辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

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二、多选题
三、填空题
15．【详解】（1）由题意得，f '(x)＝a﹣1+ex，x∈R，
①当a≥1时，f '(x)＝a﹣1+ex＞0，函数f（x）在R上单调递增；
②当a＜1时，令f '(x)＝a﹣1+ex＞0，解得x＞ln（1﹣a），
f '(x)＝a﹣1+ex＜0，解得x＜ln（1﹣a），
所以函数f（x）在（ln（1﹣a），+∞）上单调递增，在（﹣∞，ln（1﹣a））上单调递减；
综上，当a≥1时，函数f（x）在R上单调递增；
当a＜1时，函数f（x）在（﹣∞，ln（1﹣a））上单调递减，
在（ln（1﹣a），+∞）上单调递增， ……7分
（2）因为函数y＝g（x）在[0，+∞）上为增函数，
所以，g'(x)＝a﹣1+ex﹣csx≥0在[0，+∞）上恒成立．
即1﹣a≤ex﹣csx在[0，+∞）上恒成立．
令h(x)＝ex﹣csx，当x∈[0，+∞）时，h'(x)＝ex+sinx＞0，
所以，h(x)＝ex﹣csx在[0，+∞）上单调递增，h(x)min＝h（0）＝0．
所以，1﹣a≤0，解得a≥1，
所以，实数a的取值范围为[1，+∞）． ……13分
16.【详解】（1）等差数列{an}中，设公差为d，
则，
， ……3分
数列{bn}中的前n项和为Sn，且2Sn＝3bn﹣1，①
当n＝1时，b1＝1，
当n≥2时，2Sn﹣1＝3bn﹣1﹣1，②
②﹣①得：bn＝3bn﹣1（n≥2），
故数列{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以． ……6分
（2）数列{cn}中，，
则，
，
所以， ……11分
∵对n∈N*恒成立，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
综上：实数m的取值范围为m∈（﹣8，2）． ……15分
17.【详解】（1）根据题意可得列联表如下；
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1． ……4分
（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，即可得，
故，． ……8分
（3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，
且Y服从超几何分布：
， ，
，
故所求分布列为
可得 ……15分
18.【详解】（1）由题意，f（1）＝1﹣（a+2）＝﹣2，得a＝1，
此时，（x＞0）
令f '(x)＝0，得x＝1或，
当时，f '(x)＞0； 当时，f '(x)＜0，
所以f（x）在与（1，+∞）上单调递增，在上递减，
所以当时，f（x）有极大值． ……6分
（2）①∵，（x＞0）
∴f（1）＝1﹣（a+2）＝﹣a﹣1，f'（1）＝0，
所以函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为g（x）＝﹣a﹣1 ……9分
②若点（1，f（1））是函数f（x）的“类优点”，
令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx+a+1常数a＞0，
则当时，恒有，
又F（1）＝0，且∵，（x＞0）
令F '（x）＝0，得x＝1或，a＞0
则当a＝2时，∵F '（x）≥0，F（x）在（0，+∞）上递增．
∴当x∈（0，1）时，F（x）＜F（1）＝0；
当x∈（1，+∞）时，F（x）＞F（1）＝0．
故当x≠1时，恒有成立． ……13分
当a＞2时，由F '（x）＜0，得，
∴F（x）在上递减，F（x）＜F（1）＝0．
所以在，，不成立．
当0＜a＜2时，由F'（x）＜0，得，
∴F（x）在上递减，F（x）＞F（1）＝0．
所以在，，不成立．
综上可知，若点（1，f（1））是函数f（x）的“类优点”，则实数a＝2． ……17分
19.【详解】（1）设等比数列的公比为，所以，
由，得，解得，
因此数列为“M—数列”； ……3 分
（2）①由，得
当时，由，得，
整理得，
所以数列是首项和公差均为1的等差数列，
因此，数列的通项公式为 ； ……8分
②由①知，，，
因为数列为“–数列”，设公比为，所以，，
因为，所以，其中，
当时，有；
当时，有， ……10分
设，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，
取，当时，，即，
令，则，
令，则，
故在上单调递减，则，
即在上恒成立，即在上单调递减，
则，
即，，
因此所求的最大值不小于5，
若，分别取，得，且，从而，且，
所以不存在，因此所求的最大值小于6，
故的最大值为5. ……17分
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
B
D
A
C
D
C
9
10
11
BD
ACD
ABD
12
13
14
10
{a|a＞e+4}
性别
不经常锻炼
经常锻炼
合计
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合计
21
39
60
Y
0
1
2
3
P