辽宁省五校协作体（沈阳七中，育才，丹东，锦州等）2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份辽宁省五校协作体（沈阳七中，育才，丹东，锦州等）2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 满分：120分
命题人：于君伟 审校人：张国水
注意：请将答案写在第1-8页的答题区处，所有试题必须在答题纸上作答，在本试卷上作答无效
一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.如图是一个由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A.B.C.D.
2.关于一元二次方程有一个根是，则的值是（ ）
A.2022B.C.2023D.
3.下列性质中，菱形不具有的性质是（ ）
A.对角线相等B.四条边相等C.对角线互相垂直D.对角线互相平分
4.如图，任意掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数大于4的可能性是（ ）
A.B.C.D.
5.如图，在中，，若，，则的值为（ ）
A.B.C.D.
6.如图，已知，，，，则的值为（ ）
A.B.C.D.
7.在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为（ ）
A.B.或
C.D.或
8.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A.B.C.且D.且
9.如图，已知、分别在的、边上，若，则（ ）
A.B.
C.D.
10.抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：
①；②；③；④；⑤
其中正确的个数有（ ）
A.2个B.3个C.4个D.5个
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11.如图，在中，，，且的面积是4，则的面积等于________.
12.木箱里装有仅颜色不同的15个红球和若干个蓝球，随机从朱箱里摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝球有________个.
13.小丽身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，同一时刻，她测得旗杆在地面的影长为20米，那么旗杆高为________米.
14.如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，________.
15.如图，已知等边，，以为边作正方形（点、、、按逆时针方向排列），和的延长线相交于，点从点出发沿向点运动，到达点时停止，点在线段和上运动，且始终满足垂直于正方形的边长，连接，，，当时，的面积是________.
三、解答题
16.计算（每题5分，共10分）
（1）.计算：
（2）.解方程：
17.（本小题8分）
随着新能源技术的提高，新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱.沈阳某4S店新能源汽车销售量自2023年起逐月增加，据统计，该4S店1月份销售新能源汽车50辆，3月份销售了72辆.
（1）求该4S店这两个月的月平均增长率；
（2）若月平均增长率保持不变，求该4S店4月份卖出多少辆新能源汽车.（答案若含有小数则只取整数部分，不四舍五入）
18.（本小题满分8分）
如图，在中，对角线和相交于点，，，.
①求证：是菱形；
②延长至点，连接交于点，若，求的值.
19.（木小题9分）
“天宫课堂”第一课，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩！某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校1200名学生进行了“航天知识竞赛”.教务处从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为分）分成四组，
组：；组：；组：；D组：
并得到如下不完整的频数分布表、频数直方图和扇形统计图.根据图中信息，解答下列问题：
（1）的值为________，的值为________，的值为________.
（2）请补全频数直方图并计算扇形统计图中表示“”的扇形圆心角的度数为________.
（3）若规定学生竞赛成绩为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数.
（4）竞赛结束后，某班从本班获得优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宜讲航天知识.请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率.
20.（本小题8分）
如图，一次函数的图象相交于点，.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当为何值时，；
（3）当为何值时，，请直接写出的取值范围.
21.（本小题8分）
锦州古塔，也叫锦州辽塔，建于辽道宗清宁三年（1057年），是为收藏皇后所降的舍利子而建。在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量锦州古塔的高.
图2 图3
（1）【实践探究】
某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点处测得塔顶端的仰角为，点到点的距离米，即可得出高的高度，请写出解答过程（结果用和表示）.
（2）【问题解决】
但在实践中发现：由于无法直接到达塔底端的点，因此无法直接测量，该小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的点向前走到点处，在处测得塔顶端的仰角为，即可通过计算求得塔高，若测得的，，米，请你利用所测数据计算塔高.
（计算结果精确到1米，参考数据：，，，）
22.（本小题12分）
阅读与理解：
我们曾做过“折纸与证明”的数学活动.折纸，即构造轴对称，常能为我们提供解决问题的思路和方法，例如，在中，（如图），怎样证明呢？
分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以点落在上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以.
感悟与应用：
（1）如图（a），在中，，，平分，试判断和之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b），在四边形中，平分，，，，求的长.
【拓展提高】
（3）如图（c），在四边形中，，，，若，，，求四边形的边长.
23.（本小题12分）
根据以下素材，探索完成任务.
2023-2024学年度上学期期末协作体学情调研
九年级 数学学科 评分标准
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11.36 12.10 13.15 14.16 15.或
三、计算题
16.计算（每题5分，共10分）
（1）原式……………………………………………………3'
…………………………………………………………5'
（2），………………………………………………5'
17.（本小题8分）
（1）设该4S店这两个月的月平均增长率为，根据题意得……………………1'
……………………………………………………3'
解这个方程得
，（不合题意，舍去）……………………5'
答：该4S店这两个月的月平均增长率为20%………………………………6'
（2）（辆）…………………………………………7'
答：4月份卖86台。……………………………………………………8'
18.（本小题8分）
（1）∵四边形是平行四边形
∴，
又∵，
∴，…………………………………………………………1'
在中
∴，即
∴是菱形………………………………………………2'
（2）过点作交于
由（1）得是菱形
∴，，，
∴，
∴
在中，
∴，………………………………………………5'
又∵
∴
∴
∴……………………………………………………………………7'
∵
∴…………………………………………………………8'
19.（本小题9分）
（1）答案：60，6，12；………………………………………………3'
（2）补全图形如下：故答案为：…………………………………………4'
……………………………………5'
（3）（名）.
答：全校竞赛成绩达到优秀的学生大约有720名.…………………………6'
（4）画树状图如下：
由树状图可知，总共有12种结果，每种结果出现的可能性都相同，其中抽到甲、乙两名同学有2种结果，
所以，（抽到甲、乙两名同学）.………………………………9'
20.（本小题8分）
（1）将点，代入得，
解得
∴…………………………………………………………2'
将点代入中得…………………………4'
（2）…………………………………………………………6'
（3）或………………………………………………8'
21.（本小题8分）
（1）在中，
∴（米）……………………………………3'
（2）在中，，∴
在中，，∴
∵
∴…………………………………………6'
∴（米）……………………………………………………8'
22.（本小题12分）
（1）
在上截取，连接
∵平分
∴
∵
∴
∴，
∴
在中
∴，即………………………………………………3'
（2）在上截取，连接
由（1）得，
∴，
∵
∴
过点作，∴
设，在和中，由勾股定理得
∴
∴……………………………………………………7'
（3）分别沿着和折叠得到，，
在中，
在中，
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵，
∴，同理，
∴四边形为平行四边形……………………………………………………9'
∵，
∴，
在中，
又∵，即
∴
在中，
∴
∴……………………………………12'
23.（本小题12分）
（1）在中，∵斜坡的坡比为.
∵
又∵，∴
∵在第四象限
∴………………………………………………2'
设直线的表达式为
将点代入得，∴……………………………………3'
（2）设为抛物线上一点，过作轴垂线交直线于点，则可设点的坐标为，点的坐标，线段的长度为，则有……………………………………5'
∵，可以取到
∴有最小值，当时，
∴符合安全要求。…………………………………………………………7'
（3）以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
∵抛物线形状不变，长度不变
∴设抛物线表达式为
设为抛物线上一点，过作轴垂线交直线于点，则可设点的坐标为，点的坐标，则线段的长度为
∵，∴有最小值
又∵恰好符合安全高度要求
当时，
∴解上面式子得，，
（因为对称轴在轴左侧，所以，负值舍去）
∴抛物线表达式为……………………………………10'
∴设点的坐标为，
点的坐标
的长
解得，（不合题意，舍去）
所以两个塔柱的水平距离为80米。……………………………………12'分组
频数
：
：
18
：
24
：
运用二次函数研究电缆架设问题
素材1
如图a，电缆在空中架设时.两端挂起的电缆下垂都可以近似的看成抛物线的形状.
如图b，在一个斜坡上按水平距离间隔75米架设两个塔柱.每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为26.75米（米），
按如图b建立坐标系（轴在水平方向上），可得抛物线表达式：，点、在同一水平线上，经测量，米，斜坡的坡比为.
素材2
若电缆下垂的安全高度是18.75米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于18.75米时，符合安全要求，否则存在安全隐患.
（说明：直线轴分别交直线和抛物线于点、.点距离坡面的铅直高度为的长）
任务1
确定电缆形状
求点的坐标及直线的函数表达式.
任务2
判断电缆安全
上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由.
任务3
探究安装方法
注：可建立新的坐标系
工程队想在坡比为1：10的斜坡上架设电缆，两个塔柱的高度仍为26.75米，电缆抛物线的形状与任务1相同，若电缆下垂恰好符合安全高度要求，则两个塔柱的水平距离应为多少米？
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
B
B
A
D
D
B
C