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2023-2024学年河南省安阳市第一中学高一上学期第二次阶段考试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年河南省安阳市第一中学高一上学期第二次阶段考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．集合，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】解不等式，求出集合，再根据交集的运算性质，即可解题.
【详解】解不等式可得，所以，
又，所以，所以中元素的个数为3个.
故选：B
2．函数的图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分类讨论与，结合指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为，
当时，，由于，所以在上单调递增，排除BD；
当时，，由于，所以在上单调递减，排除A；
而C选项满足上述性质，故C正确.
故选：C.
3．已知，则三个数的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与对数函数的性质结合中间值0和1比较后可得.
【详解】由，
，
，
所以.
故选：B.
4．已知函数（，且）的图像恒过点P，若点是角终边上的一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数型函数过定点求得，利用三角函数的定义求解即可.
【详解】解：∵，
∴函数（，且）的图像恒过点，
∴由三角函数定义得
故选：D
5．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.
【详解】设，
则要使在区间上单调递增，
由复合函数单调性可得：
满足，即，
得a，
即实数a的取值范围是.
故选：D
6．一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
【详解】一元二次不等式的解集为，
∴，且2，3是方程的两个实数根，
∴，解得，其中；
∴不等式化为，即，
解得或，因此所求不等式的解集为．
故选：D．
7．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）（附：）
A．22%B．33%C．44%D．55%
【答案】C
【分析】根据题中所给公式，利用代入法，结合对数的运算公式和换底公式进行即可.
【详解】由题意可知：大约增加了
，
故选：C
8．设函数，且的定义城为，若所在点构成一个正方形区域，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，求出的定义域和值域，根据构成一个正方形区域，列出等式关系，求出的值.
【详解】因为的值域为，
所以的值域为.
设的两根是，且，则定义域.
而点，构成一个正方形区域，
于是.
故选：A.
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若且，则
【答案】BCD
【分析】取可判断A选项；利用不等式的基本性质可判断BC选项；利用作差法可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，A错；
对于B选项，若，由不等式的性质可得，，则，B对；
对于C选项，若，则，则，
又因为，由不等式的性质可得，C对；
对于D选项，若且，则，所以，，D对.
故选：BCD.
10．下列命题中为真命题的是（ ）
A．函数与为同一个函数
B．若函数有两零点，一个大于2，另一个小于，则的取值范围是
C．不等式的解集为
D．若的定义域为，则的定义域为
【答案】ABD
【分析】由函数的三要素判断A；由二次函数根的分布判断B；由一元二次不等式的解法判断C；由抽象函数的定义域判断D.
【详解】解：对于A，由题意可知，的定义域均为R，
且，所以，为同一函数，故正确；
对于B，由题意可得，解得，故正确；
对于C，由题意可知，所以，解得且，
所以不等式的解集为，故错误；
对于D，因为的定义域为，由，解得，
所以的定义域为，故正确.
故选：ABD．
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．在上是增函数D．的值域是
【答案】BC
【分析】计算出和的值后结合奇偶性定义可判断A，由奇偶性定义判断B，由复合函数的单调性判断C，确定出的取值范围后得出的值域判断D．
【详解】根据题意知，．
∵，
，
，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，
∴是奇函数，B正确；
∵在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；
∵，∴，，
∴，
∴，D错误．
故选：BC．
12．已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．函数有3个零点
D．当时，
【答案】AB
【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得的周期，即可判断A的正误，根据解析式及周期，代入数据，可判断B的正误；分别作出和的图像，即可判断C的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】因为，且函数为偶函数，
所以
，
故的周期为4，故选项A错误；
由函数的周期为4，则，，
所以，故选项B错误；
令可得，
作出函数和的图像如下图所示，
由图可知，两个函数图像有3个交点，故选项C正确；
当时，，则，
故选项D正确，
故选：AB.
三、填空题
13．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为 ；
【答案】6
【解析】根据扇形面积公式求解即可.
【详解】扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，
则扇形的半径，
所以该扇形的面积.
故答案为：6
【点睛】此题考查求扇形的面积，根据圆心角、半径、弧长的关系求解.
14．已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先利用方程组法求出函数的解析式，再根据基本不等式即可得出.
【详解】因为，所以
两式联立得得，
当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.
故答案为：
15．方程有解，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，令，得，利用基本不等式即可求解.
【详解】方程有解等价于方程有解.
令，则.
因为，所以，当且仅当，即时等号成立.
故时，方程有解.
故答案为：.
16．已知实数，满足，，则 .
【答案】4
【分析】构造同源函数，根据函数的单调性可得，即可得解.
【详解】由，得，
即，即
又，即，
设函数，
所以在上单调递增，
又，
即，
所以，
所以，
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解一元二次不等式的解法，结合集合交集的运算性质进行求解即可；
（2）根据充分条件的性质进行求解即可.
【详解】（1）集合，若，则：或或，
解得或或，即．
故实数的取值范围是．
（2）若是的充分条件，则，即：，
解得：．故实数的取值范围是．
18．已知、是方程的两个实数根，其中．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据、是方程的两个实数根列出关于和韦达定理的式子，根据即可求解；
（2）由（1）求出和，进而求出，即可求出的值.
【详解】（1）因为、是方程的两个实数根，
所以，可得，
又因为，
即，解得，合乎题意．因此，．
（2）由（1）知，，
因为，则，，
所以，，
所以，
则，
因此，．
19．某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】(1)
(2)当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为1050万元
【分析】（1）根据已知条件列出函数解析式；（2）根据函数解析式分别求分段函数的最值，时为二次函数求最值，时为基本不等式求最值.
【详解】（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件产品销售额为万元，
依题意得：
当时，
，
当时，，
所以；
（2）当时，，
此时的最大值为万元；
当时，
，
此时，即时，取最大值为万元.
所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，
最大利润为1050万元.
20．已知是偶函数．
(1)求实数的值；
(2)用定义法证明函数在上的单调性；
(3)解不等式．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用偶函数的概念恒成立，可求的值；
（2）直接用函数单调性的定义进行推理证明；
（3）利用偶函数的性质，结合（2）的结论，把不等式转化为代数不等式，再求解即可.
【详解】（1）依题意，定义域为，
由是偶函数，则，即，得，
又，则不恒等于0，故；
（2）证明：任取，，且，
则，
由于得，，所以，，
故，所以，则，
又因为，所以在上是增函数．
（3）因为为偶函数，在上是增函数，
则即为，两边平方得，解得或
不等式的解集为．
21．已知函数
(1)解关于的不等式；
(2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析.
(2).
【分析】（1）根据不等式关系，分类讨论，即可解出不等式；
（2）求出当时的解析式，根据已知条件分析出与的关系，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意，
在中，，
∴，
∴，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为
（2）在中，
当时，，
∵，
∴函数的值域是，
在中，
∵对任意的，总存在，使成立，
∴的值域是的值域的子集，
当时，，则，解得
当时，，则，解得，
当时，，不成立；
综上，实数m的取值范围.
22．已知函数的图象关于原点对称．
(1)求实数的值；
(2)设函数（且）在上的最小值为1，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的定义结合指数函数的性质即可求解；
（2）利用换元，根据对数函数的性质分析可得：当时恒成立，进而可得且，并结合二次函数的性质以及对数函数的单调性分析求解.
【详解】（1）因为函数的图象关于原点对称，则，
即，整理得，
又因为，，则，所以，解得．
（2）由（1）可知，.
因为与在单调递增，
可知函数在定义域内单调递增，
令，易知在内单调递增，
且，，即，则．
可得，
由题意可知：当时恒成立，
当时，则，符合题意，所以；
当时，则当时恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以且；
综上所述：且.
当，则开口向上，对称轴，
可知当时，取到最大值，
且在定义域内单调递减，
则，可得，解得（舍去）；
当时，则开口向上，对称轴，
可知当时，取到最小值，
且在定义域内单调递增，
则，可得，解得或（舍去）；
综上所述：的值为.
【点睛】关键点睛：1.对于对数函数问题，要首先保证对数的真数大于0，从而可以得出参数的范围，进而分析求解；
2.当对数的底数不确定时，应分和两种情况讨论.
一、单选题
1．集合，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】解不等式，求出集合，再根据交集的运算性质，即可解题.
【详解】解不等式可得，所以，
又，所以，所以中元素的个数为3个.
故选：B
2．函数的图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分类讨论与，结合指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为，
当时，，由于，所以在上单调递增，排除BD；
当时，，由于，所以在上单调递减，排除A；
而C选项满足上述性质，故C正确.
故选：C.
3．已知，则三个数的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与对数函数的性质结合中间值0和1比较后可得.
【详解】由，
，
，
所以.
故选：B.
4．已知函数（，且）的图像恒过点P，若点是角终边上的一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数型函数过定点求得，利用三角函数的定义求解即可.
【详解】解：∵，
∴函数（，且）的图像恒过点，
∴由三角函数定义得
故选：D
5．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.
【详解】设，
则要使在区间上单调递增，
由复合函数单调性可得：
满足，即，
得a，
即实数a的取值范围是.
故选：D
6．一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
【详解】一元二次不等式的解集为，
∴，且2，3是方程的两个实数根，
∴，解得，其中；
∴不等式化为，即，
解得或，因此所求不等式的解集为．
故选：D．
7．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）（附：）
A．22%B．33%C．44%D．55%
【答案】C
【分析】根据题中所给公式，利用代入法，结合对数的运算公式和换底公式进行即可.
【详解】由题意可知：大约增加了
，
故选：C
8．设函数，且的定义城为，若所在点构成一个正方形区域，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，求出的定义域和值域，根据构成一个正方形区域，列出等式关系，求出的值.
【详解】因为的值域为，
所以的值域为.
设的两根是，且，则定义域.
而点，构成一个正方形区域，
于是.
故选：A.
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若且，则
【答案】BCD
【分析】取可判断A选项；利用不等式的基本性质可判断BC选项；利用作差法可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，A错；
对于B选项，若，由不等式的性质可得，，则，B对；
对于C选项，若，则，则，
又因为，由不等式的性质可得，C对；
对于D选项，若且，则，所以，，D对.
故选：BCD.
10．下列命题中为真命题的是（ ）
A．函数与为同一个函数
B．若函数有两零点，一个大于2，另一个小于，则的取值范围是
C．不等式的解集为
D．若的定义域为，则的定义域为
【答案】ABD
【分析】由函数的三要素判断A；由二次函数根的分布判断B；由一元二次不等式的解法判断C；由抽象函数的定义域判断D.
【详解】解：对于A，由题意可知，的定义域均为R，
且，所以，为同一函数，故正确；
对于B，由题意可得，解得，故正确；
对于C，由题意可知，所以，解得且，
所以不等式的解集为，故错误；
对于D，因为的定义域为，由，解得，
所以的定义域为，故正确.
故选：ABD．
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．在上是增函数D．的值域是
【答案】BC
【分析】计算出和的值后结合奇偶性定义可判断A，由奇偶性定义判断B，由复合函数的单调性判断C，确定出的取值范围后得出的值域判断D．
【详解】根据题意知，．
∵，
，
，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，
∴是奇函数，B正确；
∵在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；
∵，∴，，
∴，
∴，D错误．
故选：BC．
12．已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．函数有3个零点
D．当时，
【答案】AB
【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得的周期，即可判断A的正误，根据解析式及周期，代入数据，可判断B的正误；分别作出和的图像，即可判断C的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】因为，且函数为偶函数，
所以
，
故的周期为4，故选项A错误；
由函数的周期为4，则，，
所以，故选项B错误；
令可得，
作出函数和的图像如下图所示，
由图可知，两个函数图像有3个交点，故选项C正确；
当时，，则，
故选项D正确，
故选：AB.
三、填空题
13．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为 ；
【答案】6
【解析】根据扇形面积公式求解即可.
【详解】扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，
则扇形的半径，
所以该扇形的面积.
故答案为：6
【点睛】此题考查求扇形的面积，根据圆心角、半径、弧长的关系求解.
14．已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先利用方程组法求出函数的解析式，再根据基本不等式即可得出.
【详解】因为，所以
两式联立得得，
当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.
故答案为：
15．方程有解，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，令，得，利用基本不等式即可求解.
【详解】方程有解等价于方程有解.
令，则.
因为，所以，当且仅当，即时等号成立.
故时，方程有解.
故答案为：.
16．已知实数，满足，，则 .
【答案】4
【分析】构造同源函数，根据函数的单调性可得，即可得解.
【详解】由，得，
即，即
又，即，
设函数，
所以在上单调递增，
又，
即，
所以，
所以，
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解一元二次不等式的解法，结合集合交集的运算性质进行求解即可；
（2）根据充分条件的性质进行求解即可.
【详解】（1）集合，若，则：或或，
解得或或，即．
故实数的取值范围是．
（2）若是的充分条件，则，即：，
解得：．故实数的取值范围是．
18．已知、是方程的两个实数根，其中．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据、是方程的两个实数根列出关于和韦达定理的式子，根据即可求解；
（2）由（1）求出和，进而求出，即可求出的值.
【详解】（1）因为、是方程的两个实数根，
所以，可得，
又因为，
即，解得，合乎题意．因此，．
（2）由（1）知，，
因为，则，，
所以，，
所以，
则，
因此，．
19．某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】(1)
(2)当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为1050万元
【分析】（1）根据已知条件列出函数解析式；（2）根据函数解析式分别求分段函数的最值，时为二次函数求最值，时为基本不等式求最值.
【详解】（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件产品销售额为万元，
依题意得：
当时，
，
当时，，
所以；
（2）当时，，
此时的最大值为万元；
当时，
，
此时，即时，取最大值为万元.
所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，
最大利润为1050万元.
20．已知是偶函数．
(1)求实数的值；
(2)用定义法证明函数在上的单调性；
(3)解不等式．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用偶函数的概念恒成立，可求的值；
（2）直接用函数单调性的定义进行推理证明；
（3）利用偶函数的性质，结合（2）的结论，把不等式转化为代数不等式，再求解即可.
【详解】（1）依题意，定义域为，
由是偶函数，则，即，得，
又，则不恒等于0，故；
（2）证明：任取，，且，
则，
由于得，，所以，，
故，所以，则，
又因为，所以在上是增函数．
（3）因为为偶函数，在上是增函数，
则即为，两边平方得，解得或
不等式的解集为．
21．已知函数
(1)解关于的不等式；
(2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析.
(2).
【分析】（1）根据不等式关系，分类讨论，即可解出不等式；
（2）求出当时的解析式，根据已知条件分析出与的关系，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意，
在中，，
∴，
∴，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为
（2）在中，
当时，，
∵，
∴函数的值域是，
在中，
∵对任意的，总存在，使成立，
∴的值域是的值域的子集，
当时，，则，解得
当时，，则，解得，
当时，，不成立；
综上，实数m的取值范围.
22．已知函数的图象关于原点对称．
(1)求实数的值；
(2)设函数（且）在上的最小值为1，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的定义结合指数函数的性质即可求解；
（2）利用换元，根据对数函数的性质分析可得：当时恒成立，进而可得且，并结合二次函数的性质以及对数函数的单调性分析求解.
【详解】（1）因为函数的图象关于原点对称，则，
即，整理得，
又因为，，则，所以，解得．
（2）由（1）可知，.
因为与在单调递增，
可知函数在定义域内单调递增，
令，易知在内单调递增，
且，，即，则．
可得，
由题意可知：当时恒成立，
当时，则，符合题意，所以；
当时，则当时恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以且；
综上所述：且.
当，则开口向上，对称轴，
可知当时，取到最大值，
且在定义域内单调递减，
则，可得，解得（舍去）；
当时，则开口向上，对称轴，
可知当时，取到最小值，
且在定义域内单调递增，
则，可得，解得或（舍去）；
综上所述：的值为.
【点睛】关键点睛：1.对于对数函数问题，要首先保证对数的真数大于0，从而可以得出参数的范围，进而分析求解；
2.当对数的底数不确定时，应分和两种情况讨论.
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