2023-2024学年陕西省安康市名校高一上学期期中联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省安康市名校高一上学期期中联考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由交集定义可直接求得结果.
【详解】，，.
故选：A.
2．若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质及题中条件即可得到结果.
【详解】因为，所以，
又，，
所以
所以，
故，
故选：C
3．已知，，且，则和的最小值分别为（ ）
A．8和8B．和 C．8和9D．和9
【答案】C
【分析】由已知等式可得，根据，利用均值不等式可求结果.
【详解】由，，得：，
（当且仅当时取等号）
（当且仅当，即，时取等号），
所以和的最小值分别为8和9.
故选：C.
4．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】判断函数的三要素是否相同即可得出答案.
【详解】对于选项A，的定义域为R，的定义域为，故不是同一函数；
对于选项B，的定义域为R，的定义域为，故不是同一函数；
对于选项C，两函数的定义域、对应关系、值域均相同，故为同一函数；
对于选项D，的定义域为R，的定义域为，故不是同一函数.
故选：C
5．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的单调性和奇偶性解不等式.
【详解】因为奇函数在上为增函数，且，
所以当时，，当时，，
当时，，
又因为为奇函数，
所以，当时，，当时，，
当时，，
由得，
即或，解得或，
所以不等式的解集为，
故选：A．
6．已知幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．-2B．1C．D．-1
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义及性质分类讨论计算即可.
【详解】由题意有，解得或，
①当时，，在区间上单调递减，不合题意；
②当时，，在区间上单调递增，符合题意.
故选：B
7．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果.
【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，，
即，解得，又因为，所以，
这批台灯的销售单价的取值范围是.
故选：C
8．命题，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.
【详解】命题，的否定为，.
故选：C
二、多选题
9．已知集合，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】AD
【分析】利用集合间的基本关系判定即可.
【详解】因为集合，，
所以B是A的真子集，所以，或，.
故选：AD.
10．下列说法正确的有（ ）
A．“，使得”的否定是“，都有”
B．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
C．若，，，则“”的充要条件是“”
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】ABD
【分析】选项A，由存在量词命题的否定是全称量词命题可得；选项B，转化为方程没有实数根求解；选项C，当时，；选项D，证明充分性，当时，，说明“”是“”的不必要条件.
【详解】选项A，存在量词命题的否定是全称量词命题，选项A正确；
选项B，若命题“，”为假命题，
即方程没有实数根，
则，解得，选项B正确；
选项C，若，，
所以“”不是“”的充要条件，故C错误；
选项D，，
当，但不成立，即，故D正确.
故选：ABD.
11．小王两次购买同一种物品，已知物品单价分别为和，且每次购买这种物品所花的钱数一样，两次购物的平均价格为，则下面正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】依题意得到，结合基本不等式即可得解.
【详解】依题意，设两次花费的钱数为，
则两次购物的平均价格为，故A错误，B正确；
又，所以，
根据基本不等式及其取等号的条件可得，
所以，即，故C正确，D错误；
故选：BC．
12．对任意的，，函数满足，且，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数为奇函数
C．当时，D．在上单调递增
【答案】ACD
【分析】利用赋值法，结合函数的奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】令，，则有，可得，选项A正确；
令，则，可得，选项B错误；
任取则
，
又∵，∴，∴，
即，即在上单调递增，选项正确；
由可知，时，，选项C正确.
故选：ACD
【点睛】求解抽象函数的函数值问题，可以考虑利用赋值法进行求解.求解抽象函数的奇偶性问题，可以考虑利用奇偶性的定义来进行判断.求解抽象函数的单调性，可以考虑利用单调性的定义，由的符号判断出函数的单调性.
三、填空题
13．集合，用列举法表示是 .
【答案】
【分析】解一元一次不等式，利用列举法求解即可.
【详解】集合，故用列举法表示是.
故答案为：
14．若不等式对于都成立，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【分析】由判别式小于0可得．
【详解】由题意，解得．
故答案为：．
15．函数图象如图所示，则 ．
【答案】1
【分析】根据函数图象中的对应关系求函数值即可．
【详解】
故答案为：1
16．已知幂函数，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据幂函数的单调性和定义域求参数取值范围
【详解】解：幂函数，所以定义域为且在定义域上单调递减，
所以需满足，解得，
故答案为：．
四、解答题
17．已知集合，或．
(1)若，求；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出时集合A以及B的补集，计算；
（2）根据交集的定义得出，从而得到不等式，求出a的取值范围．
【详解】（1）∵集合，
∴时，集合，
又或，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
解得，
即a的取值范围是
18．回答下列问题
(1)已知都是正实数，比较与的大小；
(2)已知，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将与相减并化简，分类讨论判断差的符号即可比较大小；
（2）根据不等式的性质求解即可.
【详解】（1）
，
因为都是正实数，所以，，，
所以，当且仅当时等号成立.
（2）设，
则，
解得，，
所以，
因为，，
所以，，
所以，
即，
所以的取值范围为.
19．（1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖）（假设全部溶解），糖水变甜了.这一事实可以表示为不等式，证明这个不等式成立.
（2）已知都是正数，求证；
【答案】（1）答案见解析，（2）答案见解析.
【分析】（1）用作差比较法即可证明；（2）利用基本不等式即可证明.
【详解】（1）证明：因为，，
所以，
所以，
故成立.
（2）证明：因为都是正数，
所以，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
故成立.
20．中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展.发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且，由市场调研知，若每辆车售价5万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完.
(1)求出2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式;
(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为2100万元.
【分析】（1）根据题意求解即可；
（2）利用基本不等式和二次函数的性质求分段函数的最值即可.
【详解】（1）由题意知利润收入-总成本，
所以利润，
故2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式为
.
（2）当时，，
故当时，
当时，，
当且仅当，即时取得等号;
综上所述，当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为2100万元.
21．定义在上的函数，对任意的，都有成立，且当时，．
(1)求的值；
(2)证明：在上为增函数；
(3)当时，解不等式．
【答案】(1)0
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接令，即可求出的值
（2）利用已知，结合函数单调性的定义进行证明即可
（3）根据，可得，然后利用函数的单调性进行求解即可．
【详解】（1）令，则；
所以.
（2）设，则，
所以，
，
即，
所以在上为增函数；
（3），
，
，
在上为增函数，
解得：，
所以不等式的解集为．
22．已知函数，．
(1)若，证明：在上单调递增；
(2)若在上是单调的，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用定义法可证得结论；
（2）分别讨论、和，结合二次函数单调性可求得结果.
【详解】（1）当时，，
设，则，
，，，
在上单调递增.
（2）当，即时，在上单调递增，满足题意；
当，即时，是开口方向向上，对称轴为的抛物线，
若在上单调，则，解得：；
当，即时，是开口方向向下，对称轴为的抛物线，
若在上单调，则，解得：（舍）；
综上所述：实数的取值范围为.