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34，广西玉林市部分学校2024届高三上学期12月模拟数学试题
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这是一份34，广西玉林市部分学校2024届高三上学期12月模拟数学试题，共22页。
注意事项：
1．答题前､考生务必将自己的姓名､学校､班级､准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动､用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数单调性求集合A，根据分式不等式求集合B，进而可求交集.
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
2. 已知复数和虚数单位满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求出，再结合共轭复数的概念求.更多课件 教案 视频 等低价同类优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 【详解】，所以.
故选：A
3. 已知点在抛物线上，点M到抛物线C的焦点F的距离为6，设O为坐标原点，则的面积为（ ）．
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线定义性质：先求出p值，再将点M代入，求得，然后可以求的面积
【详解】根据抛物线的定义：，则，
所以抛物线方程：，，
由于点M在抛物线上，即，则，
三角形的面积：.
故选：D.
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶函数定义知为偶函数，且，结合选项，利用排除法求解.
【详解】函数的定义域为R，且，
所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，所以选项A、B不满足；
当时，，显然选项D不满足，结合选项只有C满足题意.
故选：C
5. 如图正方体中，三棱锥的外接球的表面积为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设正方体的棱长为，分析可知，三棱锥的外接球半径即为正方体的外接球半径，求出的值，分析可知，是边长为的等边三角形，利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】设正方体的棱长为，
则三棱锥的外接球半径即为正方体的外接球半径，
所以，三棱锥的外接球半径为，
则该球的表面积为，解得，
因为各边为正方体的面对角线，
所以，是边长为的等边三角形，
所以，的面积为.
故选：C.
6. 设向量与的夹角为，定义，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出的值，利用题中定义结合平面向量模长公式可求得的值.
【详解】因为，，则，所以，，
故.
故选：A.
7. 已知函数在内单调递增，是函数的一条对称轴，则（ ）.
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦函数的单调性和对称性求得，即可求得，代入即可求解函数值.
【详解】因为函数在内单调递增，
所以，所以，所以，
又是函数的一条对称轴，所以，所以，
所以，所以，所以.
故选：D
8. 已知正实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由得，构造函数，利用单调性得，记，求导，利用函数单调性求最值即可.
【详解】因为正实数x，y满足，
所以，
设，则，当时，，
所以函数在上单调递增，由得，
所以，所以，
所以，记，
则，所以，记，
则，
所以函数在上单调递减，且，
所以在上，，，单调递增，
在上，，，单调递减，
所以，当时，，即的最大值为.
故选：B
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广阔．社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是年我国社会物流总费用与GDP的比率统计，则（ ）．
A. 这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2019年增长的最多
B. 这6年我国社会物流总费用的分位数为16.7万亿元
C. 这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为
D. 2019年我国的GDP不达100万亿元
【答案】BC
【解析】
【分析】由图表结合统计相关知识逐项判断可得答案.
【详解】由图表可知，这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长最多，且增长为万亿元，故A错误；
因为，则分位数为第5个，即为16.7，
所以这6年我国社会物流总费用的分位数为16.7万亿元，故B正确；
由图表可知，这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为，故C正确；
由图表可知，2022年我国的GDP为万亿元，故D错误.
故选：BC.
10. 设数列前n项和为，满足，且，则下列选项正确的是（ ）
A
B. 数列为等差数列
C. 当时有最大值
D. 设，则当或时数列的前n项和取最大值
【答案】BD
【解析】
【分析】根据等差数列的定义求出通项公式判断A，求出，然后利用等差数列定义判断B，结合二次函数求等差数列前n项和的最大值判断C，根据的符号判定前n项和的最值判断D.
【详解】对于A，由知数列为等差数列，公差为，首项为，
所以该数列的通项公式为，错误；
对于B，因，所以，
则当时，，故数列为等差数列，正确；
对于C，，故当时，有最大值，错误；
对于D，令得，令得，
则当或时，，
当时，，当时，，当时，，
又，，
所以或时，数列的前n项和取最大值，正确.
故选：BD
11. 已知直线与圆相切，则下列说法正确的是（ ）．
A. 过作圆M的切线，切线长为
B. 圆M上恰有3个点到直线的距离为
C. 若点在圆M上，则的最大值是
D. 圆与圆M的公共弦所在直线的方程为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A：根据题意可得圆心和半径，结合切线性质分析求解；对于B：根据圆的性质结合点到直线的距离分析求解；对于C：设，分析可知直线与圆有公共点，结合点到直线的距离分析求解；对于D：根据两圆方程判断两圆的位置关系即可.
【详解】圆的圆心，半径为，
若直线与圆相切，则.
对于选项A：因为点到圆心的距离，
可知点在圆外，所以切线长为，故A正确；
对于选项B：因为圆心到直线的距离为，
所以圆M上恰有3个点到直线的距离为，故B正确；
对于选项C：因为若点在圆M上，则，可知，
设，则，
可知直线与圆有公共点，则，解得，
所以的最大值是，故C正确；
对于选项D：圆的圆心，半径，
则，可得，
所以两圆外离，没有公共弦，故D错误；
故选：ABC.
12. 在棱长为2的正方体中，点Q为线段（包含端点）上一动点，则下列选项正确的是（ ）．
A. 三棱锥的体积为定值
B. 在Q点运动过程中，存在某个位置使得平面
C. 面积的最大值为
D. 直线AQ与平面所成角的正弦值的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：根据平行关系结合体积公式分析求解；对于B：直接判断与是否垂直即可；对于C：作出点到直线的距离，可得，结合图形分析求解；对于D：建系，利用空间向量求线面夹角，并结合导数求最值.
【详解】对于选项A：因为，且，可知为平行四边形，
则，且平面，平面，
所以平面，
又因为，则点到平面的距离即为点到平面的距离2，
所以三棱锥的体积（定值），故A正确；
对于选项B：因为，且与不垂直，则与不垂直，
所以在Q点运动过程中，不存在某个位置使得平面，故B错误；
对于选项C：过作，垂足为，过作，垂足为，连接，
则，，，
由平面，平面，则，
且，平面，所以平面，
且平面，则，
可知，当且仅当点与点重合时，等号成立，
所以面积的最大值为，故C正确；
对于选项D：如图，以D为坐标原点建立空间之间坐标系，
则，设，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
设直线AQ与平面所成角，
可得，
令，则，
令，则，
可知在上单调递增，且，
所以存在，使得，
当时，，即，在内单调递减；
当时，，即，在内单调递增；
且，可知在内的最大值为，
所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：对于D：选择建系，利用空间向量求线面夹角，设，可得，形式比较复杂，再选择导数求最值.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中的常数项为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的条件，利用二项式定理求解作答.
【详解】的展开式中的常数项即的展开式中含项，
的展开式的通项为，
令，得，故的展开式中含项为.
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：.
14. 某工厂生产一批零件（单位：），其尺寸服从正态分布，且，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】求得，再利用正态密度曲线的对称性可求得的值.
【详解】因为服从正态分布，且，，
则，
所以，.
故答案为：.
15. 已知点P是曲线上的一点，则点P到直线的最小距离为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设与相切与点Q，求得切线方程，再利用两直线间的距离求解.
【详解】由题意可知：，
设与相切与点Q，
则，令，得，则切点，
代入，得，即直线方程为，
所以与直线间的距离为，
即为到直线的最小距离，
故答案为：.
16. 已知双曲线的左右焦点分别为、，若双曲线上的点，使得，且，则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】作出图形，分析可知，点在双曲线的右支上，设交轴于点，连接，则，推导出，利用双曲线的定义得出，利用同角三角函数的基本关系可得出，然后在中根据可求得该双曲线离心率的值.
【详解】如下图所示：
由，可知，，则点在双曲线的右支上，
设交轴于点，连接，由对称性可知，，
所以，，
所以，，所以，，
所以，，
由，解得,
所以，，
因此，该双曲线的离心率为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 记为数列的前项和，已知，．
（1）证明：当时，数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）证明见解析，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）令可求得的值，当时，由，可得，两式作差，结合等比数列的定义可证得结论成立，据此可求得数列的通项公式；
（2）证明出，当时，可得出，利用裂项相消法可证得结论成立，综合可证得结论成立.
【小问1详解】
解：因为，，为数列的前项和，
当时，，
当时，由①，可得②，
②可得，即，所以，，
又因为，则当时，数列是等比数列，其公比为，
即当时，，则，
不满足，所以，.
【小问2详解】
证明：，
当时，，
则
.
综上所述，对任意的，.
18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC上一点，，．
（1）若，求的值；
（2）若，当面积取最小值时，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，由正弦定理得到，利用正弦和角公式得到，求出正切值；
（2）根据三角形面积公式得到，由基本不等式得到，进而得到三角形面积的最小值，结合余弦定理求出答案.
【小问1详解】
在中，因为，
由正弦定理得，
因为，所以，
故
，
即，故，
故；
【小问2详解】
，
故，
即，解得，
当且仅当，即时，等号成立，
此时三角形的面积最小，，
由于，所以，
由余弦定理得.
19. 随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各人进行分析，从而得到表（单位：人）：
（1）完成如表；对于以上数据，采用小概率值的独立性检验，能否认为我市市民网购与性别有关联？
（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选取人赠送优惠券，求选取的人中至少有人经常网购的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．
参考公式：．常用的小概率值和对应的临界值如下表：
【答案】（1）能，理由见解析
（2）①；②，
【解析】
【分析】（1）完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）①所抽取的名女市民中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
②分析可知，，利用二项分布的期望和方差公式可求得、的值.
【小问1详解】
解：完善列联表如下表所示（单位：人）：
零假设性别与网购之间无关联，
由列联表得，，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为我市市民网购与性别有关联.
【小问2详解】
解：①由题意可知，所抽取的名女市民中，经常网购的有人，
偶尔或不用网购的有人，
所以，选取的人中至少有人经常网购的概率为；
②由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为，
将频率视为概率，所以，从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为，
由题意可知，，所以，，.
20. 如图，正三棱柱中，E是棱的中点，，点F在线段AC上，且．
（1）求证：平面．
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建系，利用空间向量证明线面平行；
（2）利用空间向量求面面夹角.
【小问1详解】
如图，以为坐标原点，分别为轴所在直线，在平面内过作的垂线为轴所在直线，
则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
因为，可知，
且平面，所以平面.
【小问2详解】
由题意可知：平面的法向量，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值.
21. 已知函数．
（1）当时，求的最大值；
（2）当时，，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数分析函数在上的单调性，可求得函数的最大值；
（2）设，其中，利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出，即可证得结论成立.
【小问1详解】
解：由，，
得
，
由可得，即或，
由可得，即，
所以，函数在区间、上均为增函数，在上为减函数，
因，，，
所以，函数在上的最大值为.
【小问2详解】
证明：设，其中，
则，
当时，，所以，，
所以，，
又因为，所以，，即函数在区间上为减函数，
因为，则，所以，，
所以，当时，.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22. 已知点P在椭圆，直线与椭圆交于A，B两点，当P是椭圆C的上顶点，A，B是椭圆D的左右顶点时，的面积为．
（1）求椭圆D的方程；
（2）直线PA，PB分别交椭圆D于另一点M，N，若，求m的值．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据题意求相应点的坐标，结合面积关系列式求解；
（2）设，根据向量关系求的坐标，代入椭圆的方程分析运算即可得结果.
【小问1详解】
由题意可知：椭圆的上顶点为，椭圆D的左右顶点分别为，
则，解得，
所以椭圆D的方程为.
【小问2详解】
设，
因为若，显然，设，
可知，
则，解得，
即，
又因为点在上，
则，
整理得，
由题意可知：，，
同理可得，
将点代入椭圆方程整理得：
，经常网购
偶尔或不用网购
合计
男性
女性
合计
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
经常网购
偶尔或不用网购
合计
男性
女性
合计
注意事项：
1．答题前､考生务必将自己的姓名､学校､班级､准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动､用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数单调性求集合A，根据分式不等式求集合B，进而可求交集.
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
2. 已知复数和虚数单位满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求出，再结合共轭复数的概念求.更多课件 教案 视频 等低价同类优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 【详解】，所以.
故选：A
3. 已知点在抛物线上，点M到抛物线C的焦点F的距离为6，设O为坐标原点，则的面积为（ ）．
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线定义性质：先求出p值，再将点M代入，求得，然后可以求的面积
【详解】根据抛物线的定义：，则，
所以抛物线方程：，，
由于点M在抛物线上，即，则，
三角形的面积：.
故选：D.
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶函数定义知为偶函数，且，结合选项，利用排除法求解.
【详解】函数的定义域为R，且，
所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，所以选项A、B不满足；
当时，，显然选项D不满足，结合选项只有C满足题意.
故选：C
5. 如图正方体中，三棱锥的外接球的表面积为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设正方体的棱长为，分析可知，三棱锥的外接球半径即为正方体的外接球半径，求出的值，分析可知，是边长为的等边三角形，利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】设正方体的棱长为，
则三棱锥的外接球半径即为正方体的外接球半径，
所以，三棱锥的外接球半径为，
则该球的表面积为，解得，
因为各边为正方体的面对角线，
所以，是边长为的等边三角形，
所以，的面积为.
故选：C.
6. 设向量与的夹角为，定义，已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出的值，利用题中定义结合平面向量模长公式可求得的值.
【详解】因为，，则，所以，，
故.
故选：A.
7. 已知函数在内单调递增，是函数的一条对称轴，则（ ）.
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦函数的单调性和对称性求得，即可求得，代入即可求解函数值.
【详解】因为函数在内单调递增，
所以，所以，所以，
又是函数的一条对称轴，所以，所以，
所以，所以，所以.
故选：D
8. 已知正实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由得，构造函数，利用单调性得，记，求导，利用函数单调性求最值即可.
【详解】因为正实数x，y满足，
所以，
设，则，当时，，
所以函数在上单调递增，由得，
所以，所以，
所以，记，
则，所以，记，
则，
所以函数在上单调递减，且，
所以在上，，，单调递增，
在上，，，单调递减，
所以，当时，，即的最大值为.
故选：B
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广阔．社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是年我国社会物流总费用与GDP的比率统计，则（ ）．
A. 这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2019年增长的最多
B. 这6年我国社会物流总费用的分位数为16.7万亿元
C. 这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为
D. 2019年我国的GDP不达100万亿元
【答案】BC
【解析】
【分析】由图表结合统计相关知识逐项判断可得答案.
【详解】由图表可知，这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长最多，且增长为万亿元，故A错误；
因为，则分位数为第5个，即为16.7，
所以这6年我国社会物流总费用的分位数为16.7万亿元，故B正确；
由图表可知，这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为，故C正确；
由图表可知，2022年我国的GDP为万亿元，故D错误.
故选：BC.
10. 设数列前n项和为，满足，且，则下列选项正确的是（ ）
A
B. 数列为等差数列
C. 当时有最大值
D. 设，则当或时数列的前n项和取最大值
【答案】BD
【解析】
【分析】根据等差数列的定义求出通项公式判断A，求出，然后利用等差数列定义判断B，结合二次函数求等差数列前n项和的最大值判断C，根据的符号判定前n项和的最值判断D.
【详解】对于A，由知数列为等差数列，公差为，首项为，
所以该数列的通项公式为，错误；
对于B，因，所以，
则当时，，故数列为等差数列，正确；
对于C，，故当时，有最大值，错误；
对于D，令得，令得，
则当或时，，
当时，，当时，，当时，，
又，，
所以或时，数列的前n项和取最大值，正确.
故选：BD
11. 已知直线与圆相切，则下列说法正确的是（ ）．
A. 过作圆M的切线，切线长为
B. 圆M上恰有3个点到直线的距离为
C. 若点在圆M上，则的最大值是
D. 圆与圆M的公共弦所在直线的方程为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A：根据题意可得圆心和半径，结合切线性质分析求解；对于B：根据圆的性质结合点到直线的距离分析求解；对于C：设，分析可知直线与圆有公共点，结合点到直线的距离分析求解；对于D：根据两圆方程判断两圆的位置关系即可.
【详解】圆的圆心，半径为，
若直线与圆相切，则.
对于选项A：因为点到圆心的距离，
可知点在圆外，所以切线长为，故A正确；
对于选项B：因为圆心到直线的距离为，
所以圆M上恰有3个点到直线的距离为，故B正确；
对于选项C：因为若点在圆M上，则，可知，
设，则，
可知直线与圆有公共点，则，解得，
所以的最大值是，故C正确；
对于选项D：圆的圆心，半径，
则，可得，
所以两圆外离，没有公共弦，故D错误；
故选：ABC.
12. 在棱长为2的正方体中，点Q为线段（包含端点）上一动点，则下列选项正确的是（ ）．
A. 三棱锥的体积为定值
B. 在Q点运动过程中，存在某个位置使得平面
C. 面积的最大值为
D. 直线AQ与平面所成角的正弦值的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：根据平行关系结合体积公式分析求解；对于B：直接判断与是否垂直即可；对于C：作出点到直线的距离，可得，结合图形分析求解；对于D：建系，利用空间向量求线面夹角，并结合导数求最值.
【详解】对于选项A：因为，且，可知为平行四边形，
则，且平面，平面，
所以平面，
又因为，则点到平面的距离即为点到平面的距离2，
所以三棱锥的体积（定值），故A正确；
对于选项B：因为，且与不垂直，则与不垂直，
所以在Q点运动过程中，不存在某个位置使得平面，故B错误；
对于选项C：过作，垂足为，过作，垂足为，连接，
则，，，
由平面，平面，则，
且，平面，所以平面，
且平面，则，
可知，当且仅当点与点重合时，等号成立，
所以面积的最大值为，故C正确；
对于选项D：如图，以D为坐标原点建立空间之间坐标系，
则，设，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
设直线AQ与平面所成角，
可得，
令，则，
令，则，
可知在上单调递增，且，
所以存在，使得，
当时，，即，在内单调递减；
当时，，即，在内单调递增；
且，可知在内的最大值为，
所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：对于D：选择建系，利用空间向量求线面夹角，设，可得，形式比较复杂，再选择导数求最值.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中的常数项为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的条件，利用二项式定理求解作答.
【详解】的展开式中的常数项即的展开式中含项，
的展开式的通项为，
令，得，故的展开式中含项为.
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：.
14. 某工厂生产一批零件（单位：），其尺寸服从正态分布，且，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】求得，再利用正态密度曲线的对称性可求得的值.
【详解】因为服从正态分布，且，，
则，
所以，.
故答案为：.
15. 已知点P是曲线上的一点，则点P到直线的最小距离为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设与相切与点Q，求得切线方程，再利用两直线间的距离求解.
【详解】由题意可知：，
设与相切与点Q，
则，令，得，则切点，
代入，得，即直线方程为，
所以与直线间的距离为，
即为到直线的最小距离，
故答案为：.
16. 已知双曲线的左右焦点分别为、，若双曲线上的点，使得，且，则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】作出图形，分析可知，点在双曲线的右支上，设交轴于点，连接，则，推导出，利用双曲线的定义得出，利用同角三角函数的基本关系可得出，然后在中根据可求得该双曲线离心率的值.
【详解】如下图所示：
由，可知，，则点在双曲线的右支上，
设交轴于点，连接，由对称性可知，，
所以，，
所以，，所以，，
所以，，
由，解得,
所以，，
因此，该双曲线的离心率为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 记为数列的前项和，已知，．
（1）证明：当时，数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）证明见解析，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）令可求得的值，当时，由，可得，两式作差，结合等比数列的定义可证得结论成立，据此可求得数列的通项公式；
（2）证明出，当时，可得出，利用裂项相消法可证得结论成立，综合可证得结论成立.
【小问1详解】
解：因为，，为数列的前项和，
当时，，
当时，由①，可得②，
②可得，即，所以，，
又因为，则当时，数列是等比数列，其公比为，
即当时，，则，
不满足，所以，.
【小问2详解】
证明：，
当时，，
则
.
综上所述，对任意的，.
18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC上一点，，．
（1）若，求的值；
（2）若，当面积取最小值时，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，由正弦定理得到，利用正弦和角公式得到，求出正切值；
（2）根据三角形面积公式得到，由基本不等式得到，进而得到三角形面积的最小值，结合余弦定理求出答案.
【小问1详解】
在中，因为，
由正弦定理得，
因为，所以，
故
，
即，故，
故；
【小问2详解】
，
故，
即，解得，
当且仅当，即时，等号成立，
此时三角形的面积最小，，
由于，所以，
由余弦定理得.
19. 随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各人进行分析，从而得到表（单位：人）：
（1）完成如表；对于以上数据，采用小概率值的独立性检验，能否认为我市市民网购与性别有关联？
（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机选取人赠送优惠券，求选取的人中至少有人经常网购的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．
参考公式：．常用的小概率值和对应的临界值如下表：
【答案】（1）能，理由见解析
（2）①；②，
【解析】
【分析】（1）完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）①所抽取的名女市民中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
②分析可知，，利用二项分布的期望和方差公式可求得、的值.
【小问1详解】
解：完善列联表如下表所示（单位：人）：
零假设性别与网购之间无关联，
由列联表得，，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为我市市民网购与性别有关联.
【小问2详解】
解：①由题意可知，所抽取的名女市民中，经常网购的有人，
偶尔或不用网购的有人，
所以，选取的人中至少有人经常网购的概率为；
②由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为，
将频率视为概率，所以，从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为，
由题意可知，，所以，，.
20. 如图，正三棱柱中，E是棱的中点，，点F在线段AC上，且．
（1）求证：平面．
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建系，利用空间向量证明线面平行；
（2）利用空间向量求面面夹角.
【小问1详解】
如图，以为坐标原点，分别为轴所在直线，在平面内过作的垂线为轴所在直线，
则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
因为，可知，
且平面，所以平面.
【小问2详解】
由题意可知：平面的法向量，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值.
21. 已知函数．
（1）当时，求的最大值；
（2）当时，，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数分析函数在上的单调性，可求得函数的最大值；
（2）设，其中，利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出，即可证得结论成立.
【小问1详解】
解：由，，
得
，
由可得，即或，
由可得，即，
所以，函数在区间、上均为增函数，在上为减函数，
因，，，
所以，函数在上的最大值为.
【小问2详解】
证明：设，其中，
则，
当时，，所以，，
所以，，
又因为，所以，，即函数在区间上为减函数，
因为，则，所以，，
所以，当时，.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22. 已知点P在椭圆，直线与椭圆交于A，B两点，当P是椭圆C的上顶点，A，B是椭圆D的左右顶点时，的面积为．
（1）求椭圆D的方程；
（2）直线PA，PB分别交椭圆D于另一点M，N，若，求m的值．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据题意求相应点的坐标，结合面积关系列式求解；
（2）设，根据向量关系求的坐标，代入椭圆的方程分析运算即可得结果.
【小问1详解】
由题意可知：椭圆的上顶点为，椭圆D的左右顶点分别为，
则，解得，
所以椭圆D的方程为.
【小问2详解】
设，
因为若，显然，设，
可知，
则，解得，
即，
又因为点在上，
则，
整理得，
由题意可知：，，
同理可得，
将点代入椭圆方程整理得：
，经常网购
偶尔或不用网购
合计
男性
女性
合计
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
经常网购
偶尔或不用网购
合计
男性
女性
合计
