浙江省杭州市S9联盟2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题

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考生须知：
1．本卷共4 页满分120分，考试时间100分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列表述正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用整数集、实数集、有理数集与自然数集的符号表示即可得解.
【详解】对于A，因为是整数集，所以，故A正确；
对于B，因为是实数集，所以，故B错误；
对于C，因为是有理数集，所以，故C错误；
对于D，因为是自然数集，所以，故D错误.
故选：A.
2. 下列图象中，以为定义域，为值域的函数是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象，结合定义域值域的范围即可得答案．
【详解】对于，其对应函数的值域不是，错误；
对于，图象中存在一部分与轴垂直，即此时对应的值不唯一，该图象不是函数的图象，错误；
对于，其对应函数的定义域为，值域是，正确；
对于，图象不满足一个对应唯一的，该图象不是函数的图象，错误；
故选：．
3. 下列命题中，正确的是( )
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】对于ABD，举反例排除即可；对于C，利用作差法即可得解.
【详解】对于A，令，则，但，故A错误；
对于B，令，则，但，故B错误；
对于C，因为，又因为，则，
所以，即，故C正确；
对于D，令，则，但，故D错误.
故选：C.
4. 函数取得最小值时x的取值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式，可得答案.
【详解】由，当且仅当，即时等号成立，
故选：D.
5. 在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围为( )
A. B. 或
C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据新定义运算得到关于的一元二次不等式，解之即可.
【详解】因为，
所以，
整理得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
6. 已知函数，则( )
A. 是单调递增函数B. 是偶函数
C. 函数的最小值为D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于ACD，只需要利用作差法判断的单调性即可解，对于B，由定义域不关于原点对称即可排除.
【详解】对于ACD，不妨设，
则，
因为，所以，，
所以，即，故在上单调递减，
所以，，故AD错误，C正确；
对于B，因为，即的定义域不关于原点对称，故不是偶函数，故B错误.
故选：C.
7. 若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数奇偶性求解析式的方法求解即可.
【详解】因为当时，，
所以当时，，则，
又因为是奇函数，
所以.
故选：D.
8. 某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的.爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”.这位同学若有所思，如果爸爸､妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸､妈妈谁更合算呢？( )
A. 妈妈B. 爸爸C. 一样D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即可得解.
【详解】由题意，设第一次加油单价为元，第二次为元，油箱加满为升，则妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油，
设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升，
则，且，，
所以，即，
所以爸爸的加油方式更合算.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 若集合，，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】先解二次方程化简，再分类讨论与两种情况即可得解.
【详解】由，解得或，故，
因，，
所以当时，；
当时，，则或，
所以或；
综上：或或，故ABC正确.
故选：ABC.
10. 若幂函数在上单调递增，则( )
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】先利用幂函数的定义及单调性求得及，从而可求得，由此得解.
【详解】因为是幂函数，
所以，解得或，
当时，，则在上单调递减，舍去；
当时，，则在上单调递增，满足题意；
所以，故，故AB错误，CD正确.
故选：CD.
11. 下列命题正确的是( )
A. “”是“”的充分条件
B. 命题“”的否定是“”
C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D. 设，则“”是“”的必要而不充分条件
【答案】AB
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断选项ACD；根据含量词的命题的否定方法判断B.
【详解】对于A，因为，所以，则，所以“”是“”的充分条件，故A正确；
对于B，特称命题的否定是“改量词，否结论”，所以命题“”的否定是“”，故B正确；
对于C，由“且”可推出“”，又当时，，但不成立，即“”推不出“且”，所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，“”等价于“且”，显然“且”可以推得“”，但“”推不了“且”，所以“”是“”的充分不必要条件，故D错误.
故选：AB.
12. 定义在上的函数满足，当时，，则满足( )
A. B. 是奇函数
C. 在上有最大值D. 的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对；
对于B选项，函数的定义域为，
令，可得，则，
故函数是奇函数，B对；
对于C选项，任取、且，则，
即，所以，
所以，函数为上的减函数，
所以，在上有最大值，C错；
对于D选项，由于为上的减函数，由，可得，解得，D对.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13. 设，，则有_______.(请填“<”、“=”、“>”)
【答案】<
【解析】
【分析】利用作差法与配方法即可得解.
【详解】因为，，
所以，
故.
故答案为：<.
14. 函数，若，则________.
【答案】或
【解析】
【分析】利用分段函数的性质，分类讨论与两种情况即可得解.
【详解】因为，
所以当时，，
则由得，解得或(舍去)，故；
当时，，
则由得，解得，故；
综上：或.
故答案为：或.
15. 函数的值域是___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】令，即，可得函数，
则函数的值域为.
故答案为：.
16. 对于任意的实数表示中较小的那个数，若，，则的最大值是_______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，联立函数求交点，作图，根据图象，可得答案.
【详解】令，则，，，解得或，
将，作图如下：
由图可知，，则其最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知全集U=R，集合，，．
(1)求集合B及．
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)先由解二次不等式得到集合B，再由集合的交集运算求得；
(2)利用数轴法结合(1)中结论即可得解
【小问1详解】
，，，
，
又，
.
【小问2详解】
由(1)得，
又，，
，解得，
所以的取值范围为.
18. (1)解不等式；
(2)已知，且，则试求的最小值
【答案】(1)或；(2)
【解析】
【分析】(1)利用分式不等式的解法求解即可；
(2)利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】(1)因为，所以，则，
所以，即，则，解得或，
所以不等式的解集为或；
(2)因为，且，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最小值为.
19. 已知函数．
(1)用定义法证明:在上单调；
(2)求在上的最大值与最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)；
【解析】
【分析】(1)利用作差法及单调性的定义即可得解；
(2)利用(1)中结论即可求得所求.
【小问1详解】
证明：设，
又，
所以，
因为，故，
所以，即，故在上单调递增.
【小问2详解】
由(1)可知在上单调递增，
故当时，，.
20. 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.则
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低是多少？
(2)每月需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损
【答案】(1)每月处理400吨，成本最低为200元；
(2)至少补贴35000元
【解析】
分析】(1)结合题意，利用基本不等式即可得解；
(2)根据题意得到，再利用配方法即可求得，由此得解.
【小问1详解】
由题意可知，二氧化碳每吨平均处理成本为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.
【小问2详解】
设该单位每月获利为元，
则，
故，
所以该单位每月需要国家至少补贴35000元才能不亏损.
21. 已知函数．
(1)，求的解集；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】(1)代入，利用二次不等式的解法求解即可；
(2)先因式分解化得，再分类讨论、与三种情况即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，
则由得，即，得或，
所以的解集为.
【小问2详解】
关于x的不等式可化为：，
当时，解得：；
当时，原不等式无解；
当时，解得：；
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.