2023-2024学年广西玉林市博白县中学高一上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广西玉林市博白县中学高一上学期11月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则集合，间的关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用列举法表示集合A，结合集合B判断集合间的关系.
【详解】由题设，，而，∴，
而A,B的连接符号错误，C选项，故ABC错误，D正确.
故选：D.
2．设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质一一判定即可.
【详解】由题意可知，即A错误，B正确；
若，即C、D错误.
故选：B
3．函数的图像关于（ ）
A．轴对称B．直线对称C．坐标原点对称D．直线对称
【答案】C
【分析】判断函数的奇偶性，即可得解.
【详解】因为定义域为，
且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称.
故选：C
4．已知函数的定义域为，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，可知，则，从而可求出的定义域.
【详解】解：因为函数的定义域为，
则，所以，
所以的定义域为.
故选：C.
5．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用幂函数和指数函数单调性即可比较大小.
【详解】因为指数函数在上单调递减，所以，即，
又因为幂函数在上单调递增，所以，即，
所以，即，
故选：B.
6．已知命题“，”为假命题，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据命题的否定为真命题，然后分，讨论，根据一元二次不等式恒成立求解.
【详解】命题为假命题，即命题为真命题，
当时，恒成立，符合题意；
当时，则且，即；
综上可知，.
故选：C.
7．函数的图象如图所示，则的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】依题意可得、两个数一个小于，一个大于且小于，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可；
【详解】解：令，解得、，根据二次函数图象可知，、两个数一个小于，一个大于且小于，
①当，时，则不成立；
②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图象为A.
故选：A
8．若关于x的方程有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将题意转化为与的图象有交点，画出与的图象即可得出答案.
【详解】关于x的方程有解，即与的图象有交点，
画出与的图象如下图，

则，则.
故选：B.
二、多选题
9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】AD
【分析】根据题意，由同一函数的定义对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，函数，函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确；
对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以不是同一函数，故错误；
对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，所以不是同一函数，故错误；
对于D，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数，故正确；
故选：AD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件
【答案】CD
【分析】写出全称量词命题的否定判断A；利用充分条件、必要条件的定义判断BCD.
【详解】对于A，命题“，”是全称量词命题，其否定为：，，A错误；
对于B，显然成立，必有成立，即是的充分条件，B错误；
对于C，当时，成立，反之，当时，不一定成立，如，
因此“”是“”的充分不必要条件，C正确；
对于D，当时，方程中，，方程有两个不等实根，
有，因此一正一负，反之，方程两根一正一负，
则，此时，因此“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件，D正确.
故选：CD
11．已知，且是奇函数，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用奇函数性质求，再代入自变量求A、C对应的函数值，即可判断正误.
【详解】由，则，故，
所以，B错误，D正确；
故，A正确；
，而，故，C正确.
故选：ACD
12．若函数满足，，且，，，则（ ）
A．的对称轴为直线B．
C．D．若，则
【答案】AC
【分析】先由函数的对称性可找到对称轴，即可判断A选项；再由题得到函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，可判定BCD选项.
【详解】对A，由题意可得的图象关于直线对称，故A正确；
对B，由题意知在上单调递增，则在上单调递减，
结合函数的单调性和图象的对称性得，距离越近，函数值越小，因为，所以，所以B不正确．
对C，根据函数关于直线对称，且在上单调递增知，所以C正确．
对D，若，则直线距离直线更远，即，解得或，所以D不正确．
故选：AC．
三、填空题
13．若幂函数为奇函数，则的值为 .
【答案】0
【分析】利用幂函数的定义及性质，列式求解即得.
【详解】由是幂函数，得，解得或，
当时，函数是偶函数，不符合题意，当时，是奇函数，符合题意，
所以.
故答案为：0
14．已知 ．
【答案】8
【分析】根据题意，令即可求解.
【详解】由，令，得.
故答案为：8.
四、双空题
15．函数的图象恒过定点P，则点P的坐标是 ；若点P在直线上，则的最小值为 .
【答案】 ； 8
【分析】利用指数幂的运算即可求得点P的坐标，利用均值定理即可求得的最小值.
【详解】当时，，则函数的图象恒过定点，
点P在直线上，可得，
则
（当且仅当时等号成立）
故答案为：；8
五、填空题
16．若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意画出函数的图象，利用函数图象结合交点个数求出a的取值范围.
【详解】函数，则函数的图象如下：
观察图象知，当，即时，直线与函数的图象有两个公共点，
所以的取值范围为.
故答案为：
六、解答题
17．（1）已知函数，求；
（2）
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）利用换元法即可；
（2）根据分数指数幂的运算即可.
【详解】（1）设，则，，
则，，
所以，.
（2）原式.
18．已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求两个集合的解集，再求并集；
（2）根据题意可知，，再分情况讨论求集合，根据子集关系，求实数的取值范围即可.
【详解】（1），即，
解得：，所以，
时，，即，得，
则，
所以；
（2）若是的充分条件，则，
当时，，
解得，所以，
若，则，得，则的取值范围为.
19．求下列函数的值域.
(1)，；
(2)，.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用配方法结合单调性求二次函数的值域；
（2）利用换元法结合二次函数的性质与指数函数性质即可得到答案.
【详解】（1）因为，函数的定义域为,
所以在上单调递增，在上单调递减，
，又因为，，
所以.
所以的值域为.
（2），令，
则，
在上单调递减，所以，
所以，
所以的值域为.
20．已知函数是定义在上的奇函数.
（1）确定的解析式；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）
【解析】（1）本题可根据求出的解析式；
（2）本题可在上任取、且，然后通过转化得出，即，即可证得结论；
（3）本题首先可根据奇函数性质将转化为，然后根据减函数性质转化为，最后通过计算即可得出结果.
【详解】（1）因为，所以，
因为函数是奇函数，所以，
即，解得，.
（2）在上任取、，且，
则
，
因为，，，，
所以，，在区间上是减函数.
（3）因为是定义在上的奇函数和减函数，
所以即，，
则，解得，不等式的解集为.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数奇偶性求函数解析式、定义法判断函数单调性以及利用函数性质解不等式，偶函数满足，奇函数满足，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.
七、应用题
21．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，设y为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求y的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用y达到最小，并求最小值．
【答案】(1)；
(2)当隔热层厚度为时总费用最小万元.
【分析】（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出y的解析式；
（2）利用基本不等式得出y的最小值及对应的x的值.
【详解】（1）设隔热层建造厚度为cm，则
，
（2），
当，即时取等号，
所以当隔热层厚度为时总费用最小万元.
八、解答题
22．设函数对任意，都有，且当时，.
(1)求的值；
(2)求证：为奇函数；
(3)解关于的不等式：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）令，求得，
（2）令即可证明；
（3）利用定义可判断在上为减函数，再由题可将不等式化为，由函数单调性可得，讨论的范围即可求解.
【详解】（1）由于函数对任意，，都有，
设，，则可求得.
（2）证明：设，则，
即，又因为定义域为关于原点对称，
所以为奇函数．
（3）任取，则，根据，
可得，即，所以为减函数，
，即为，
即，即有，
由于在上是减函数，则，即为，
即有，
当时，即有，因为，则
①当时，，此时解集为，
②当时，，此时解集为.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用定义证明得到函数的单调性，将不等式转化为求解.