北师大版2023-2024学年九年级上册期末模拟测试数学卷（含解析）

这是一份北师大版2023-2024学年九年级上册期末模拟测试数学卷（含解析），共19页。试卷主要包含了注意卷面整洁，一元二次方程的根为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．注意卷面整洁
一、单选题
1．如图，矩形的对角线与相交于点O，，，则等于（ ）

A．4B．5C．10D．8
2．如图是一张长方形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接．若，则的度数为（ ）

A．15°B．16°C．18°D．20°
3．一元二次方程的根为( )
A．B．或C．D．或
4．已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（ ）
A．B．C．D．
5．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．B．C．D．
6．如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（ ）

A．当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的概率是0.443
B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率一定是0.443
C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440
D．当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率一定是0.440
7．若函数图像经过点，则下列说法正确的是（ ）．
A．随的增大而减小B．点在该函数图像上
C．图像分别在第一、三象限D．当时，
8．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．如图，在矩形中，，对角线，相交于点，垂直平分于点，则的长为 ．
10．如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为 ．

11．已知，则的值为 ．
12．某地区2022年投入教育经费3000万元，预计2024年投入4320万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为，则可以列方程为 ．
13．若点中的x，y可在，3，4中取值，则点P落在第四象限的概率是 ．
14．如图，在矩形中，，点是上一点，，点是边上的一个动点，若使得以为顶点的三角形与相似，则这样的点有 个．
15．老师用10个的小正立方体摆出一个立体图形，它的正视图如图①所示，且图中任两相邻的小正立方体至少有一棱边（）共享，或有一面（）共享．老师拿出一张的方格纸（如图②），请小荣将此10个小正立方体依正视图摆放在方格纸中的方格内，请问小荣摆放完后的左视图有 种．（小正立方体摆放时不得悬空，每一小正立方体的棱边与水平线垂直或平行）

16．已知函数是反比例函数，则 ．
17．如图，点在反比例函数图像上，轴，垂足为点．若，则该反比例函数的表达式是 ．
18．已知点，在反比例函数的图像上，且，，则m n（填“”或“”）．
三、问答题
19．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式的值．
20．如图所示，要在20米宽，32米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为，则道路应修多宽？

21．如图，在中，分别是边的中点，是对角线，交的延长线于．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是矩形，判断四边形是怎样的特殊四边形？证明你的结论．
22．一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出一个球，则摸出红球的概率是 ；
(2)如果将摸出的第一个球放回搅匀再摸出第二个球，两次摸球就可能出现3种结果，即“都是红球”、“都是白球”、“一红一白”．甲乙两人玩游戏，约定若摸到“都是白球”则甲赢；若摸到“一红一白”则乙赢，问这个游戏公平吗，请说明理由．
23．如图，在的正方形网格中，和的顶点都在格点上，已知网格中每个小正方形的边长都为1，判断与是否相似，并说明理由．

24．如图，为反比例函数的图像上一点，轴，垂足为．

(1)联结，当时，求反比例函数的解析式；
(2)联结，若，轴上是否存在点，使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
(3)点在直线上，且，过点作直线轴，交反比例函数的图像于点，若的面积为4，求的值．
25．如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是．

(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式；
(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？
参考答案：
1．A
【分析】由矩形的性质得出，由已知条件证出是等边三角形，得出，得出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
2．C
【分析】如图，连接，由折叠知，，，可证，.设则， ．中，，解得．
【详解】解：如图，连接，由折叠知，，，
∵，
∴.
∴.
长方形，点M是对角线的中点，
∴.
∴.
设则，
∴．
∴．
中，，
∴，解得
故选：C

【点睛】本题考查轴对称折叠的性质、等边对等角、直角三角形两锐角互余、外角的性质；连接辅助线，构造等腰直角三角形是解题的关键．
3．B
【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：
即
∴
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
4．D
【分析】根据求根公式，反推出一元二次方程各项的系数，即可求解．
【详解】解：设一元二次方程为（），
则方程的根为，
又因为 ，
则，，，
所以一元二次方程为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是利用求根公式得到一元二次方程各项的系数．
5．A
【分析】根据大量的试验结果稳定在左右即可得出结论．
【详解】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近，
这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
6．C
【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：A、当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的频率是0.443，概率不一定是0.443，故A选项不符合题意；
B、若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率不一定是0.443，故B选项不符合题意；
C、随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440，故C选项符合题意；
D、当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率不一定是0.440，故D选项不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
7．C
【详解】，∴此函数的图像在第一、三象限，故选C．
【易错点分析】选项A中，一定要强调在同一象限内随的增大而减小才正确．
8．A
【分析】根据的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【详解】解：当时，
一次函数经过一、二、四象限，
反比例函数的的图象经过一、三象限，
故A选项的图象符合要求，
当时，
一次函数经过一、三、四象限，
反比例函数的的图象经过二、四象限，
没有符合条件的选项．
故选：．
【点睛】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与轴的交点与一次函数的常数项相关．
9．
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，得出，由勾股定理求出即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
垂直平分，
，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
10．/
【分析】如图连接，根据得到，再结合面积公式求解即可得到答案；
【详解】解：连接，
∵边长为的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；

【点睛】本题考查勾股定理，正方形的性质及三角形全等的判定与性质，解题的关键是得到．
11．
【分析】先移项，得到，再将左边配方，利用非负数的性质求出、，然后代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，求代数式的值，正确求出、的值是解题的关键．
12．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据2022年投入3000万元，预计2024年投入4320万元即可得出方程．
【详解】解：设这两年投入教育经费的年平均增长率为，
则2023年的教育经费为：，
则2024年的教育经费为：，
∴可以列方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．
13．
【分析】列树状图得到所有等可能的结果数，根据概率的公式可得答案．
【详解】解：画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中点P落在第四象限的结果有2种，即，
∴点P落在第四象限的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了列举法求事件的概率，正确掌握树状图的列法是解题的关键．
14．3
【详解】设．在矩形中，，当时，．即．当时，，即．综上所述，使得以为顶点的三角形与相似，这样的点有3个．
【易错点分析】两个三角形已经有一对角相等，夹这个角的两边对应关系应该考虑两种情况，有的同学可能只考虑了一种，还有的同学考虑两种情况之后，会认为既然是两种情况，就应该有两个点P，实际解出来却不一定．所以不求出最后结果是很难判断准确的．
15．16
【分析】小荣摆放完后的左视图有：①从左往右依次是3个正方形、1个正方形、1个正方形；②从左往右依次是3个正方形、1个正方形、2个正方形；③从左往右依次是3个正方形、2个正方形、1个正方形；④从左往右依次是3个正方形、2个正方形、2个正方形；⑤从左往右依次是2个正方形、3个正方形、1个正方形；⑥从左往右依次是2个正方形、3个正方形、2个正方形；⑦从左往右依次是2个正方形、1个正方形、3个正方形；⑧从左往右依次是2个正方形、2个正方形、3个正方形；⑨从左往右依次是1个正方形、3个正方形、1个正方形；⑩从左往右依次是1个正方形、3个正方形、2个正方形；（11）从左往右依次是1个正方形、1个正方形、3个正方形；（12）从左往右依次是1个正方形、2个正方形、3个正方形；（13）从左往右依次是3个正方形、1个正方形；（14）从左往右依次是3个正方形、2个正方形；（15）从左往右依次是2个正方形、3个正方形；（16）从左往右依次是1个正方形、3个正方形；
【详解】解：由题意可知，立体图形只有一排左视图有3个正方形，有两到三排．
三排的左视图有：种；
两排的左视图有：种；
共种．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查三视图，解决问题的关键是掌握主视图是从物体的正面看到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
16．
【分析】根据反比例函数的解析式，得，且，求解即可．
【详解】解：由题意得：，且
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如，则y叫x的反比例函数，熟练掌握反比例函数解析式三种形式，，是解题的关键．
17．
【详解】设反比例函数，又∵此函数图像在第二象限，．
答案为．
【易错点分析】函数图像在第二象限时，是小于0的，忽视这个条件容易出现错误．
18．
【分析】由反比例函数知，其图象在第一、三象限，由，知，，从而确定答案．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，
∴它的图象在第一、三象限，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质确定a与b的符号是解题的关键．
19．4
【分析】先根据平方差公式及多项式的乘法法则进行化简，再根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，建立关于m的一元一次方程，求出m的值，再代入原式求值即可．
【详解】解：
，
∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得，
当时，原式．
【点睛】本题考查整式的化简求值、一元二次方程的根与判别式的关系、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．
20．
【分析】设道路应修宽，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设道路应修宽，根据题意得：
，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：道路应修宽．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)四边形是菱形，理由见解析
【详解】（1）证明：在中，．又，
∴四边形是平行四边形．
（2）四边形是菱形．证明：∵四边形是平行四边形，．∵点分别是的中点，．．∴四边形是平行四边形．∵四边形是矩形，．在中，为的中点，．∴平行四边形是菱形．
易错点分析:本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定、直角三角形的性质．解题时应注意：在直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边长度的一半．
22．(1)
(2)游戏公平，理由见解析
【分析】（1）根据概率公式直接求得摸出红球的概率即可；
（2）根据列表法求概率即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：摸出红球的概率是，
（2）解：画树状图如图所示：
由图可知共有9种等可能的结果，
P（两白），P（一红一白）．
∵概率相同，
∴游戏公平．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，画树状图法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
23．相似，见解析
【详解】解：与相似．理由如下：，，．
【易错点分析】易认为，从而，所以两个三角形不相似，因此得出了错误答案．正确的方法应该是按照边的大小来找对应边．
24．(1)
(2)存在，或
(3)或
【分析】（1）连接，设，则，，根据即可求解；
（2）先计算，再根据即可求解；
（3）分类讨论在延长线上和在延长线上，即可求解．
【详解】（1）解：连接，如图：

设，则，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：如图：

∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，点在轴上，
∴点的坐标为或；
（3）解：设，则，，
∴，
当在延长线上时，如图：

，对于，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为4，
∴，解得．
当在延长线上时，如图：

易得：，，
∴，
，
∴，，
综上：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合题．熟记反比例函数的相关性质是解题关键．
25．(1)该材料加热过程中对应的函数解析式为
(2)对该材料进行特殊处理的时间为12分钟
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）将分别代入（1）中函数解析式可得，，然后作差即可求解．
【详解】（1）解：（1）设停止加热过程中对应的函数解析式为，
∵点在该函数的图象上，
∴，得，
∴停止加热过程中对应的函数解析式为．
设该材料加热过程中对应的函数解析式为，
∵点、在该函数的图象上，
∴，得，
该材料加热过程中对应的函数解析式为．
（2）解：将代入中，得，
解得，
将代入中，得，
解得，
∴（分钟），
答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的应用，明确题意，求出相应的函数解析式是解题的关键．
题号
一
二
三
总分
得分
射击次数
20
80
100
200
400
1000
射中九环以上次数
18
68
86
168
332
831
射中九环以上频率（保留两位小数）