分类讨论求绝对值，最后由必要不充分条件列不等组求参数范围．
【详解】（1）时，甲：，
①时，甲：，解得，故；
②时，甲：，解得，故；
③时，甲：，解得，故；
综上所述，甲中不等式的解集为；
（2）乙：．
（ⅰ）时
①时，甲：，解得；
②时，甲：，解得；
③时，甲：，解得；
由题意得，乙中不等式的解集是甲中不等式的解集的真子集．
所以要满足题意则，解得；
（ⅱ）时
①时，甲：，解得；
②时，甲：，解得；
此时甲中不等式的解集为，满足题意；
（ⅲ）时
①时，甲：，解得；
②时，甲：，化简得；
③时，甲：，解得；
要满足题意则，解得，此时.
综上所述，的取值范围是．
21．已知定义在上的函数满足，且在上单调递减．
(1)证明：函数是偶函数；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用赋值法及偶函数的定义计算即可；
（2）根据（1）的结论及函数的性质计算即可.
【详解】（1）令得，即；
令得，即．
令得，即，
所以是偶函数得证；
（2）由已知定义，
所以即，所以，
因为是偶函数，且在单调递减，
所以，
即的解集为．
22．设．
(1)若对于，且，都有成立，求的取值范围；
(2)若关于的方程有实根，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，化简得到，分和，两种情况讨论，即可求解；
（2）根据题意，得到至少有一根应属于的值域，求得，求得方程的两根，再分和，两种情况讨论，进而求得实数的范围．
【详解】（1）解：由函数，因为，
即，
化简整理得，
①当时，，打开整理得，不成立，舍去；
②当时，，打开整理得，恒成立，满足题意．
综上所述，的取值范围是.
（2）解：设，则有，
要满足题意，则至少有一根应属于的值域，
先研究的根：，
所以，
此时满足题意的必要条件为，即，
由求根公式可得，方程的两根为
①当时，，
即需，同乘得，
即，此时恒成立，
故时恒满足题意．
②当时，，
即需，同乘得，
即．
同理可得时，恒成立，即恒满足题意．
综上所述，的取值范围是．
一、单选题
1．已知集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由集合B的描述，及集合A中元素，应用交运算写出.
【详解】对于集合B，由时，由时．
此外的取值都不在集合A内，均不满足交集结果．
所以.
故选：D
2．函数的增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据不等式，求得函数的定义域，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，即，解得或，
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，
根据复数函数的单调性，可得函数的增区间为.
故选：A.
3．若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用特称命题的真假计算参数即可.
【详解】由题意可知=“，使得”成立，即方程有实数解，
所以.
故选：D
4．已知幂函数的定义域为，且，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案.
【详解】因为幂函数的定义域为R，故，
解得，
又，所以，
检验，时，，即，满足题意．
故选：C
5．已知二次函数的图像与轴交于两点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求得，然后解一元二次不等式求得正确答案.
【详解】由题意得的两根为，
所以由韦达定理得，即，
此时有，解得．
故选：A
6．有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当很大时，其中称为欧拉—马歇罗尼常数，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在很大时才成立，故当较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定的误差的，已知，用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（ ）
A．0.03B．0.12C．0.17D．0.21
【答案】B
【分析】根据题中所给的近似公式，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】而，与实际的的误差绝对值近似为：
，
故选：B
7．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数定义域，以及指定范围内函数值正负排除部分选项后，即可选出正确选项.
【详解】由函数定义域相关知识可知分母不为零，则，即，
即的定义域为，可排除A；
当时，，可排除CD．
故选：.
8．已知互不相同的实数，满足，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】令，用对数来表示，代入所求式子进行化简即可.
【详解】，
所以，，，代入
化简得：.
故选：B
二、多选题
9．下列各个选项中，满足的集合有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】先化简集合，利用子集的含义可得答案.
【详解】因为，即有，
所以中定有和3，故排除B，又因为是的真子集，故排除D．
故选：AC.
10．下列四组函数中，与（或）表示同一函数的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】从定义域和对应关系两方面判断是否相同，判断是否是同一函数.
【详解】A选项，的定义域为R，定义域为，定义域不同，
不是同一函数，A错误；
B选项，，两函数定义域和对应关系均相同，为同一函数，B正确；
C选项，的定义域为R，的定义域为，
定义域不同，不是同一函数，C错误；
D选项，，，两函数定义域和对应关系均相同，为同一函数，D正确.
故选：BD
11．下列各个选项中，是的充分不必要条件的有（ ）
A．在中，是钝角，是钝角三角形
B．均为无理数，为无理数
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据充分不必要条件的定义结合选项逐个验证可得答案.
【详解】钝角三角形中三个角都有可能为钝角，是的充分不必要条件，故A正确；
若，则，所以不是充分条件，故B不正确；
由可得且，是的充分不必要条件，故C正确；
若，则，但，所以不是充分条件，故D不正确．
故选：AC.
12．当时，用表示不超过的最大整数，如：．已知函数，则（ ）
A．B．函数的值域为
C．存在无数多个，有D．存在无限实数集，对于，当时，有
【答案】BCD
【分析】取特殊范围探究规律，然后作出函数图象观察即可得答案.
【详解】首先注意定义域，即，由定义可知时，
即的定义域为．故A错．
不妨取一些特殊范围进行观察：
时，，即；
时，，即；
时，，即；
接下来我们不妨找到一般性规律，且时有：
时，，即；
作出函数图象如图：
由图可知，函数的值域为，B正确；
存在无数个，使得，故C正确；
由图可知，存在无数递减区间，故D正确.
故选：BCD．
【点睛】本题难点在于对新定义的理解，然后通过特殊范围探究函数规律，最后利用函数图象即可求解.
三、填空题
13．已知，则 ．
【答案】/0.5
【分析】利用已知结合立方和公式可得出结果，
【详解】因为，
．
故答案为：0.5.
14．若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用根的分布列出限制条件可得答案或者利用函数图象列出不等关系可得答案.
【详解】法一：要满足题意，则，解得．
法二：令，得，
即时，与的图象有两个交点，
作如下图，可知．
故答案为：.
15．已知函数，若存在非零实数，使得，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，转化为在上存在根，结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解.
【详解】设，则，使得成立，
即在上存在根，
设，则的图象与的非负半轴有公共点，
因为对称轴的方程为，只需，即，
设，则，使得成立，
即，即在上存在根，
设，则的图象与的负半轴有公共点，
因为对称轴的方程为，只需，即，
综上可得，实数的取值范围为．
故答案为：．
16．已知，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】化简，根据代数式的知识求得最小值.
【详解】，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
四、解答题
17．计算：
(1)：
(2)．
【答案】(1)4
(2)3
【分析】（1）利用指数的运算进行求解；
（2）利用对数的运算求解即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式．
18．设函数
(1)利用函数单调性的定义，证明：函数在上单调递增：
(2)当时，求函数的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）任取、，且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义即可证得结论成立；
（2）由已知可得，利用基本不等式可求得在上的最小值.
【详解】（1）证明：任取、，且，
则
，
因为，所以，，，，
故．所以在单调递增．
（2）解：
，
当且仅当，即当时取等号，所以最大值为．
19．南京马拉松作为江苏省的省会马拉松赛，创办于2015年，六年的时间它已成为中国马拉松金牌赛事世界田联标牌赛事，有穿越中华门、玄武湖、总统府等经典景点的比赛路线，为了迎接2023年11月南京马拉松赛的回归，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为两个全等的直角三角形和一个等腰三角形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度也都是），．
(1)当时，求海报纸（矩形）的周长：
(2)为了节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】(1)
(2)长，宽
【分析】（1）根据题意，得到宣传栏的面积为，得到海报周长，进而得的海报的周长；
（2）由（1）知，结合基本不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设，直角三角形另一个直角边长为，
则有宣传栏的面积为，
且海报周长，
又由，即，
因为，则，所以海报周长，
答：海报纸的周长为．
（2）解：由（1）知
，
当且仅当时取等，此时，解得，
即长和宽时，使用纸量最少．
20．设甲：，乙：．
(1)当时，求甲中不等式的解集；
(2)若甲是乙的必要不充分条件，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用分类讨论求解绝对值不等式即可；
（2）首先解分式不等式，讨论与0的大小关系，在对应情况下应用分类讨论求绝对值，最后由必要不充分条件列不等组求参数范围．
【详解】（1）时，甲：，
①时，甲：，解得，故；
②时，甲：，解得，故；
③时，甲：，解得，故；
综上所述，甲中不等式的解集为；
（2）乙：．
（ⅰ）时
①时，甲：，解得；
②时，甲：，解得；
③时，甲：，解得；
由题意得，乙中不等式的解集是甲中不等式的解集的真子集．
所以要满足题意则，解得；
（ⅱ）时
①时，甲：，解得；
②时，甲：，解得；
此时甲中不等式的解集为，满足题意；
（ⅲ）时
①时，甲：，解得；
②时，甲：，化简得；
③时，甲：，解得；
要满足题意则，解得，此时.
综上所述，的取值范围是．
21．已知定义在上的函数满足，且在上单调递减．
(1)证明：函数是偶函数；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用赋值法及偶函数的定义计算即可；
（2）根据（1）的结论及函数的性质计算即可.
【详解】（1）令得，即；
令得，即．
令得，即，
所以是偶函数得证；
（2）由已知定义，
所以即，所以，
因为是偶函数，且在单调递减，
所以，
即的解集为．
22．设．
(1)若对于，且，都有成立，求的取值范围；
(2)若关于的方程有实根，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，化简得到，分和，两种情况讨论，即可求解；
（2）根据题意，得到至少有一根应属于的值域，求得，求得方程的两根，再分和，两种情况讨论，进而求得实数的范围．
【详解】（1）解：由函数，因为，
即，
化简整理得，
①当时，，打开整理得，不成立，舍去；
②当时，，打开整理得，恒成立，满足题意．
综上所述，的取值范围是.
（2）解：设，则有，
要满足题意，则至少有一根应属于的值域，
先研究的根：，
所以，
此时满足题意的必要条件为，即，
由求根公式可得，方程的两根为
①当时，，
即需，同乘得，
即，此时恒成立，
故时恒满足题意．
②当时，，
即需，同乘得，
即．
同理可得时，恒成立，即恒满足题意．
综上所述，的取值范围是．
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